Conifold - Conifold

W matematyce i teorii strun , o conifold jest uogólnieniem na kolektorze . W przeciwieństwie do rozmaitości, formy iglaste mogą zawierać stożkowe osobliwości , tj. Punkty, których otoczenie wygląda jak stożki na określonej podstawie. W fizyce , w szczególności w przypadku kompaktowania strumienia w teorii strun , podstawa jest zwykle pięciowymiarową rozmaitością rzeczywistą, ponieważ typowo rozpatrywane konifoldy to złożone przestrzenie trójwymiarowe (rzeczywiste 6-wymiarowe).

Przegląd

Conifoldy są ważnymi obiektami w teorii strun : Brian Greene wyjaśnia fizykę tych form w rozdziale 13 swojej książki The Elegant Universe - w tym fakt, że przestrzeń może się rozerwać w pobliżu stożka, a jej topologia może się zmieniać. Możliwość tę po raz pierwszy zauważyli Candelas i wsp. (1988) i zastosowany przez Greena i Hübscha (1988) do udowodnienia, że ​​konifoldy zapewniają połączenie między wszystkimi (wówczas) znanymi zwartościami Calabiego-Yau w teorii strun; to częściowo potwierdza hipotezę Reida (1987), zgodnie z którą konifoldy łączą wszystkie możliwe trójwymiarowe przestrzenie zespolone Calabiego-Yau.

Dobrze znany przykład konifolda uzyskuje się jako granicę odkształcenia kwintyki - tj. Kwintycznej hiperpowierzchni w przestrzeni rzutowej . Przestrzeń ma wymiar zespolony równy cztery, a więc przestrzeń zdefiniowaną przez równania kwintyczne (piątego stopnia): ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {4}}$${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {4}}$

${\ Displaystyle Z_ {1} ^ {5} + Z_ {2} ^ {5} + Z_ {3} ^ {5} + Z_ {4} ^ {5} + Z_ {5} ^ {5} -5 \ psi z_ {1} z_ {2} z_ {3} z_ {4} z_ {5} = 0}$

w odniesieniu do współrzędnych jednorodnych na , na każdym stałym kompleksie ma złożoną wymiar trzy. Ta rodzina kwintycznych hiperpowierzchni jest najsłynniejszym przykładem rozmaitości Calabiego-Yau . Jeśli parametr struktury zespolonej ma stać się równy jeden, rozmaitość opisana powyżej staje się osobliwa, ponieważ pochodne kwintycznego wielomianu w równaniu znikają, gdy wszystkie współrzędne są równe lub ich stosunki są pewnymi piątymi pierwiastkami jedności. Sąsiedztwo tego osobliwego punktu wygląda jak stożek, którego podstawa jest topologicznie właściwa . ${\ displaystyle z_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {4}}$${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle z_ {i}}$

${\ Displaystyle S ^ {2} \ razy S ^ {3}}$

W kontekście teorii strun można wykazać, że geometrycznie osobliwe konifoldy prowadzą do całkowicie gładkiej fizyki strun. Rozbieżności są "rozmazane" przez D3-branes owinięte na kurczącej się trójsferach w teorii strun typu IIB oraz przez D2-branes owinięte na kurczącej się dwóch sferach w teorii strun typu IIA , jak pierwotnie wskazał Strominger (1995) . Jak wykazali Greene, Morrison i Strominger (1995) , dostarcza to teoretycznego opisu zmiany topologii poprzez przejście konifold, pierwotnie opisanego przez Candelasa, Greena i Hübscha (1990) , którzy również wymyślili termin „conifold” oraz diagram

w celu. Pokazano zatem, że dwa topologicznie różne sposoby wygładzania konifolda obejmują zastąpienie pojedynczego wierzchołka (węzła) albo 3-sferą (poprzez odkształcenie złożonej struktury), albo 2-sferą (poprzez "małą rozdzielczość" ). Uważa się, że prawie wszystkie rozmaitości Calabiego-Yau mogą być połączone tymi „krytycznymi przejściami”, rezonując z przypuszczeniami Reida.

Bibliografia

• Candelas, Philip; Dale, AM; Lutken, Andrew; Schimmrigk, Rolf (1988), „Complete intersection Calabi-Yau manifolds” , Nuclear Physics B , 298 (3): 493–525, Bibcode : 1988NuPhB.298..493C , doi : 10.1016 / 0550-3213 (88) 90352- 5
• Reid, Miles (1987), „The moduli space of 3-folds with K = 0 may be frreduciable”, Mathematische Annalen , 278 (1–4): 329–334, doi : 10.1007 / bf01458074 , S2CID   120390363
• Green, Paul; Hübsch, Tristan (1988), „Connecting Moduli Spaces of Calabi-Yau Threefolds”, Communications in Mathematical Physics , 119 (3): 431–441, Bibcode : 1988CMaPh.119..431G , doi : 10.1007 / BF01218081 , S2CID   119452483
• Candelas, Philip; Green, Paul; Hübsch, Tristan (1990), „Rolling Among Calabi-Yau Vacua”, Nuclear Physics B , 330 (1): 49–102, Bibcode : 1990NuPhB.330 ... 49C , doi : 10.1016 / 0550-3213 (90) 90302 -T
• Strominger, Andrew (1995), „Bezmasowe czarne dziury i konifoldy w teorii strun”, Nuclear Physics B , 451 (1–2): 96–108, arXiv : hep-th / 9504090 , Bibcode : 1995NuPhB.451 ... 96S , doi : 10.1016 / 0550-3213 (95) 00287-3 , S2CID   6035714
• Greene, Brian; Morrison, David; Strominger, Andrew (1995), „Kondensacja czarnej dziury i unifikacja struny vacua”, Nuclear Physics B , 451 (1–2): 109–120, arXiv : hep-th / 9504145 , Bibcode : 1995NuPhB.451..109G , doi : 10.1016 / 0550-3213 (95) 00371-X , S2CID   11145691

Dalsza lektura

• Hübsch, Tristan (1994), Calabi – Yau Manifolds: a Bestiary for Physicists , Singapur, Nowy Jork: World Scientific , ISBN   981-02-1927-X , OCLC   34989218 , archiwizowane z oryginałem na 2010-01-13 , pobierane 2010-02-25
• Gross, Mark (1997), „Primitive Calabi-Yau threefolds”, Journal of Differential Geometry , 45 (2): 288–318, arXiv : alg-geom / 9512002 , Bibcode : 1995alg.geom.12002G , doi : 10.4310 / jdg / 1214459799 , S2CID   18223199
• Greene, Brian (1997), „String Theory On Calabi – Yau Manifolds”, arXiv : hep-th / 9702155
• Greene, Brian (2003), The Elegant Universe , WW Norton & Co., ISBN   0-393-05858-1
• Hübsch, Tristan „ Conifolds and 'The (Real Worlds-Wide-) Web' ” (2009)