Wiązka styczna — Tangent bundle

Nieformalnie wiązkę styczną rozmaitości (która w tym przypadku jest kołem) otrzymuje się, biorąc pod uwagę wszystkie przestrzenie styczne (góra) i łącząc je ze sobą w sposób gładki i niezachodzący na siebie (dół).

W geometrii różniczkowej The wiązka styczna z rozmaitości różniczkowej jest rozdzielacz , który zbiera wszystkie wektory stycznej . W zestawie, to jest przez Unię rozłącznego z przestrzeni stycznych o . To jest, ${\ Displaystyle M}$${\displaystyle TM}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} TM & = \ bigsqcup _ {x \ w m} T_ {x} M \ \ & = \ bigcup _ {x \ w m} \ lewo \ {x \ po prawej \} \ razy T_ {x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{(x,y)\mid y\in T_{x}M\right\}\\&=\left\{(x ,y)\mid x\in M,\,y\in T_{x}M\right\}\end{aligned}}}$

gdzie oznacza przestrzeń styczną do w punkcie . Tak, to element można traktować jako pary , gdzie jest punkt i jest wektor styczny do u . ${\ Displaystyle T_ {x} M}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle (x,v)}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle v}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle x}$

Istnieje naturalna projekcja

${\ Displaystyle \ pi: TM \ twoheadrightarrow M}$

zdefiniowane przez . To odwzorowanie odwzorowuje każdy element przestrzeni stycznej na pojedynczy punkt . ${\ Displaystyle \ pi (x, v) = x}$${\ Displaystyle T_ {x} M}$${\displaystyle x}$

Wiązka styczna jest wyposażona w naturalną topologię (opisaną w sekcji poniżej ). W tej topologii wiązka styczna do rozmaitości jest prototypowym przykładem wiązki wektorowej (która jest wiązką włókien, której włókna są przestrzeniami wektorowymi ). Odcinek od jest pole wektorowe na i podwójny pakiet aby to wiązka cotangens , który jest sumą rozłącznych z przestrzeni cotangent o . Z definicji rozmaitość jest paralelizowalna wtedy i tylko wtedy, gdy wiązka styczna jest trywialna . Z definicji, kolektor jest oprawiony wtedy i tylko wtedy, gdy wiązka styczna jest stabilnie trywialne, co oznacza, że z jakiegoś błahego wiązki suma Whitney jest trywialne. Na przykład n- wymiarowa sfera S ⁿ jest obramowana dla wszystkich n , ale paralelizowalna tylko dla n = 1, 3, 7 (na podstawie wyników Botta-Milnora i Kervaire'a). ${\displaystyle TM}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle TM}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle TM}$${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle TM \ oplus E}$

Rola

Jedną z głównych ról wiązki stycznej jest zapewnienie dziedziny i zakresu dla pochodnej funkcji gładkiej. Mianowicie, jeśli jest gładka funkcja z i gładkich rur rozgałęźnych, jego pochodna jest gładka funkcja . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle N}$${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$

Topologia i gładka struktura

Styczna pakiet wyposażony jest w naturalnej topologii ( nie topologii unia rozłączne ) i gładką strukturę , tak aby uczynić go do kolektora w sobie. Wymiar jest dwukrotnie większy od wymiaru . ${\displaystyle TM}$${\ Displaystyle M}$

Każda przestrzeń styczna n- wymiarowej rozmaitości jest n- wymiarową przestrzenią wektorową. Jeśli jest otwartym kurczliwym podzbiorem , to istnieje dyfeomorfizm, który ogranicza się do izomorfizmu liniowego z każdej przestrzeni stycznej do . Jednak jako rozmaitość nie zawsze jest dyfeomorficzna z rozmaitością produktową . Kiedy ma formę , to mówi się, że wiązka styczna jest trywialna . Trywialne wiązki styczne zwykle występują dla rozmaitości wyposażonych w „zgodną strukturę grupową”; na przykład w przypadku, gdy rozmaitość jest grupą Liego . Wiązka styczna okręgu jednostkowego jest trywialna, ponieważ jest grupą Liego (pod wpływem mnożenia i jego naturalnej struktury różniczkowej). Nie jest jednak prawdą, że wszystkie przestrzenie z trywialnymi wiązkami stycznymi są grupami Liego; rozmaitości, które mają trywialną wiązkę styczną, nazywane są paralelizowalnymi . Tak jak rozmaitości są lokalnie modelowane w przestrzeni euklidesowej , wiązki styczne są lokalnie modelowane w przestrzeni euklidesowej , gdzie jest otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej. ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle TU \ do U \ razy \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle T_ {x} U}$${\ Displaystyle \ {x \} \ razy \ mathbb {R} ^ {n}}$${\displaystyle TM}$${\ Displaystyle M \ razy \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle M \ razy \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle U \ razy \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle U}$

