Okres próbny - Triality

Aby zapoznać się z koncepcją próbności w językoznawstwie, zobacz Numer gramatyczny § Trial .
Automorfizmy diagramu Dynkina D 4 dają początek próbności w Spin (8).

W matematyce , triality jest związek między trzech przestrzeniach wektorowych , analogiczne do dualizmu relacji między dwoma przestrzeni wektorowej . Najczęściej opisuje te szczególne cechy diagramu Dynkina D 4 i związanej z nim grupy Lie Spin (8) , podwójnego pokrycia 8-wymiarowej grupy rotacyjnej SO (8) , wynikające z tego, że grupa ma zewnętrzny automorfizm trzeciego rzędu. Istnieje geometryczna wersja próbności, analogiczna do dwoistości w geometrii rzutowej .

Ze wszystkich prostych grup Liego Spin (8) ma najbardziej symetryczny diagram Dynkina, D 4 . Diagram ma cztery węzły, z których jeden znajduje się pośrodku, a pozostałe trzy są symetrycznie połączone. Grupa symetrii diagramu to symetryczna grupa S 3, która działa poprzez permutację trzech odnóg. Daje to początek grupie S 3 zewnętrznych automorfizmów Spin (8). Ta grupa automorfizmów permutuje trzy 8-wymiarowe nieredukowalne reprezentacje Spin (8); są to reprezentacje wektorowe i dwie chiralne reprezentacje spinu . Te automorfizmy nie rzutują na automorfizmy SO (8). Reprezentacja wektorowa - naturalne działanie SO (8) (stąd Spin (8)) na F 8 - składa się z liczb rzeczywistych wektorów euklidesowych i jest ogólnie znana jako „moduł definiujący”, podczas gdy reprezentacje spinu chiralnego są znane również jako „reprezentacje półspinowe” , a wszystkie te trzy reprezentacje są podstawowymi reprezentacjami .

Żaden inny połączony diagram Dynkina nie ma grupy automorfizmów rzędu większej niż 2; dla innych D n (odpowiadających innym parzystym grupom Spin, Spin (2 n )), nadal istnieje automorfizm odpowiadający przełączaniu dwóch reprezentacji półspinowych, ale nie są one izomorficzne z reprezentacją wektorową.

Z grubsza mówiąc, symetrie diagramu Dynkina prowadzą do automorfizmów budowli Bruhata-Titsa związanej z grupą. W przypadku specjalnych grup liniowych uzyskuje się dualizm projekcyjny. W przypadku Spin (8) można znaleźć ciekawe zjawisko obejmujące 1-, 2- i 4-wymiarowe podprzestrzenie 8-wymiarowej przestrzeni, znane historycznie jako „geometryczna trójwymiarowość”.

Wyjątkowa 3-krotna symetria diagramu D 4 daje również początek grupie Steinberga 3 D 4 .

Ogólne sformułowanie

Dwoistość między dwiema przestrzeniami wektorowymi nad polem F jest niezdegenerowaną dwuliniową postacią

tj. dla każdego niezerowego wektora v w jednej z dwóch przestrzeni wektorów, z drugiej strony parowanie z v jest niezerowym funkcjonałem liniowym .

Podobnie, próba między trzema przestrzeniami wektorowymi nad polem F jest niezdegenerowaną formą trójliniową

tj. każdy niezerowy wektor w jednej z trzech przestrzeni wektorów wywołuje dwoistość między pozostałymi dwoma.

Wybierając wektory e i w każdym V i, na których forma trójliniowa wynosi 1, stwierdzamy, że wszystkie trzy przestrzenie wektorowe są izomorficzne względem siebie i ich podwójnych. Oznaczając tę ​​wspólną przestrzeń wektorową przez V , próbność można ponownie wyrazić jako bilinearne mnożenie

gdzie każdy E I odpowiada pierwszego elementu w V . Warunek braku degeneracji oznacza teraz, że V jest algebrą kompozycji . Wynika z tego, że V ma wymiar 1, 2, 4 lub 8. Jeśli dalej F = R i forma użyta do utożsamiania V z jego dualnością jest jednoznacznie określona , to V jest algebrą Euklidesa Hurwitza i dlatego jest izomorficzna do R , C , H lub  O .

Z drugiej strony, kompozycja algebrami natychmiast powodują trialities poprzez co V I w liczbie równej algebraiczną i zarażenia namnażanie się produktu na wewnętrznej Algebra do formy trójliniowego.

Alternatywna konstrukcja prób wykorzystuje spinory w wymiarach 1, 2, 4 i 8. Ośmiowymiarowy przypadek odpowiada właściwości próbności Spin (8).

Zobacz też

Bibliografia

  • John Frank Adams (1981), Spin (8), Triality, F 4 and all that , w „Superspace and supergravity”, pod redakcją Stephena Hawkinga i Martina Ročka, Cambridge University Press, strony 435–445.
  • John Frank Adams (1996), Lectures on Exceptional Lie Groups (Chicago Lectures in Mathematics), pod redakcją Zafer Mahmud i Mamora Mimura, University of Chicago Press, ISBN   0-226-00527-5 .

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne