Formularz połączenia - Connection form

W matematyce , a konkretnie w geometrii różniczkowej , forma połączenia jest sposobem organizowania danych połączenia za pomocą języka ruchomych ram i form różniczkowych .

Historycznie, formy połączeń zostały wprowadzone przez Élie Cartana w pierwszej połowie XX wieku jako część i jedna z głównych motywacji jego metody przesuwania kadrów. Forma połączenia generalnie zależy od wyboru układu współrzędnych , a więc nie jest obiektem tensoryjnym . Różne uogólnienia i reinterpretacje formy połączenia zostały sformułowane po pierwszych pracach Cartana. W szczególności, na głównej wiązki , A głównym połączenie jest naturalnym reinterpretacja postaci połączenia jako tensorial obiektu. Z drugiej strony forma połączenia ma tę zaletę, że jest formą różniczkową zdefiniowaną na rozmaitości różniczkowej , a nie na abstrakcyjnej wiązce głównej względem niej. Stąd, pomimo braku tensorialności, formy połączeń są nadal używane ze względu na względną łatwość wykonywania z nimi obliczeń. W fizyce formy połączeń są również szeroko stosowane w kontekście teorii cechowania , poprzez pochodną kowariantną cechowania .

Przyporządkowuje tworzą połączenie z każdym oparciu o wektor pakiet do matrycy różnicowych formach. Postać połączenie nie jest tensorial ponieważ na podstawie zmiany podstawy , transformata tworzą połączenie w taki sposób, że wiąże się z zewnętrzną pochodnej z funkcji przejścia , w taki sam sposób, jak symbole christoffela dla związku Levi Civita . Głównym niezmiennikiem tensoryjnym formy połączenia jest jej krzywizna . W obecności formy lutowniczej identyfikującej wiązkę wektorową z wiązką styczną , występuje dodatkowy niezmiennik: forma skręcania . W wielu przypadkach formy połączeń są rozpatrywane na wiązkach wektorowych z dodatkową strukturą: wiązką włókien z grupą struktur .

Pakiety wektorowe

Ramki w pakiecie wektorowym

Niech E będzie wiązką wektorową o wymiarze włókna k nad rozmaitością różniczkowalną M . Lokalnej ramki do E jest uporządkowana podstawę z lokalnych części o E . Zawsze istnieje możliwość skonstruowania ramki lokalnej, ponieważ wiązki wektorów są zawsze definiowane w kategoriach lokalnych trywializacji , analogicznie do atlasu rozmaitości. To znaczy, przy danym punkcie x na rozmaitości bazowej M , istnieje otwarte sąsiedztwo U ⊂ M od x, dla którego wiązka wektorów nad U jest izomorficzna z przestrzenią U × R ^k : jest to lokalna trywializacja. Struktura przestrzeni wektorowych na R ^k może być w ten sposób rozszerzyć na całą lokalną banalizacji, a podstawą R ^k może być przedłużony, a także; to definiuje ramkę lokalną. (Tutaj R ma oznaczać liczby rzeczywiste ℝ, chociaż znaczna część rozwoju może być rozszerzona na moduły nad pierścieniami ogólnie, a w szczególności na przestrzenie wektorowe nad liczbami zespolonymi ℂ).

Niech e = ( e _α ) _{α =1,2,..., k} będzie lokalną ramką na E . Ramka ta może być użyta do lokalnego wyrażenia dowolnej sekcji E . Załóżmy na przykład, że ξ jest sekcją lokalną, zdefiniowaną na tym samym zbiorze otwartym co ramka e . Następnie

${\ Displaystyle \ xi = \ suma _ {\ alfa =1} ^ {k} e_ {\ alfa} \ xi ^ {\ alfa} (\ mathbf {e})}$

gdzie Ę, ^a- ( e ) oznacza się składniki o Ę w ramce e . Jako równanie macierzowe brzmi to