Jeśli M jest gładką rozmaitością n- wymiarową, to jest ona wyposażona w atlas wykresów , gdzie jest zbiorem otwartym i ${\displaystyle (U_{\alfa},\phi _{\alfa})}$${\displaystyle U_{\alfa}}$${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ phi _ {\ alfa}: U_ {\ alfa} \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$

jest dyfeomorfizmem . Te współrzędne lokalne dają początek izomorfizmowi dla wszystkich . Możemy wtedy zdefiniować mapę ${\displaystyle U_{\alfa}}$${\ Displaystyle T_ {x} M \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle x \ w U_ {\ alfa}}$

${\ Displaystyle {\ widetilde {\ phi}} _ {\ alfa}: \ pi ^ {-1} \ lewo (U_ {\ alfa} \ prawej) \ do \ mathbb {R} ^ {2n}}$

za pomocą

${\ Displaystyle {\ widetilde {\ phi}} _ {\ alfa} \ lewo (x, v ^ {i} \ częściowy _ {i} \ prawo) = \ lewo (\ phi _ {\ alfa} (x), v^{1},\cdots ,v^{n}\right)}$

Używamy tych map do zdefiniowania topologii i gładkiej struktury na . Podzbiór z otwarta jest tylko wtedy, gdy ${\displaystyle TM}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle TM}$

${\ Displaystyle {\ widetilde {\ phi }} _ {\ alfa} \ lewo (A \ czapka \ pi ^ {-1} \ lewo (U_ {\ alfa} \ po prawej) \ po prawej)}$

jest otwarty w za każdy Te mapy są homeomorfizmy między otwartymi podzbiorami i , a zatem służyć jako wykresów dla gładkiej struktury na . Funkcje przejścia na nakładaniu się wykresów są indukowane przez macierze Jakobianu skojarzonej transformacji współrzędnych i dlatego są gładkimi mapami między otwartymi podzbiorami . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\displaystyle \alfa.}$${\displaystyle TM}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$${\displaystyle TM}$${\ Displaystyle \ pi ^ {-1} \ lewo (U_ {\ alfa} \ czapka U_ {\ beta} \ prawej)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$

Wiązka styczna jest przykładem bardziej ogólnej konstrukcji zwanej wiązką wektorową (która sama jest specyficznym rodzajem wiązki włókien ). Jawnie, wiązka styczna do -wymiarowej rozmaitości może być zdefiniowana jako wiązka wektora rzędów, w której funkcje przejścia są podane przez jakobian skojarzonych transformacji współrzędnych. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle M}$

Przykłady

Najprostszym przykładem jest . W tym przypadku wiązka styczna jest trywialna: każda jest kanonicznie izomorficzna z mapą, która odejmuje , dając dyfeomorfizm . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle T_ {x} \ mathbf {\ mathbb {R}} ^ {n}}$${\ Displaystyle T_ {0}\ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle T \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {n} \ razy \ mathbb {R} ^ {n}}$

Innym prostym przykładem jest okrąg jednostek , (patrz obrazek powyżej). Wiązka styczna okręgu jest również trywialna i izomorficzna z . Geometrycznie jest to walec o nieskończonej wysokości. ${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\ Displaystyle S ^ {1} \ razy \ mathbb {R}}$

Jedynymi wiązkami stycznymi, które można łatwo zwizualizować, są wiązki rzeczywistej linii i okręgu jednostkowego , które są trywialne. W przypadku rozmaitości dwuwymiarowych wiązka styczna jest czterowymiarowa, a zatem trudna do wizualizacji. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Prostym przykładem nietrywialnej wiązki stycznej jest sfera jednostkowa : ta wiązka styczna jest nietrywialna w wyniku twierdzenia o włochatej kuli . Dlatego kula nie jest paralelizowalna. ${\ Displaystyle S ^ {2}}$

Pola wektorowe

Płynne przypisanie wektora stycznego do każdego punktu rozmaitości nazywamy polem wektorowym . W szczególności pole wektorowe na rozmaitości jest gładką mapą${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle V \ dwukropek M \ do TM}$

takie, że z dla każdego . W języku wiązek światłowodowych taką mapę nazywa się odcinkiem . Pole wektorowe na jest zatem odcinkiem wiązki stycznej . ${\ Displaystyle V (x) = (x, V_ {x})}$${\ Displaystyle V_ {x} \ w T_ {x} M}$${\displaystyle x\wm}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$

