Bézout domeny - Bézout domain

W matematyce , o domeny Bézout jest formą domenie osobę pełniącą funkcję Prüfer . Jest to dziedzina całkowitości , w którym suma dwóch głównych ideałów jest znowu ideał główny. Oznacza to, że dla każdej pary elementów tożsamość Bézout trzyma, i że każda skończenie generowane idealny jest główny. Każdy ideał główny domeny (PID) jest domeną Bézout, a domena Bézout nie musi być pierścień noetherowski , więc może to mieć niekorzystny skończenie generowane idee (które oczywiście nie obejmuje jest PID); Jeśli tak, to nie jest to pierścień z jednoznacznością rozkładu (UFD), ale nadal jest domeną GCD . Teoria domen Bézout zachowuje wiele cech PID, bez konieczności właściwość Noetherian. Domeny Bézout są nazwane po francuski matematyk Étienne Bézout .

Przykłady

  • Wszystkie PID są domeny Bézout.
  • Przykładami domen, które nie są Bezouta PID zawierają pierścień całej funkcji (funkcje holomorficznymi na całej płaszczyźnie zespolonej) i pierścień wszystkich algebraicznych całkowitymi . W przypadku całej funkcji jedynymi elementami nieprzywiedlne są funkcje związane z funkcji wielomianowej stopnia 1, to element ma na czynniki tylko wtedy, gdy ma skończoną wiele zera. W przypadku liczb algebraicznych nie ma elementów nieprzywiedlne w ogóle, ponieważ dla każdej liczby całkowitej algebraiczną ich pierwiastek (na przykład) jest algebraicznym całkowitą. To pokazuje, w obu przypadkach, że pierścień nie jest UFD, a więc na pewno nie jest PID.
  • Pierścienie wyceny są domeny Bézout. Każdy niż pierścień noetherowski wartość jest przykładem nie noetherian domeny Bézout.
  • Następujące ogólne konstrukcja tworzy Bézout domeny S , która nie jest UFD z każdej domeny Bézout R , która nie jest pole, na przykład od PID; w przypadku R = Z jest podstawowym przykładem mieć na uwadze. Niech K będzie obszar frakcji o R i umieścić S = R + XF [ X ] , w podpierścień wielomianów F [ X ], ze stałą w okresie badania . Pierścień ten jest Noetherian, ponieważ element jak X o zerowej ciągłym okresie może być podzielony na czas nieokreślony przez noninvertible elementami R , które są nadal noninvertible w S , a idealnie generowane przez tych ilorazów jest skończoną generowane (a więc X ma Nie faktoryzacji w S ). Jeden pokazuje jak wynika, że S jest domeną Bézout.
  1. Wystarczy, aby udowodnić, że dla każdej pary a , b , w S istnieje s , t w S w taki sposób, jak + Bt dzieli zarówno A i B .
  2. Jeśli i b mają wspólny dzielnik d , wystarczy udowodnić za pomocą / d i b / d , ponieważ te same s , t zrobi.
  3. Możemy założyć wielomianów A i b niezerowe; Jeżeli oba mają zerową stałego okresu, pozwól n jest wykładnikiem minimalny tak, że co najmniej jeden z nich ma niezerowy współczynnik X, n ; można znaleźć F na F w taki sposób, fX n jest wspólny dzielnik i b i podzielić przez nią.
  4. Możemy zatem założyć, co najmniej jeden z , b ma niezerową stałą termin. Jeśli i b postrzegane jako elementy F [ X ], nie są liczbami względnie pierwszymi, to największy wspólny dzielnik i b w tym, że ma stałą UFD termin 1, a zatem znajduje się w S ; możemy podzielić przez ten czynnik.
  5. Możemy zatem założyć, że również i b są liczbami względnie pierwszymi, w F [ X ], tak, aby 1 leży w aF [ X ] + bF [ X ] , a niektóre stałe wielomian R w R leży w aS + BS . Ponadto, ponieważ B jest domeną Bézout, GCD d z R o stałych warunkach a 0 a b 0 leży w o 0 R + b 0 R . Ponieważ każdy element bez stałego perspektywie jak - 0 lub b - b 0 jest podzielna przez dowolną stałą niezerową, stała d jest wspólny dzielnik z S z i b ; wykażemy, że w rzeczywistości jest największy wspólny dzielnik, pokazując, że leży w aS + BS . Mnożenie i b , odpowiednio, współczynniki Bézout do D , w odniesieniu do do 0 i b 0 daje wielomian p w aS + bs z ciągłym okresie d . Następnie s - d ma zerową stałego okresu, a więc jest wielokrotnością w S stałej wielomianu R , a więc leży w aS + BS . Ale wtedy d robi tak dobrze, co kończy dowód.

