Strumień masy - Mass flux

W fizycznych i technicznych , masowy strumień jest prędkość przepływu masowego . Powszechnymi symbolami są j , J , q , Q , φ lub Φ ( greckie małe litery lub duże Phi ), czasami z indeksem dolnym m wskazującym, że masa jest przepływającą wielkością. Jego jednostki SI to kg ^· s- ¹ . Strumień masy może również odnosić się do alternatywnej formy strumienia w prawie Ficka, która obejmuje masę cząsteczkową lub w prawie Darcy'ego, która obejmuje gęstość masy .

Niestety czasami w tym artykule równanie określające strumień masy jest używane zamiennie z równaniem określającym natężenie przepływu masy . Na przykład, Mechanika Płynów, Schaum's et al używa definicji strumienia masy jako równania w artykule o masowym tempie przepływu.

Definicja

Matematycznie strumień masy jest zdefiniowany jako granica

${\ Displaystyle j_ {m} = \ lim _ {A \ do 0} {\ Frac {I_ {m}} {A}}}$

gdzie

${\ Displaystyle I_ {m} = \ lim _ {\ Delta T \ do 0} {\ Frac {\ Delta m} {\ Delta T}} = {\ Frac {dm} {dt}}}$

jest prądem masy (przepływ masy m na jednostkę czasu t ), a A jest obszarem, przez który przepływa masa.

Dla strumienia masy jako wektora j _m , jego całka powierzchniowa po powierzchni S , po której następuje całka po czasie trwania t ₁ do t ₂ , daje całkowitą ilość masy przepływającej przez powierzchnię w tym czasie ( t ₂ − t ₁ ):

${\ Displaystyle m = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ iint _ {S} \ mathbf {j} _ {m} \ cdot \ mathbf {\ kapelusz {n}} \ da \,dt.}$

Obszar potrzebny do obliczenia strumień jest prawdziwe lub urojone, płaskie lub zakrzywione, w postaci przekroju poprzecznego obszaru lub powierzchni.

Na przykład w przypadku substancji przechodzących przez filtr lub membranę rzeczywistą powierzchnią jest (zazwyczaj zakrzywiona) powierzchnia filtra, makroskopowo – ignorując obszar rozpięty przez otwory w filtrze/membranie. Przestrzenie byłyby powierzchniami przekrojowymi. W przypadku cieczy przechodzących przez rurę, obszar jest przekrojem poprzecznym rury w rozważanym przekroju.

Pole wektora jest kombinacją wielkości pola, przez które przechodzi masa, A , i wektora jednostkowego normalnej do pola, . Relacja jest . ${\displaystyle \mathbf {\kapelusz {n}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {A} = A \ mathbf {\ kapelusz {n}}}$

Jeżeli strumień masy j _m przechodzi przez obszar pod kątem θ do obszaru normalnej , to ${\displaystyle \mathbf {\kapelusz {n}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {j} _ {m} \ cdot \ mathbf {\ kapelusz {n}} = j_ {m} \ cos \ theta}$

gdzie · jest iloczynem skalarnym wektorów jednostkowych. Oznacza to, że element strumienia masy przechodzącej przez powierzchnię (to znaczy prostopadle do niej), jest J _m cos θ, podczas gdy składowa przepływu masy przechodzącej stycznie do powierzchni jest j _m sin θ, ale nie ma przepływu masy faktycznie przechodzącej przez obszar w kierunku stycznym. Tylko składowa przepływu masy przechodzącej prostopadle do powierzchni jest składnikiem cosinus.

Przykład

Rozważmy rurę z płynącą wodą . Załóżmy, że rura ma stały przekrój i rozważamy jej odcinek prosty (nie na żadnych załamaniach/skrzyżowaniach), a woda płynie równomiernie ze stałą prędkością, w normalnych warunkach . Obszar A to pole przekroju poprzecznego rury. Załóżmy, że rura ma promień r = 2 cm = 2 × 10 ^-2 m. Obszar jest wtedy

${\ Displaystyle A = \ pi r ^ {2}.}$

Aby obliczyć strumień masy j _m (wielkość), potrzebujemy również ilość masy wody przeniesionej przez obszar i czas potrzebny. Załóżmy, że objętość V = 1,5 L = 1,5 × ^10-3 m ³ przechodzi w czasie t = 2 s. Zakładając, że gęstość wody wynosi ρ = 1000 kg m- ³ , mamy:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i \ Delta m = \ rho \ Delta V \ \ i m_ {2}-m_ {1} = \ rho (V_ {2}-V_ {1}) \ \ & m = \ rho V\\\end{wyrównany}}}$

(ponieważ początkowa objętość przechodząca przez ten obszar wynosiła zero, końcowa to V , więc odpowiadająca masa to m ), więc strumień masy wynosi

${\ Displaystyle j_ {m} = {\ Frac {\ Delta m} {A \ Delta t}} = {\ Frac {\ rho V} {\ pi r ^ {2} t}}.}$

Zastąpienie liczb daje:

${\ Displaystyle j_ {m} = {\ Frac {1000 \ razy (1,5 \ razy 10 ^ {-3})} {\ pi \ razy (2 \ razy 10 ^ {-2}) ^ {2} \ razy 2 }}={\frac {3}{16\pi }}\times 10^{4},}$

co wynosi około 596,8 kg·s- ¹ m- ² .

