Uniformizacji (teoria set) - Uniformization (set theory)

W teorii mnogości The aksjomat uniformizacji , słaba forma aksjomatu wyboru , stwierdza się, że jeśli jest podzbiorem z , gdzie i są polskie przestrzenie , to istnieje podzbiór z jest to częściowe funkcja od celu , a których domeny ( w sensie zbiór wszystkich takich, że istnieje) jest równa ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X razy Y \}$${\ Displaystyle X}$${\ Y} displaystyle$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X}$${\ Y} displaystyle$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle \ {x \ w x | \ \ y występuje w r (x, y) w \ r \} \}$

Taka funkcja jest nazywana wyrównując funkcji dla , lub uniformizacji się . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$

Uniformizacji relacji R (światło niebieskie) przez funkcję f (czerwony).

Aby zobaczyć relacje z aksjomatu wyboru, zauważają, że mogą być traktowane jako skojarzenie, do każdego elementu , podzbioru . Uniformizacji następnie wybiera jeden element z każdej takiej podgrupy, gdy podzespół jest niepusty . W ten sposób, dzięki czemu dowolnych zbiorów X i Y (a nie tylko polskich spacjami) może sprawić, że aksjomat uniformizacji odpowiednik AC. ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X}$${\ Y} displaystyle$${\ Displaystyle R}$

Pointclass mówi się, że mają właściwości uniformizacji czy każda relacja w można uniformized przez częściowego funkcji w . Właściwość uniformizacji zakłada się przez własności wagi , przynajmniej dla odpowiednich pointclasses o określonej formie. ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ gamma}}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ gamma}}}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ gamma}}}$

Wynika z ZFC sam, że i mają właściwość uniformizacji. Wynika z istnienia wystarczających dużych kardynałów że ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ pi}} _ {1} ^ {1}}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {2} ^ {1}}$

• ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ pi}} _ {2n + 1} ^ {1}}$i mają właściwość uniformizacji dla każdej liczby naturalnej .${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {2n + 2}, ^ {1}}$ ${\ N} displaystyle$
• Dlatego gromadzenie zbiorów rzutowych ma właściwość uniformizacji.
• Każdy związek w l (R) może być uniformized, ale niekoniecznie w funkcji w L (R). W rzeczywistości, L (R) nie mają własności uniformizacji (równoważnie, L (R) nie spełniają Aksjomat uniformizacji).
  • (Uwaga: jest trywialny, że każdy związek z L (R) może być uniformized w V , przy założeniu, V spełnia AC jest to, że każdy taki związek może być w niektórych przechodniego uniformized wewnętrznej wzór V, w którym utrzymuje AD.).

Referencje

• Moschovakis Yiannis N. (1980). Opisowa teoria mnogości . Północna Holandia. ISBN  0-444-70199-0 .