${\ Displaystyle \ xi = {\ mathbf {e}} {\ zacząć {bmatrix} \ xi ^ {1} (\ mathbf {e} ) \ \ \ xi ^ {2} (\ mathbf {e} ) \ \ \ vdots \\\xi ^{k}(\mathbf {e} )\end{bmatrix}}={\mathbf {e} }\,\xi (\mathbf {e} )}$

W ogólnej teorii względności takie pola ramek nazywane są tetradami . Tetrada w szczególności odnosi się do lokalnego układu do wyraźnego układu współrzędnych na podstawowej rozmaitości M (układ współrzędnych na M jest ustalany przez atlas).

Połączenia zewnętrzne

Połączenie w E jest typu operator różnicowy

${\ Displaystyle D: \ Gamma (E) \ rightarrow \ Gamma (E \ otimes \ Omega ^ {1} M)}$

gdzie Γ oznacza snop lokalnych odcinków wiązki wektorowej, a Ω ¹ M jest wiązką różniczkowych 1-form na M . Aby D było połączeniem, musi być prawidłowo połączone z zewnętrzną pochodną . W szczególności, jeśli v jest lokalną sekcją E , a f jest funkcją gładką, wtedy

${\ Displaystyle D (fv) = v \ otimes (df) + fDv}$

gdzie df jest zewnętrzną pochodną f .

Czasami wygodnie jest rozszerzyć definicję D na dowolne formy o wartościach E , traktując ją jako operator różniczkowy na iloczynie tensorowym E z pełną zewnętrzną algebrą form różniczkowych. Biorąc pod uwagę połączenie zewnętrzne D spełniające tę właściwość kompatybilności, istnieje unikalne rozszerzenie D :

${\ Displaystyle D: \ Gamma (E \ otimes \ Omega ^ {*} M) \ rightarrow \ Gamma (E \ otimes \ Omega ^ {*} M)}$

takie, że

${\ Displaystyle D (v \ klin \ alfa ) = (Dv) \ klin \ alfa + (-1) ^ {{\ tekst {stopni}} \, v} v \ klin d \ alfa}$

gdzie v jest jednorodną stopniem deg v . Innymi słowy, D jest pochodną na snopie stopniowanych modułów Γ( E ⊗ Ω ^* M ).

Formularze połączeń

Forma połączenia powstaje przy zastosowaniu połączenia zewnętrznego do określonej ramy e . Po zastosowaniu zewnętrznego połączenia do e _α , jest to unikalna macierz k × k ( ω _α ^β ) jednopostaciowych na M taka, że

${\ Displaystyle De_ {\ alfa} = \ suma _ {\ beta =1} ^ {k} e_ {\ beta} \ otimes \ omega _ {\ alfa} ^ {\ beta}.}$

Jeśli chodzi o formę połączenia, można teraz wyrazić zewnętrzne połączenie dowolnej sekcji E. Załóżmy na przykład, że ξ = Σ _α e _α ξ ^α . Następnie

${\ Displaystyle D \ xi = \ suma _ {\ alfa =1} ^ {k} D (e_ {\ alfa} \ xi ^ {\ alfa} (\ mathbf {e}})) = \ suma _ {\ alfa = 1}^{k}e_{\alpha }\otimes d\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )+\sum _{\alpha =1}^{k}\sum _{\beta =1 }^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ).}$

Pobieranie komponentów po obu stronach,

${\ Displaystyle D \ xi (\ mathbf {e} ) = d \ xi (\ mathbf {e} ) + \ omega \ xi (\ mathbf {e} ) = (d + \ omega ) \ xi (\ mathbf {e} )}$

gdzie należy rozumieć, że d i ω odnoszą się do składowej pochodnej odpowiednio względem ramki e i macierzy 1-form, działającej na składowe ξ . Odwrotnie, macierz 1-form ω jest a priori wystarczająca do całkowitego określenia połączenia lokalnie na zbiorze otwartym, na którym zdefiniowana jest baza odcinków e .