Zbiór wszystkich pól wektorowych na jest oznaczony przez . Pola wektorowe można sumować punktowo ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ Gamma (TM)}$

${\ Displaystyle (V + W) _ {x} = V_ {x} + W_ {x}}$

i pomnożone przez gładkie funkcje na M

${\ Displaystyle (fV) _ {x} = f (x) V_ {x}}$

aby uzyskać inne pola wektorowe. Zbiór wszystkich pól wektorowych przyjmuje następnie strukturę modułu po przemiennej algebrze funkcji gładkich na M , oznaczonej . ${\ Displaystyle \ Gamma (TM)}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M)}$

Lokalne pole wektorowe włączone jest lokalną sekcją wiązki stycznej. Oznacza to, że lokalne pole wektorowe jest definiowane tylko na pewnym zbiorze otwartym i przypisywane do każdego punktu wektora w powiązanej przestrzeni stycznej. Zbiór lokalnych pól wektorowych na tworzy strukturę znaną jako snop rzeczywistych przestrzeni wektorowych na . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle U \ podzbiór M}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$

Powyższa konstrukcja odnosi się równie dobrze do wiązki kostycznej – różniczkowe 1-formy na są dokładnie odcinkami wiązki kostycznej , które przyporządkowują każdemu punktowi 1-kowektor , który odwzorowuje wektory styczne na liczby rzeczywiste: . Równoważnie, różniczkowa 1-forma odwzorowuje gładkie pole wektorowe na gładką funkcję . ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ omega \ w \ Gamma (T ^ {*} M)}$${\ Displaystyle \ omega: M \ do T ^ {*} M}$${\displaystyle x\wm}$${\ Displaystyle \ omega _ {x} \ w T_ {x} ^ {*} M}$${\ Displaystyle \ omega _ {x}: T_ {x} M \ do \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ omega \ w \ Gamma (T ^ {*} M)}$${\ Displaystyle X \ w \ Gamma (TM)}$${\ Displaystyle \ omega (X) \ w C ^ {\ infty} (M)}$

Wiązki styczne wyższego rzędu

Ponieważ wiązka styczna sama w sobie jest gładką rozmaitością, wiązkę styczną drugiego rzędu można zdefiniować poprzez wielokrotne zastosowanie konstrukcji wiązki stycznej: ${\displaystyle TM}$

${\ Displaystyle T ^ {2} M = T (TM). \,}$

Ogólnie, wiązkę styczną trzeciego rzędu można zdefiniować rekurencyjnie jako . ${\displaystyle k}$${\ Displaystyle T ^ {k} M}$${\ Displaystyle T \ po lewej (T ^ {k-1} M \ po prawej)}$

Gładka mapa ma indukowaną pochodną, ​​dla której wiązka styczna jest odpowiednią domeną i zakresem . Podobnie, wiązki styczne wyższego rzędu zapewniają dziedzinę i zakres dla pochodnych wyższego rzędu . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$${\ Displaystyle D ^ {k} f: T ^ {k} M \ do T ^ {k} N}$

Odrębną, ale pokrewną konstrukcją są wiązki dżetów na kolektorze, które są wiązkami składającymi się z dżetów .

Kanoniczne pole wektorowe na wiązce stycznej

Na każdej wiązce stycznej , uważanej za samą rozmaitość, można zdefiniować kanoniczne pole wektorowe jako odwzorowanie diagonalne na przestrzeni stycznej w każdym punkcie. Jest to możliwe, ponieważ przestrzeń styczna przestrzeni wektorowej W jest naturalnie iloczynem, ponieważ sama przestrzeń wektorowa jest płaska, a więc ma naturalną przekątną podaną przez tę strukturę iloczynową. Zastosowanie tej struktury produktu do przestrzeni stycznej w każdym punkcie i globalizacja daje kanoniczne pole wektorowe. Nieformalnie, chociaż rozmaitość jest zakrzywiona, każda przestrzeń styczna w punkcie , , jest płaska, więc rozmaitość wiązki stycznej jest lokalnie iloczynem zakrzywionej i płaskiej. Zatem wiązka styczna wiązki stycznej jest lokalnie (używając do „wyboru współrzędne” oraz dla „identyfikacji naturalnej”): ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$${\ Displaystyle TW \ cong W \ razy W,}$${\ Displaystyle W \ do TW}$${\displaystyle w\mapsto (w,w)}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle T_ {x} M \ około \ mathbb {R} ^ {n}}$${\displaystyle TM}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$${\displaystyle \ok}$${\displaystyle \cong}$

