Diament sześcienny - Diamond cubic

Obrotowy model sześciennej struktury kryształu diamentu
Model 3D kuli i patyczka siatki diamentowej
Figura biegunowa w rzucie stereograficznym sieci diamentowej pokazująca 3-krotną symetrię wzdłuż kierunku [111]

Diament sześcienna struktura krystaliczna jest powtarzający się wzór 8 atomów, że pewne materiały mogą przyjąć jak zestalenia. Chociaż pierwszym znanym przykładem był diament , inne pierwiastki z grupy 14 również przyjmują tę strukturę, w tym α-cyna , półprzewodniki krzem i german oraz stopy krzemowo-germanowe w dowolnych proporcjach. Istnieją również kryształy, takie jak wysokotemperaturowa forma krystobalitu , które mają podobną strukturę, z jednym rodzajem atomu (np. krzem w krystobalicie) na pozycjach atomów węgla w diamencie, ale z innym rodzajem atomu (np. tlen) w połowie odległości między nimi (patrz Kategoria: Minerały w grupie kosmicznej 227 ).

Chociaż często nazywana jest siatką diamentową , struktura ta nie jest siecią w technicznym znaczeniu tego słowa używanego w matematyce.

Struktura krystalograficzna

Wizualizacja diamentowej sześciennej komórki elementarnej: 1. Składniki komórki elementarnej, 2. Jedna komórka elementarna, 3. Sieć 3 × 3 × 3 komórek elementarnych

Sześcienna struktura diamentu znajduje się w grupie przestrzennej Fd 3 m (grupa przestrzenna 227), która podąża za wyśrodkowaną na ścianie sześcienną siatką Bravais . Krata opisuje wzór powtarzania; w przypadku diamentowych kryształów sześciennych sieć ta jest „ozdobiona” motywem dwóch czworościennie związanych atomów w każdej prymitywnej komórce , oddzielonych 1/4szerokości komórki elementarnej w każdym wymiarze. Siatkę diamentową można postrzegać jako parę przecinających się sześciennych siatek skoncentrowanych na twarzy , z których każda jest oddzielona1/4szerokości komórki elementarnej w każdym wymiarze. Wiele złożonych półprzewodników, takich jak arsenek galu , β- węglik krzemu i antymonek indu, przyjmuje analogiczną strukturę mieszanki cynkowej , w której każdy atom ma najbliższych sąsiadów odmiennego pierwiastka. Grupa przestrzenna Zincblende to F 4 3m, ale wiele jej właściwości strukturalnych jest bardzo podobnych do struktury diamentu.

Współczynnik upakowania atomowego sześciennej struktury diamentu (proporcja przestrzeni, która byłaby wypełniona przez kule, które są wyśrodkowane na wierzchołkach struktury i są tak duże, jak to możliwe bez nakładania się) wynosiπ √ 3/16≈ 0,34, znacznie mniejsze (wskazując na mniej gęstą strukturę) niż współczynniki upakowania dla sieci sześciennych skoncentrowanych na ścianach i ciałach . Struktury Zincblende mają wyższe współczynniki upakowania niż 0,34 w zależności od względnych rozmiarów ich dwóch składowych atomów.

Odległości pierwszego, drugiego, trzeciego, czwartego i piątego najbliższego sąsiada w jednostkach stałej sieci sześciennej są √ 3/4, √ 2/2, √ 11/4, 1 i √ 19/4, odpowiednio.

Struktura matematyczna

Matematycznie punktom sześciennej struktury diamentu można nadać współrzędne jako podzbiór trójwymiarowej sieci całkowitej za pomocą sześciennej komórki elementarnej o szerokości czterech jednostek. Przy tych współrzędnych punkty konstrukcji mają współrzędne ( x ,  y ,  z ) spełniające równania

x = y = z (mod 2), i
x + y + z = 0 lub 1 (mod 4).