Zmiana ramki

W celu przedłużenia ω do odpowiedniego obiektu globalnego, konieczne jest zbadanie, w jaki zachowuje się, gdy inny wybór podstawowych sekcji E jest wybrany. Napisz ω _α ^β = ω _α ^β ( e ) , aby wskazać zależność od wyboru e .

Załóżmy, że e ′ jest innym wyborem bazy lokalnej. Wtedy istnieje odwracalna macierz k × k funkcji g taka, że

${\displaystyle {\mathbf {e}}'={\mathbf {e}}\g,\quad {\text{tj}}\,e'_{\alfa}=\suma _{\beta} e_{\beta}g_{\alfa}^{\beta}.}$

Zastosowanie połączenia zewnętrznego po obu stronach daje prawo przekształcenia dla ω :

${\ Displaystyle \ omega (\ mathbf {e} \ g) = g ^ {-1} dg + g ^ {-1} \ omega (\ mathbf {e}) g.}$

Zauważ w szczególności, że ω nie przekształca się w tensoryczny sposób, ponieważ reguła przejścia z jednej klatki do drugiej obejmuje pochodne macierzy przejścia g .

Globalne formularze połączeń

Jeśli { U _s } jest otwarty pokrycie M , a każdy U _P jest wyposażony Banalizacja e _s z e , to jest możliwe, aby określić globalne postać połączenia pod względem uzupełniania ubytków danych pomiędzy lokalnymi postaci połączenia na zakładkę regiony. Dokładniej, forma połączenia na M jest układem macierzy ω ( e _p ) o 1-formach zdefiniowanych na każdym U _p, które spełniają następujący warunek zgodności

${\ Displaystyle \ omega (\ mathbf {e} _ {q}) = (\ mathbf {e} _ {p} ^ {-1} \ mathbf {e} _ {q}) ^ {-1} d (\ mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})+(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^ {-1}\omega (\mathbf {e} _{p})(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q}).}$

Ten warunek kompatybilności zapewnia w szczególności, że zewnętrzne połączenie odcinka E , traktowane abstrakcyjnie jako odcinek E ⊗ Ω ¹ M , nie zależy od wyboru podstawowego odcinka użytego do zdefiniowania połączenia.

Krzywizna

Krzywizna dwie formy w postaci połączenia w E jest określona

${\ Displaystyle \ Omega ( \ mathbf {e} ) = d \ omega ( \ mathbf {e} ) + \ omega ( \ mathbf {e} ) \ klin \ omega ( \ mathbf {e} ).}$

W przeciwieństwie do formy połączenia, krzywizna zachowuje się tensorycznie przy zmianie ramy, co można sprawdzić bezpośrednio za pomocą lematu Poincaré . W szczególności, jeśli e → e g jest zmianą ramy, to krzywizna dwupostaciowa przekształca się o

${\ Displaystyle \ Omega (\ mathbf {e} \, g) = g ^ {-1} \ Omega (\ mathbf {e}) g.}$

Jedna z interpretacji tego prawa transformacji jest następująca. Niech e ^* będzie bazą dualną odpowiadającą ramce e . Następnie 2-forma

${\ Displaystyle \ Omega = {\ mathbf {e}} \ Omega (\ mathbf {e} ) {\ mathbf {e}} ^ {*}}$

jest niezależna od wyboru ramy. W szczególności, Ω jest wartością wektorową dwupostaciową na M z wartościami w pierścieniu endomorfizmu Hom( E , E ). Symbolicznie,

${\ Displaystyle \ Omega \ w \ Gamma (\ Omega ^ {2} M \ otimes {\ tekst {Hom}} (E, E)).}$

W odniesieniu do połączenia zewnętrznego D endomorfizm krzywizny jest określony wzorem

${\ Displaystyle \ Omega (v) = D (Dv) = D ^ {2} v \,}$

dla v ∈ E . W ten sposób krzywizna mierzy awarię sekwencji

${\ Displaystyle \ Gamma (E) \ {\ Stackrel {D} {\ do}} \ \ Gamma (E \ czasami \ Omega ^ {1} M) \ {\ Stackrel {D} {\ do}} \ \ Gamma (E\otimes \Omega ^{2}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \dots \ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{ n}(M))}$

być kompleksem łańcuchowym (w sensie kohomologii de Rhama ).