${\ Displaystyle T (TM) \ około T (M \ razy \ mathbb {R} ^ {n}) \ cong TM \ razy T (\ mathbb {R} ^ {n}) \ cong TM \ razy (\ mathbb { R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})}$

a mapa jest rzutem na pierwsze współrzędne: ${\displaystyle TTM\do TM}$

${\ Displaystyle (TM \ do M) \ razy (\ mathbb {R} ^ {n} \ razy \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {n}).}$

Podzielenie pierwszej mapy przez sekcję zerową i drugą mapę przez przekątną daje kanoniczne pole wektorowe.

Jeśli są lokalnymi współrzędnymi dla , pole wektorowe ma wyrażenie ${\displaystyle (x,v)}$${\displaystyle TM}$

${\ Displaystyle V = \ suma _ {i} \ left.v ^ {i} {\ Frac {\ częściowy} \ częściowy V ^ {i}}} \ prawej | _ {(x, v)}.}$

Mówiąc prościej – pierwsza para współrzędnych nie zmienia się, ponieważ jest to przekrój wiązki, a to tylko punkt w przestrzeni bazowej: ostatnia para współrzędnych to sam przekrój. To wyrażenie dla pola wektorowego zależy tylko od , a nie od , ponieważ naturalnie można zidentyfikować tylko kierunki styczne. ${\ Displaystyle (x, v) \ mapsto (x, v, 0, v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$

Alternatywnie rozważmy skalarną funkcję mnożenia:

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} \ mathbb {R} \ razy TM \ do TM \ \ (t, v) \ longmapsto tv \ koniec {przypadki}}}$

Pochodną tej funkcji względem zmiennej w czasie jest funkcja , która jest alternatywnym opisem kanonicznego pola wektorowego. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\displaystyle t=1}$${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$

Istnienie takiego pola wektorowego na jest analogiczne do kanonicznej jedynki na wiązce kostycznej . Czasami jest również nazywane polem wektorowym Liouville'a lub wektorem radialnym . Za pomocą jednej można scharakteryzować wiązkę styczną. Zasadniczo można ją scharakteryzować za pomocą 4 aksjomatów, a jeśli rozmaitość ma pole wektorowe spełniające te aksjomaty, to rozmaitość jest wiązką styczną, a pole wektorowe jest na niej kanonicznym polem wektorowym. Zobacz na przykład De León i in. ${\displaystyle TM}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V}$

Windy

Istnieją różne sposoby podnoszenia przedmiotów na przedmioty na . Na przykład, jeśli jest krzywą w , to ( styczna z ) jest krzywą w . W przeciwieństwie do tego, bez dalszych założeń dotyczących (powiedzmy metryki Riemanna ), nie ma podobnego wzrostu w wiązce cotangensa . ${\ Displaystyle M}$${\displaystyle TM}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ gamma '}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\displaystyle TM}$${\ Displaystyle M}$

Pionowe podnoszenie z funkcją jest funkcja określa , gdzie znajduje się kanoniczne występ. ${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R}}$${\ Displaystyle f ^ {\ Vee}: TM \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\displaystyle f^{\vee}=f\circ \pi}$${\displaystyle \pi:TM\rightarrow M}$

Zobacz też

• Pushforward (różnicowy)
• Wiązka styczna jednostek
• Wiązka Cotangens
• Pakiet ramek
• Izomorfizm muzyczny

Uwagi

Bibliografia

• Lee, Jeffrey M. (2009), Rozmaitości i geometria różniczkowa , Studia magisterskie z matematyki , tom. 107, Providence: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne |volume=ma dodatkowy tekst ( pomoc ). ISBN  978-0-8218-4815-9
• John M. Lee, Wprowadzenie do Smooth Manifolds , (2003) Springer-Verlag, Nowy Jork. ISBN  0-387-95495-3 .
• Jürgen Jost , Geometria riemannowska i analiza geometryczna , (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN  3-540-42627-2
• Ralph Abraham i Jerrold E. Marsden , Podstawy mechaniki , (1978) Benjamin-Cummings, Londyn. ISBN  0-8053-0102-X
• M. De León, E. Merino, JA Oubiña, M. Salgado, Charakterystyka wiązek stycznych i stabilnych stycznych , Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, tom. 61, nie. 1, 1994, 1-15 [1]

Zewnętrzne linki

• „Wiązka styczna” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: Pakiet Tangent
• PlanetMath: pakiet styczny