Nieruchomości

Pierścień jest domeną Bézout wtedy i tylko wtedy, gdy stanowi integralną domeny, w którym dowolne dwa elementy mają największy wspólny dzielnik , który jest kombinacją liniową z nich: to jest równoznaczne z oświadczeniem, że idealnym, który jest generowany przez dwóch elementów jest również generowane przez pojedynczy element, a indukcja pokazuje, że wszystkie skończenie generowane ideały są głównym. Ekspresja największy wspólny dzielnik dwóch elementów PID w kombinacji liniowej jest często nazywany tożsamość bézouta , skąd terminologii.

Zauważ, że powyższy warunek GCD jest silniejszy niż samo istnienie GCD. Integralną domeny, w której istnieje GCD dla dowolnych dwóch elementów jest nazywany domeny GCD i dlatego domeny Bézout są domeny GCD. W szczególności, w dziedzinie Bézout, irreducibles to pierwsza (ale jak algebraiczny przykład całkowitą pokazuje, że nie ma potrzeby istnieje).

Dla Bézout domeny B , następujące warunki są równoważne:

  1. R jest dziedzina ideałów głównych.
  2. R jest Noetherian.
  3. R jest unikalny domeny faktoryzacji (UFD).
  4. R spełnia warunek łańcucha rosnąco na ideał główny (ACCP).
  5. Każdy niezerowy nonunit w R czynników na produkt irreducibles (R jest domeną atomowej ).

Równoważność (1) i (2) odnotowano powyżej. Ponieważ Bézout domeną jest domeną GCD, wynika bezpośrednio, że (3), (4) i (5), są równoważne. Wreszcie, jeżeli R jest Noetherian, to istnieje nieskończona łańcuch rosnąco skończenie generowanych idei, a więc w domenie Bézout nieskończoną łańcuch wzrastające głównych idei. (4) i (2), są równoważne.

Bézout domeną jest domena Prüfer , czyli domenę, w której każda skończenie generowane ideałem jest odwracalna, czy powiedział inny sposób, przemienną semihereditary domeny.)

W związku z tym, można zobaczyć równoważności „Bézout domenę iff osobę pełniącą funkcję Prüfer domeny i GCD domeny” jako analogiczny do bardziej znanego „wtw PID DEDEKIND domeny i UFD”.

Domeny Prüfer można scharakteryzować jako integralne domen, których lokalizacje wcale Prime (równoważnie wcale maksymalnej ) idee są domeny wyceny . Więc lokalizacja domenie Bézout przy ideałem jest domeną wycena. Ponieważ odwracalna idealny w pierścień lokalny jest główny, lokalny pierścień jest domeną Bézout IFF to jest domena wycena. Ponadto, domeny wartość z cyklicznych (równoważnie non dyskretne ) grupę wartość jest Noetherian i każdy uporządkowany grupa abelowa jest grupa wartość pewna_domena wyceny. To daje wiele przykładów non-Noetherian domen Bézout.

W nieprzemiennej algebry, prawy domen Bézout są domenami, których skończenie generowane prawo ideały są główne prawo ideały, czyli formy XR dla niektórych X w R . Jedną z istotnych rezultatem jest to, że prawo domeny Bézout jest prawo domeny Ore . Fakt ten nie jest interesujący w przypadku przemiennej, ponieważ każda domena przemienne jest domena Ore. Prawy domen Bézout są również prawo semihereditary pierścienie.

Moduły ponad domenie Bézout

Kilka faktów na temat modułów ponad PID przedłużyć do modułów na domenie Bézout. Niech R będzie domena Bézout i M skończenie generowana przez moduł R . Wtedy M jest płaski tylko wtedy, gdy jest odporna na skręcanie.

Zobacz też

Referencje

  • Cohn, PM (1968), "pierścienie Bézout i ich subrings" (PDF) , Proc. Cambridge Filos. Soc. , 64 : 251-264, doi : 10,1017 / s0305004100042791 , MR  0.222.065
  • Helmer, Olaf (1940), "Właściwości podzielność funkcji integralnych", Duke Math. J. , 6 : 345-356, doi : 10,1215 / s0012-7094-40-00626-3 , ISSN  0012-7094 , M.  0.001.851
  • Kaplansky Irving (1970), pierścień przemienny , Boston, Mass .: Allyn and Bacon Inc., str. X + 180 MR  0.254.021
  • Bourbaki Nicolas (1989), przemienna algebra
  • Hazewinkel, Michiel , wyd. (2001) [1994], "Bezouta pierścień" , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4