Lutowanie i skręcanie

Załóżmy, że wymiar włókna k z E jest równy wymiarowi rozmaitości M . W takim przypadku wiązka wektorowa E jest czasami wyposażona w dodatkową porcję danych oprócz jej połączenia: formularz lutowniczy . Postać lutowie jest definiowane globalnie wektor wartościach jedna forma θ ∈ Ohm ¹ ( M , E ), tak, że mapowanie

${\ Displaystyle \ theta _ {x}: T_ {x} M \ rightarrow E_ {x}}$

jest izomorfizmem liniowym dla wszystkich x ∈ M . Jeżeli podana jest forma lutowania, to można zdefiniować skręcanie połączenia (w zakresie połączenia zewnętrznego) jako

${\ Displaystyle \ Theta = D \ theta. \,}$

Skręcanie Θ jest 2-postacią o wartości E na M .

Forma do lutowania i związane skrętnej mogą być opisywane w odniesieniu do lokalnej ramki e z e . Jeśli θ jest formą lutowia, to rozkłada się na elementy ramy

${\ Displaystyle \ theta = \ suma _ {i} \ theta ^ {i} (\ mathbf {e}) e_ {i}}.$

Składowe skręcania są wtedy

${\ Displaystyle \ Theta ^ {i} (\ mathbf {e}) = d \ theta ^ {i} (\ mathbf {e}) + \ suma _ {j} \ omega _ {j} ^ {i} (\ mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}(\mathbf {e} ).}$

Podobnie jak w przypadku krzywizny, można wykazać, że Θ zachowuje się jak tensor kontrawariantny przy zmianie klatki:

${\ Displaystyle \ Theta ^ {i} (\ mathbf {e} \, g) = \ suma _ {j} g_ {j} ^ {i} \ Theta ^ {j} (\ mathbf {e}).}$

Skręcanie niezależne od ramy można również odzyskać z elementów ramy:

${\ Displaystyle \ Theta = \ suma _ {i} e_ {i} \ Theta ^ {i} (\ mathbf {e}).}$

Tożsamości Bianchi

Do tożsamości Bianchi odnieść skręcenie do krzywizny. Pierwsza tożsamość Bianchi stwierdza, że

${\ Displaystyle D \ Theta = \ Omega \ klin \ theta}$

podczas gdy druga tożsamość Bianchi stwierdza, że

${\ Displaystyle \ D \ Omega = 0.}$

Przykład: połączenie Levi-Civita

Jako przykład załóżmy, że M niesie metrykę Riemanna . Jeśli mamy wiązkę wektorów E nad M , metryka może zostać rozszerzona na całą wiązkę wektorów jako metryka wiązki . Można wtedy zdefiniować połączenie, które jest kompatybilne z tą metryką pakietu, jest to połączenie metryki . Dla szczególnego przypadku, w którym E jest wiązką styczną TM , połączenie metryczne nazywa się połączeniem Riemanna . Mając połączenie riemannowskie, zawsze można znaleźć unikalne, równoważne połączenie, które jest wolne od skręcania . To połączenie Levi Civita stycznej wiązki TM z M .