Istnieje osiem punktów (modulo 4), które spełniają te warunki:

(0,0,0), (0,2,2), (2,0,2), (2,2,0),
(3,3,3), (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3)

Wszystkie inne punkty w strukturze można uzyskać przez dodanie wielokrotności czterech do współrzędnych x , y i z tych ośmiu punktów. Punkty sąsiadujące w tej strukturze znajdują się w odległości √ 3 od siebie w sieci całkowitej; krawędzie struktury rombu leżą wzdłuż przekątnych korpusu sześcianów siatki całkowitej. Struktura ta może być skalowane do sześciennej komórce elementarnej, która jest jakiś numer A jednostek w poprzek przez pomnożenie przez wszystkie współrzędne a/4.

Alternatywnie, każdy punkt sześciennej struktury diamentu może być podany przez czterowymiarowe współrzędne całkowite, których suma wynosi zero lub jeden. Dwa punkty sąsiadują ze sobą w strukturze diamentu wtedy i tylko wtedy, gdy ich czterowymiarowe współrzędne różnią się o jeden w jednej współrzędnej. Całkowita różnica wartości współrzędnych pomiędzy dowolnymi dwoma punktami (ich czterowymiarowa odległość Manhattan ) daje liczbę krawędzi w najkrótszej ścieżce między nimi w strukturze diamentu. Czterech najbliższych sąsiadów każdego punktu można uzyskać w tym układzie współrzędnych, dodając jeden do każdej z czterech współrzędnych lub odejmując jeden od każdej z czterech współrzędnych, odpowiednio, ponieważ suma współrzędnych wynosi zero lub jeden. Te czterowymiarowe współrzędne można przekształcić we współrzędne trójwymiarowe za pomocą wzoru

( a , b , c , d ) → ( a + b - c - d , a - b + c - d , - a + b + c - d ).

Ponieważ struktura diamentu tworzy podzbiór zachowujący odległość czterowymiarowej sieci całkowitej, jest to sześcian częściowy .

Jeszcze inna koordynacja sześciennego diamentu polega na usunięciu niektórych krawędzi z trójwymiarowego wykresu siatki. W tej koordynacji, która ma zniekształconą geometrię od standardowej struktury sześciennej diamentu, ale ma taką samą strukturę topologiczną, wierzchołki sześciennego diamentu są reprezentowane przez wszystkie możliwe punkty siatki 3D, a krawędzie sześciennego diamentu są reprezentowane przez podzbiór Krawędzie siatki 3D.

Sześcienny diament jest czasami nazywany „siecią diamentową”, ale matematycznie nie jest to siatka : nie ma symetrii translacyjnej, która przenosi punkt (0,0,0) do punktu (3,3,3), na przykład . Jednak nadal jest bardzo symetryczna struktura: każda para incydent wierzchołkiem a krawędzią można przekształcić do dowolnej innej pary wypadku przez zbieżność w przestrzeni euklidesowej . Ponadto kryształ diamentu jako sieć w przestrzeni ma silne właściwości izotropowe. Mianowicie, dla dowolnych dwóch wierzchołków x i y sieci krystalicznej oraz dla dowolnego uporządkowania krawędzi sąsiadujących z x i dowolnego uporządkowania krawędzi sąsiadujących z y , istnieje kongruencja zachowująca sieć, przyjmująca x do y i każdą krawędź x do podobnie uporządkowanej krawędzi y . Innym (hipotetyczny) kryształów o tej własności jest wykresem Laves (zwany również K 4 kryształów (10,3) -a, lub twin romb).

Właściwości mechaniczne

Wytrzymałość na ściskanie i twardość diamentu i różnych innych materiałów, takich jak azotek boru (który ma ściśle pokrewną strukturę blendy cynkowej ) przypisuje się sześciennej strukturze diamentu.

Przykład diamentowego sześciennego systemu kratownicowego odpornego na ściskanie

Podobnie, systemy kratownic , które podążają za diamentową geometrią sześcienną, mają wysoką odporność na ściskanie, minimalizując długość nieusztywnionych pojedynczych zastrzałów . Diamentowa geometria sześcienna była również rozważana w celu zapewnienia sztywności strukturalnej, chociaż struktury złożone z trójkątów szkieletowych , takie jak kratownica oktetowa , okazały się bardziej skuteczne w tym celu.

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki