Ultrafinizm - Ultrafinitism

W filozofii matematyki , ultrafinitism (znany również jako ultraintuitionism , ścisłego formalizmu , ścisłego finityzm , actualism , predicativism i silnym finityzm ) jest formą finityzm i intuicjonizmu . Istnieją różne filozofie matematyki zwane ultrafinizmem. Główną cechą identyfikującą, powszechną wśród większości tych filozofii, jest ich sprzeciw wobec całości funkcji teorii liczb, takich jak potęgowanie nad liczbami naturalnymi .

Główne pomysły

Podobnie jak inne finitists , ultrafinitists zaprzeczyć istnieniu nieskończony zbiór N z liczb naturalnych .

Ponadto niektórzy ultrafinityści zajmują się akceptacją w matematyce obiektów, których nikt nie może skonstruować w praktyce z powodu fizycznych ograniczeń w konstruowaniu dużych, skończonych obiektów matematycznych. Tak więc niektórzy ultrafinityści będą zaprzeczać lub powstrzymywać się od zaakceptowania istnienia dużych liczb, na przykład podłogi pierwszej liczby Skewesa , która jest liczbą ogromną zdefiniowaną za pomocą funkcji wykładniczej jako exp(exp(exp(79))), lub

Powodem jest to, że nikt jeszcze nie obliczył, jaka liczba naturalna jest dołem tej liczby rzeczywistej , a może nawet nie jest to fizycznie możliwe. Podobnie (w notacji Knutha ze strzałką w górę ) byłoby uważane tylko za wyrażenie formalne, które nie odpowiada liczbie naturalnej. Gatunek ultraskończoności związany z fizyczną realizacją matematyki jest często nazywany aktualizyzmem .

Edward Nelson skrytykował klasyczną koncepcję liczb naturalnych z powodu kolistości jej definicji. W matematyce klasycznej liczby naturalne definiuje się jako 0, a liczby otrzymane przez iteracyjne zastosowania funkcji następnika do 0. Ale pojęcie liczby naturalnej jest już przyjęte dla iteracji. Innymi słowy, aby uzyskać liczbę taką jak jedna, należy wykonać funkcję następnika iteracyjnie (w rzeczywistości dokładnie razy) do 0.

Niektóre wersje ultrafinizmu są formami konstruktywizmu , ale większość konstruktywistów postrzega filozofię jako niewykonalną skrajną. Logiczna podstawa ultrafinizmu jest niejasna; w swoim obszernym badaniu Constructivism in Mathematics (1988) konstruktywny logik AS Troelstra odrzucił to stwierdzenie, mówiąc: „obecnie nie ma zadowalającego rozwoju”. Był to nie tyle zarzut filozoficzny, ile przyznanie, że w rygorystycznym dziele logiki matematycznej nie ma po prostu niczego wystarczająco precyzyjnego, aby to uwzględnić.

Osoby związane z ultrafinizmem

Poważne prace nad ultraskończonością prowadził, od 1959 r. do śmierci w 2016 r., Alexander Esenin-Volpin , który w 1961 r. naszkicował program dowodzący spójności teorii mnogości Zermelo-Fraenkla w matematyce ultraskończonej. Inni matematycy, którzy pracowali w tym temacie, to Doron Zeilberger , Edward Nelson , Rohit Jivanlal Parikh i Jean Paul Van Bendegem . Filozofia ta kojarzona jest czasem z wierzeniami Ludwiga Wittgensteina , Robina Gandy'ego , Petra Vopěnki i J. Hjelmsleva .

Saughan Lavine opracował formę ultrafinizmu opartego na teorii mnogości, która jest zgodna z klasyczną matematyką. Lavine wykazał, że podstawowe zasady arytmetyki, takie jak „nie ma największej liczby naturalnej”, mogą być przestrzegane, ponieważ Lavine pozwala na uwzględnienie „nieskończenie dużych” liczb.

Ograniczenia oparte na teorii złożoności obliczeniowej

Inne rozważania na temat możliwości uniknięcia nieporęcznych dużych liczb mogą opierać się na teorii złożoności obliczeniowej , jak w pracy Andrasa Kornaia o jawnej skończoności (która nie zaprzecza istnieniu dużych liczb) i pojęciu liczby wykonalnej Vladimira Sazonova .

Odnotowano również znaczny rozwój formalny na wersjach ultrafinitism, które są oparte na teorii złożoności, jak Samuel Buss „s Bounded arytmetyczne teorii matematyki, które wychwytywania związanych z różnymi klasami złożoności, takich jak P i PSPACE . Praca Buss'a może być uważana za kontynuację pracy Edwarda Nelsona o arytmetyce predykatywnej, ponieważ teorie arytmetyki ograniczonej, takie jak S12, można interpretować w teorii Q Raphaela Robinsona , a zatem są predykatywne w sensie Nelsona . Siła tych teorii w rozwijaniu matematyki jest badana w Bounded reverse matematyce, jak można znaleźć w pracach Stephena A. Cooka i Phuonga The Nguyena . Jednak badania te nie są filozofiami matematyki, ale raczej badaniem ograniczonych form rozumowania, podobnych do matematyki odwrotnej .

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

  • Ésénine-Volpine, AS (1961), "Le program ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques", Metody nieskończoności (Proc. Sympos. Foundations of Math., Warszawa, 1959) , Oxford: Pergamon, s. 201-223, MR  0147389Recenzja : Kreisel, G.; Ehrenfeucht, A. (1967), „Przegląd Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques AS Ésénine-Volpine”, The Journal of Symbolic Logic , Association for Symbolic Logic, 32 (4): 517, doi : 10.2307/2270182 , JSTOR  2270182
  • Lavine, S., 1994. Zrozumienie nieskończoności , Cambridge, MA: Harvard University Press.

Zewnętrzne linki