Ramka lokalna na wiązce stycznej jest uporządkowaną listą pól wektorowych e = ( e _i | i = 1, 2, ..., n ) , gdzie n = dim M , zdefiniowanych na otwartym podzbiorze M, które są liniowo niezależne w każdym punkcie swojej domeny. Symbole Christoffel definiują połączenie Levi-Civita przez:

${\ Displaystyle \ nabla _ {e_ {i}} e_ {j} = \ suma _ {k = 1} ^ {n} \ Gamma _ {ij} ^ {k} (\ mathbf {e}) e_ {k} .}$

Jeśli θ = { θ ⁱ | i = 1, 2, ..., n } oznacza podwójne podstawą z wiązki cotangent tak, że θ ⁱ ( e _j ) = δ ^I _J (The delta Kronecker ), a następnie forma jest związek

${\ Displaystyle \ omega _ {i} ^ {j} (\ mathbf {e}) = \ suma _ {k} \ Gamma ^ {j} _ {ki} (\ mathbf {e}) \ theta ^ { k}.}$

Z punktu widzenia postaci połączenia, połączenie zewnętrzne na polu wektorowym v = Σ _i e _i v ⁱ jest dane przez

${\ Displaystyle Dv = \ suma _ {k} e_ {k} \ otimes (dv ^ {k}) + \ suma _ {j, k} e_ {k} \ czasami \ omega _ {j} ^ {k} ( \mathbf {e} )v^{j}.}$

Można z tego odzyskać połączenie Levi-Civita, w zwykłym sensie, poprzez zawarcie umowy z e _i :

${\ Displaystyle \ nabla _ {e_ {i}} v = \ langle Dv, e_ {i} \ rangle = \ suma _ {k} e_ {k} \ lewo (\ nabla _ {e_ {i}} v ^ { k}+\sum _{j}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}\right)}$

Krzywizna

Krzywizna 2 formy połączenia Levi-Civita jest macierzą (Ω _i ^j ) podaną przez

${\ Displaystyle \ Omega _ {i}{} ^ {j} (\ mathbf {e}) = d \ omega _ {i} ^ {j} (\ mathbf {e}) + \ suma _ {k} \omega _{k}{}^{j}(\mathbf {e} )\wedge \omega _{i}{}^{k}(\mathbf {e} ).}$

Dla uproszczenia załóżmy, że rama e jest holonomiczna , więc dθ ⁱ = 0 . Następnie, stosując teraz konwencję sumowania na powtarzających się indeksach,

${\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {ll} \ Omega _ {i} {} ^ {j} i = d (\ Gamma ^ {j} {} _ {qi} \ theta ^ {q}) + (\ Gamma ^{j}{}_{pk}\theta ^{p})\wedge (\Gamma ^{k}{}_{qi}\theta ^{q})\\&\\&=\theta ^ {p}\wedge \theta ^{q}\left(\partial _{p}\Gamma ^{j}{}_{qi}+\Gamma ^{j}{}_{pk}\Gamma ^{k }{}_{qi})\right)\\&\\&={\tfrac {1}{2}}\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}R_{pqi}{}^{ j}\end{tablica}}}$

gdzie R jest tensorem krzywizny Riemanna .

Skręcenie

Połączenie Levi-Civita charakteryzuje się jako unikalne połączenie metryczne w wiązce stycznej o zerowym skręcaniu. Aby opisać skręcanie, zauważ, że wiązka wektorowa E jest wiązką styczną. Niesie to ze sobą postaci kanonicznej lutowniczy (zwany czasem kanoniczne jedną postać , w szczególności w kontekście mechaniki ), która to sekcja θ z Hom (T M , T M ) = T ^* M ⊗ T M odpowiadający endomorfizm tożsamości przestrzenie styczne. W ramce e formą lutowia jest {{{1}}} , gdzie ponownie θ ⁱ jest bazą dualną.

Skręt połączenia jest określony przez Θ = Dθ , lub w odniesieniu do elementów ramy formy lutowanej przez

${\ Displaystyle \ Theta ^ {i} (\ mathbf {e} ) = d \ theta ^ {i} + \ suma _ {j} \ omega _ {j} ^ {i} (\ mathbf {e}) \ klin \theta ^{j}.}$

Zakładając ponownie dla uproszczenia, że e jest holonomiczne, wyrażenie to sprowadza się do:

${\ Displaystyle \ Theta ^ {i} = \ Gamma ^ {i} {} _ {kj} \ theta ^ {k} \ klin \ theta ^ {j}}$,

który znika wtedy i tylko wtedy, gdy Γ ⁱ _kj jest symetryczne na swoich niższych indeksach.

Biorąc pod uwagę połączenie metryczne ze skręcaniem, zawsze można znaleźć pojedyncze, unikalne połączenie, które jest wolne od skręcania, jest to połączenie Levi-Civita. Różnica między połączeniem riemannowskim a związanym z nim połączeniem Levi-Civita to tensor skręcenia .

Grupy strukturalne

Bardziej specyficzny typ formy połączenia można skonstruować, gdy wiązka wektorowa E niesie grupę struktur . Sprowadza się to do preferowanej klasy ramek e na E , które są spokrewnione przez grupę G Liego . Na przykład, w obecności metryki w E , pracuje się z ramami, które tworzą ortonormalną bazę w każdym punkcie. Grupa struktur jest wtedy grupą ortogonalną , ponieważ ta grupa zachowuje ortonormalność ram. Inne przykłady obejmują:

• Typowe ramy, rozważane w poprzednim rozdziale, mają strukturalną GL grupy ( k ), gdzie k jest wymiar włókna E .
• Holomorficzna wiązka styczna złożonej rozmaitości (lub prawie złożonej rozmaitości ). Tutaj grupa strukturalna to GL _n ( C ) ⊂ GL _2n ( R ). W przypadku podania metryki hermitowskiej , grupa strukturalna sprowadza się do grupy unitarnej działającej na ramach unitarnych.
• Spinory na kolektorze wyposażone w strukturę spinową . Ramki są jednolite w odniesieniu do niezmiennego iloczynu wewnętrznego w przestrzeni spinowej, a grupa redukuje się do grupy spinowej .
• Holomorficzne wiązki styczne na rozmaitościach CR .

Ogólnie rzecz biorąc, niech E będzie daną wiązką wektorową o wymiarze włókna k , a G ⊂ GL( k ) daną podgrupą Lie ogólnej grupy liniowej R ^k . Jeśli ( e _α ) jest lokalną ramką E , wtedy funkcja o wartościach macierzowych ( g _i ^j ): M → G może działać na e _α, tworząc nową ramkę

${\ Displaystyle e_ {\ alfa} '= \ suma _ {\ beta} e_ {\ beta} g_ {\ alfa} ^ {\ beta}.}$

Dwa takie ramki są G kondensatorem . Nieformalnie wiązka wektorów E ma strukturę paczki G, jeśli określono preferowaną klasę ramek, z których wszystkie są lokalnie G- powiązane ze sobą. Formalnie E jest wiązka włókien z grupy strukturalnej G którego typowe włókno R ^K z naturalnego działania G jako podgrupa GL ( k ).

Kompatybilne połączenia

Połączenie jest kompatybilne ze strukturą pakietu G na E pod warunkiem, że powiązane mapy transportu równoległego zawsze wysyłają jedną ramkę G do drugiej. Formalnie wzdłuż krzywej γ muszą obowiązywać lokalnie (to znaczy dla wystarczająco małych wartości t ):

${\ Displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {0} ^ {t} e_ {\ alfa} (\ gamma (0)) = \ suma _ {\ beta} e_ {\ beta} (\ gamma (t)) g_ {\alfa}^{\beta}(t)}$

dla pewnej macierzy g _α ^β (która może również zależeć od t ). Zróżnicowanie w t =0 daje

${\ Displaystyle \ nabla _ {{\ kropka {\ gamma}} (0)} e_ {\ alfa} = \ suma _ {\ beta} e_ {\ beta} \ omega _ {\ alfa} ^ {\ beta} ( {\kropka {\gamma}}(0)}$

gdzie współczynniki ω _α ^β są w algebrze Liego g grupy Liego G .

Przy tej obserwacji forma połączenia ω _α ^β określona przez

${\ Displaystyle De_ {\ alfa} = \ suma _ {\ beta} e_ {\ beta} \ otimes \ omega _ {\ alfa} ^ {\ beta} (\ mathbf {e})}$

jest zgodna ze strukturą, jeśli macierz jednoform ω _α ^β ( e ) przyjmuje wartości w g .

Krzywizna zgodnego połączenia jest ponadto dwupostacią o wartości g .

Zmiana ramki

Pod zmianą kadru

${\displaystyle e_{\alfa}'=\suma _{\beta}e_{\beta}g_{\alfa}^{\beta}}$

gdzie g jest funkcją o wartości G zdefiniowaną na otwartym podzbiorze M , forma połączenia przekształca się przez

${\ Displaystyle \ omega _ {\ alfa} ^ {\ beta} (\ mathbf {e} \ cdot g) = (g ^ {-1}) _ {\ gamma} ^ {\ beta} dg_ {\ alfa} ^ {\gamma }+(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }\omega _{\delta }^{\gamma }(\mathbf {e} )g_{\alpha }^{\ delta }.}$

Lub za pomocą produktów matrycowych:

${\ Displaystyle \ omega ({\ mathbf {e}} \ cdot g) = g ^ {-1} dg + g ^ {-1} \ omega g.}$

Aby zinterpretować każdy z tych terminów, przypomnij sobie, że g  : M → G jest funkcją o wartości G (zdefiniowaną lokalnie). Mając to na uwadze,

${\ Displaystyle \ omega ({\ mathbf {e}} \ cdot g) = g ^ {*} \ omega _ {\ mathfrak {g}} + {\ tekst {reklama}} _ {g ^ {-1}} \omega (\mathbf {e} )}$

gdzie ω _g jest forma Maurer-Cartana dla grupy G tu odciągany do tyłu z M wzdłuż funkcji g i Ad jest przedstawienie sprzężony z G na jego Algebra Lie.

Pakiety główne

Wprowadzona dotychczas forma połączenia zależy od konkretnego doboru ramy. W pierwszej definicji rama jest tylko lokalną bazą przekrojów. Do każdej ramki nadany jest formularz połączenia z prawem transformacji dla przejścia z jednej ramki do drugiej. W drugiej definicji same ramki niosą pewną dodatkową strukturę zapewnianą przez grupę Lie, a zmiany ramki są ograniczone do tych, które przyjmują w niej swoje wartości. Język wiązek głównych, którego pionierem był Charles Ehresmann w latach 40. XX wieku, dostarcza sposobu organizowania tych wielu form połączeń i praw transformacji łączących je w jedną wewnętrzną formę z jedną regułą transformacji. Wadą tego podejścia jest to, że formy nie są już definiowane na samej rozmaitości, ale raczej na większej wiązce głównej.

Główne połączenie dla formularza połączenia

Załóżmy, że E → M jest wiązką wektorów z grupą struktur G . Niech { U } będzie otwartą pokrywą M , razem z ramkami G na każdym U , oznaczonym przez e _U . Są one powiązane na przecięciach nakładających się zbiorów otwartych przez

${\ Displaystyle {\ mathbf {e}} _ {V} = {\ mathbf {e}} _ {U} \ cdot h_ {UV}}$

dla pewnej funkcji o wartości G h _UV określonej na U ∩ V .

