Tożsamość Brahmagupta-Fibonacciego - Brahmagupta–Fibonacci identity

W algebrze The tożsamość Brahmagupta-Fibonacciego wyraża iloczyn dwóch sum dwóch kwadratów jako suma dwóch kwadratów na dwa różne sposoby. Stąd zbiór wszystkich sum dwóch kwadratów jest domknięty przez mnożenie. W szczególności tożsamość mówi

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ po lewej (a ^ {2} + b ^ {2} \ po prawej) \ po lewej (c ^ {2} + d ^ {2} \ po prawej) i {} = \ po lewej ( ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left (ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{aligned}}}$

Na przykład,

${\ Displaystyle (1 ^ {2} + 4 ^ {2}) (2 ^ {2} + 7 ^ {2}) = 26 ^ {2} + 15 ^ {2} = 30 ^ {2} + 1 ^ {2}.}$

Tożsamość jest również znana jako tożsamość Diofantusa , jak po raz pierwszy udowodnił to Diofant z Aleksandrii . Jest to szczególny przypadek czterokwadratowej tożsamości Eulera , a także tożsamości Lagrange'a .

Brahmagupta udowodnił i używał bardziej ogólnej tożsamości ( tożsamości Brahmagupta ), równoważnej

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ po lewej (a ^ {2} + nb ^ {2} \ po prawej) \ po lewej (c ^ {2} + nd ^ {2} \ po prawej) i {} = \ po lewej ( ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n \left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{aligned}}}$

To pokazuje, że dla dowolnego ustalonego A zbiór wszystkich liczb postaci x ²  +  Ay ² jest domknięty przy mnożeniu.

Tożsamości te dotyczą wszystkich liczb całkowitych , jak również wszystkich liczb wymiernych ; bardziej ogólnie, są one prawdziwe w każdym pierścieniu przemiennym . Wszystkie cztery formy tożsamości można zweryfikować, rozwijając każdą stronę równania. Ponadto (2) można otrzymać z (1) lub (1) z (2), zmieniając b na - b i podobnie z (3) i (4).

Historia

Tożsamość pierwszy pojawił się w Diofantos ' Arithmetica (III, 19), w trzecim wieku naszej ery został odnaleziony przez Brahmagupta (598-668), indyjski matematyk i astronom , który ją uogólnić (do tożsamości Brahmagupta ) i wykorzystał je w swoim badanie tego, co obecnie nazywa się równaniem Pella . Jego Brahmasphutasiddhanta zostało przetłumaczone z sanskrytu na arabski przez Mohammad al-Fazari , a następnie przetłumaczone na łacinę w 1126. Tożsamość później pojawił się w Fibonacciego „s Book of Squares w 1225 roku.

Powiązane tożsamości

Analogiczne tożsamości to czterokwadrat Eulera związany z kwaternionymi i ośmiokwadratowy Degen wywodzący się z oktonionów, który ma powiązania z okresowością Botta . Istnieje również szesnastokwadratowa tożsamość Pfistera , chociaż nie jest już dwuliniowa.

Mnożenie liczb zespolonych

Jeśli a , b , c i d są liczbami rzeczywistymi , tożsamość Brahmagupta-Fibonacciego jest równoważna własności multiplikatywności dla wartości bezwzględnych liczb zespolonych :

${\ Displaystyle | a + bi | \ cdot | c + di | = | (a + bi) (c + di) |.}$

Widać to w następujący sposób: rozszerzając prawą stronę i podnosząc obie strony do kwadratu, własność mnożenia jest równoważna

${\ Displaystyle | a + bi | ^ {2} \ cdot | c + di | ^ {2} = | (ac-bd) + i (ad + bc) | ^ {2},}$

a zgodnie z definicją wartości bezwzględnej jest to z kolei równoważne

${\ Displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2}) \ cdot (c ^ {2} + d ^ {2}) = (ac-BD) ^ {2} + (reklama + bc) ^ {2 }.}$

Równoważne obliczenie w przypadku, gdy zmienne a , b , c i d są liczbami wymiernymi wskazuje na identyczność, można interpretować jako stwierdzenie, że norma w polu Q ( i ) jest multiplikatywna: norma jest dana przez

${\ Displaystyle N (a + bi) = a ^ {2} + b ^ {2},}$

a obliczenie krotności jest takie samo jak poprzednie.

Zastosowanie do równania Pella

W swoim pierwotnym kontekście Brahmagupta zastosował swoje odkrycie tej identyczności do rozwiązania równania Pella x ²  −  Ay ²  = 1. Używając identyczności w bardziej ogólnej formie

${\ Displaystyle (x_ {1} ^ {2}-Ay_ {1} ^ {2}) (x_ {2} ^ {2} - Ay_ {2} ^ {2}) = (x_ {1} x_ {2 }+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

był w stanie "skomponować" trójki ( x ₁ ,  y ₁ ,  k ₁ ) i ( x ₂ ,  y ₂ ,  k ₂ ), które były rozwiązaniami x ²  −  Ay ²  =  k , aby wygenerować nową trójkę

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{ 1}k_{2}).}$

Nie tylko dało to możliwość wygenerowania nieskończenie wielu rozwiązań dla x ²  −  Ay ²  = 1 zaczynając od jednego rozwiązania, ale także, dzieląc taką kompozycję przez k ₁ k ₂ , często można było uzyskać rozwiązania całkowite lub „prawie całkowite” . Ogólna metoda rozwiązywania równania Pella podana przez Bhaskarę II w 1150, a mianowicie metoda czakrawali (cykliczna) również była oparta na tej identyczności.

Zapisywanie liczb całkowitych jako sumy dwóch kwadratów

W połączeniu z jednym z twierdzeń Fermata , tożsamość Brahmagupta-Fibonacciego dowodzi, że iloczyn kwadratu i dowolnej liczby liczb pierwszych postaci 4 n  + 1 jest sumą dwóch kwadratów.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

• Joseph, George G. (2000), The Herb of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics (2nd ed.), Princeton University Press , s. 306, numer ISBN 978-0-691-00659-8
• Stillwell, John (2002), Matematyka i jej historia (2nd ed.), Springer , s. 72-76, ISBN 978-0-387-95336-6

Zewnętrzne linki

• Tożsamość Brahmagupty w PlanetMath
• Tożsamość Brahmagupty w MathWorld
• Zbiór tożsamości algebraicznych