Równania dla płynów

Równanie alternatywne

Używając definicji wektora, strumień masy jest również równy:

${\ Displaystyle \ mathbf {j} _ {\ rm {m}} = \ rho \ mathbf {u}}$

gdzie:

• ρ = gęstość masowa,
• u = pole prędkości przepływających elementów masy (tj. w każdym punkcie przestrzeni prędkość elementu materii jest pewnym wektorem prędkości u ).

Czasami to równanie może być użyte do zdefiniowania j _m jako wektora.

Strumienie masowe i molowe dla płynów kompozytowych

Strumienie masowe

W przypadku, gdy płyn nie jest czysty, tj. jest mieszaniną substancji (technicznie zawiera szereg substancji składowych), strumienie masy należy rozpatrywać oddzielnie dla każdego składnika mieszaniny.

Przy opisywaniu przepływu płynu (tj. przepływu materii) odpowiedni jest strumień masy. Opisując transport cząstek (ruch dużej liczby cząstek) przydatne jest użycie analogicznej wielkości, zwanej strumieniem molowym .

Używając masy, strumień masowy składnika i wynosi

${\ Displaystyle \ mathbf {j} _ {{\ rm {m}}, \, i} = \ rho _ {i} \ mathbf {u} _ {i}.}$

Barycentrycznej Strumień masowy składnika I jest

${\ Displaystyle \ mathbf {j} _ {{\ rm {m}} \, i} = \ rho \ lewo (\ mathbf {u} _ {i} - \ langle \ mathbf {u} \ rangle \ prawej) ,}$

gdzie jest średnią prędkością masową wszystkich składników mieszaniny, wyrażoną wzorem ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {u} \ rangle}$

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {u} \ rangle = {\ Frac {1} {\ rho}} \ suma _ {i} \ rho _ {i} \ mathbf {u} _ {i} = {\ Frac { 1}{\rho }}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {m}},\,i}}$

gdzie

• ρ = gęstość masowa całej mieszaniny,
• ρ _i = gęstość masy składnika i ,
• u _i = prędkość składnika i .

Średnia jest brana pod uwagę prędkości składników.

Strumienie molowe

Jeśli zastąpimy gęstość ρ przez „gęstość molową”, stężenie c , otrzymamy analogi strumienia molowego .

Strumień molowy to liczba moli na jednostkę czasu na jednostkę powierzchni, ogólnie:

${\ Displaystyle \ mathbf {j} _ {\ rm {n}} = c \ mathbf {u}}.$

Zatem strumień molowy składnika i wynosi (liczba moli na jednostkę czasu na jednostkę powierzchni):

${\ Displaystyle \ mathbf {j} _ {{\ rm {n}}, \, i} = c_ {i} \ mathbf {u} _ {i}}$

a barycentryczny strumień molowy składnika i wynosi

${\ Displaystyle \ mathbf {j} _ {{\ rm {n}} \, i} = c \ lewo (\ mathbf {u} _ {i} - \ langle \ mathbf {u} \ rangle \ po prawej), }$

gdzie ten czas jest średnią prędkością molową wszystkich składników mieszaniny, wyrażoną wzorem: ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {u} \ rangle}$

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {u} \ rangle = {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {i} c_ {i} \ mathbf {u} _ {i} = {\ Frac {1} { c}}\sum _{i}\mathbf {j} _{{\rm {n}},\,i}.}$

Stosowanie

Strumień masy występuje w niektórych równaniach hydrodynamiki , w szczególności w równaniu ciągłości :

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {j} _ {\ rm {m}} + {\ Frac {\ częściowy \ rho} {\ częściowy t}} = 0}$

co jest stwierdzeniem zachowania masy płynu. W hydrodynamice masa może płynąć tylko z jednego miejsca do drugiego.

Molowy strumień występuje w pierwszej Ficka ustawy o dyfuzji :

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {j} _ {\ rm {n}} = - \ nabla \ cdot D \ nabla n}$

gdzie D jest współczynnikiem dyfuzji .

Zobacz też

• Frakcja strumienia masy
• Strumień
• Prawo Ficka
• Prawo Darcy'ego
• Strumień masy fali i pęd fali
• Definiowanie równania (fizyka)
• Równanie definiujące (fizykochemia)

Bibliografia