Niech F _G E będzie zbiorem wszystkich ramek G pobranych nad każdym punktem M . To jest główny pakiet G nad M . W szczegółach, wykorzystując fakt, że wszystkie ramki G są związane z G , F _G E można zrealizować w zakresie sklejania danych pomiędzy zestawami pokrywy otwartej:

${\ Displaystyle F_ {G} E = \ lewo. \ Coprod _ {U} U \ razy G \ prawej / \ SIM}$

gdzie relacja równoważności jest zdefiniowana przez ${\displaystyle \sim}$

${\ Displaystyle ((x, g_ {U}) \ w U \ razy G) \ SIM ((x, g_ {V}) \ w V \ razy G) \ iff {\ mathbf {e}} _ {V} ={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}{\text{ i }}g_{U}=h_{UV}^{-1}(x)g_{V}.}$

Na F _G E zdefiniuj główne połączenie G w następujący sposób, określając jednorodną formę o wartości g na każdym produkcie U × G , która respektuje relację równoważności w obszarach nakładania się. Najpierw niech

${\ Displaystyle \ pi _ {1}: U \ razy G \ do U \ quad \ pi _ {2}: U \ razy G \ do G}$

być mapami projekcji. Teraz dla punktu ( x , g ) ∈ U × G , set

${\ Displaystyle \ omega _ {(x, g)} = Ad_ {g ^ {-1}} \ pi _ {1} ^ {*} \ omega (\ mathbf {e} _ {U}) + \ pi _ {2}^{*}\omega _{\mathbf {g} }.}$

1-formy ω skonstruowane w ten sposób, względem przejścia pomiędzy zachodzącymi na siebie zestawów, a więc obniża się do uzyskania określonego globalnie 1-formy na głównej wiązki F _G E . Można wykazać, że ω jest głównym połączeniem w tym sensie, że odtwarza generatory działania prawego G na F _G E i równoważnie przeplata prawą akcję na T(F _G E ) ze sprzężoną reprezentacją G .

Formularze połączeń skojarzone z głównym połączeniem

Odwrotnie, połączenie główne G ω w wiązce głównej G P → M daje początek zbiorowi form połączeń na M . Załóżmy, że e  : M → P jest lokalną sekcją P . Następnie cofnięcie ω wzdłuż e definiuje jednopostacię o wartości g na M :

${\ Displaystyle \ omega ({\ mathbf {e}}) = {\ mathbf {e}} ^ {*} \ omega.}$

Zmieniając ramki za pomocą funkcji G o wartościach g , widać, że ω( e ) transformuje się w wymagany sposób przy użyciu reguły Leibniza i dodawania:

${\ Displaystyle \ langle X ({\ mathbf {e}} \ cdot g) ^ {*} \ omega \ rangle = \ langle [d (\ mathbf {e} \ cdot g)] (X), \ omega \ zgrabny }$

gdzie X jest wektorem na M , a d oznacza ruch do przodu .

Zobacz też

• Połączenie Ehresmanna
• Połączenie kartanowe
• Połączenie afiniczne
• Forma krzywizny

Uwagi

Bibliografia

• Chern, S.-S., Topics in Differential Geometry , Institute for Advanced Study, powielone notatki z wykładów, 1951.
• Czern SS; Moser, JK (1974), „Rzeczywiste hiperpowierzchnie w złożonych rozmaitościach”, Acta Math. , 133 : 219–271, doi : 10.1007/BF02392146
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1978), Zasady geometrii algebraicznej , John Wiley i synowie, ISBN 0-471-05059-8
• Jost, Jürgen (2011), geometria riemannowska i analiza geometryczna (PDF) , Universitext (wyd. szóste.), Springer, Heidelberg, doi : 10.1007/978-3-642-21298-7 , ISBN 978-3-642-21297-0, MR  2829653
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Podstawy geometrii różniczkowej, tom. 1 (nowe wydanie), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Podstawy geometrii różniczkowej, tom. 2 (nowe wydanie), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15732-5
• Spivak, Michael (1999), Kompleksowe wprowadzenie do geometrii różniczkowej (tom 2) , Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3
• Spivak, Michael (1999), Kompleksowe wprowadzenie do geometrii różniczkowej (tom 3) , Publish or Perish, ISBN 0-914098-72-1
• Wells, RO (1973), Analiza różniczkowa na rozmaitościach zespolonych , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0
• Wells, RO (1980), Analiza różniczkowa na rozmaitościach zespolonych , Prentice-Hall