Pole fermionowe - Fermionic field

W kwantowej teorii pola , A , pole fermionic to pole kwantowe którego składowymi są fermionami ; to znaczy przestrzegają statystyk Fermiego – Diraca . Pola Fermionic posłuszeństwa kanoniczne relacje anticommutation raczej niż kanoniczne relacje komutacji z pól bozonowych .

Najbardziej znanym przykładem pola fermionowego jest pole Diraca, które opisuje fermiony o spinie -1/2: elektrony , protony , kwarki itp. Pole Diraca można opisać jako spinor czteroskładnikowy lub parę -składnikowe spinory Weyl. Fermiony Majorany Spin-1/2 , takie jak hipotetyczne neutralino , można opisać jako zależny 4-składnikowy spinor Majorany lub pojedynczy dwuskładnikowy spinor Weyla. Nie wiadomo, czy neutrino to fermion Majorany czy fermion Diraca ; obserwacja eksperymentalnego rozpadu podwójnego beta bez neutrin rozwiązałaby tę kwestię.

Podstawowe właściwości

Wolne (nie oddziałujące) pola fermionowe podlegają kanonicznym relacjom antykomutacyjnym ; tj. obejmują antykomutatory { a , b } = ab + ba , a nie komutatory [ a , b ] = ab - ba bozonowej lub standardowej mechaniki kwantowej. Zależności te odnoszą się również do oddziałujących pól fermionowych w obrazie interakcji , gdzie pola te ewoluują w czasie, jakby były wolne, a skutki interakcji są zakodowane w ewolucji stanów.

To właśnie te relacje antykomutacyjne implikują statystyki Fermiego – Diraca dla kwantów pola. Prowadzą one również do zasady wykluczenia Pauliego : dwie cząstki fermionowe nie mogą znajdować się w tym samym stanie w tym samym czasie.

Pola Diraca

Wybitnym przykładem pola fermionów o spinie 1/2 jest pole Diraca (nazwane na cześć Paula Diraca ) i oznaczone przez . Równanie ruchu cząstki o spinie swobodnym 1/2 to równanie Diraca , ${\ Displaystyle \ psi (x)}$

${\ Displaystyle \ lewo (i \ gamma ^ {\ mu} \ częściowe _ {\ mu} -m \ prawo) \ psi (x) = 0. \,}$

gdzie są macierze gamma i jest masą. Najprostszymi możliwymi rozwiązaniami tego równania są rozwiązania fal płaskich i . Te rozwiązania fal płaskich stanowią podstawę dla składowych Fouriera , pozwalając na ogólne rozszerzenie funkcji falowej w następujący sposób: ${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ Displaystyle u (p) e ^ {- ip.x} \,}$${\ Displaystyle v (p) e ^ {ip.x} \,}$${\ Displaystyle \ psi (x)}$

${\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha} (x) = \ int {\ Frac {d ^ {3} p} {(2 \ pi) ^ {3}}} {\ Frac {1} {\ sqrt {2E_ {p}}}} \ sum _ {s} \ left (a _ {\ mathbf {p}} ^ {s} u _ {\ alpha} ^ {s} (p) e ^ {- ip \ cdot x} + b_ {\ mathbf {p}} ^ {s \ dagger} v _ {\ alpha} ^ {s} (p) e ^ {ip \ cdot x} \ right). \,}$

u i v są spinorami, oznaczonymi spinami, s i indeksami spinorowymi . Dla elektronu cząstka o spinie 1/2, s = +1/2 lub s = −1 / 2. Współczynnik energii jest wynikiem posiadania niezmiennej miary całkowania Lorentza. W drugiej kwantyzacji , jest promowany do operatora, więc współczynniki jej trybów Fouriera musi być operatorzy też. Stąd i są operatorami. Właściwości tych operatorów można odróżnić od właściwości pola. i przestrzegaj relacji antykomutacyjnych: ${\ Displaystyle \ alpha \ in \ {0,1,2,3 \}}$${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ displaystyle a _ {\ mathbf {p}} ^ {s}}$${\ Displaystyle b _ {\ mathbf {p}} ^ {s \ sztylet}}$${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ Displaystyle \ psi (y) ^ {\ sztylet}}$

${\ Displaystyle \ lewo \ {\ psi _ {\ alfa} (\ mathbf {x}), \ psi _ {\ beta} ^ {\ sztylet} (\ mathbf {y}) \ prawo \} = \ delta ^ { (3)} (\ mathbf {x} - \ mathbf {y}) \ delta _ {\ alpha \ beta}.}$

Narzucamy relację antykomutatorową (w przeciwieństwie do relacji komutacyjnej, jak to robimy dla pola bozonowego ), aby operatory były kompatybilne ze statystyką Fermiego – Diraca . Wstawiając rozwinięcia dla i , można obliczyć relacje antykomutacyjne dla współczynników. ${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ Displaystyle \ psi (y)}$

${\ Displaystyle \ lewo \ {a _ {\ mathbf {p}} ^ {r}, a _ {\ mathbf {q}} ^ {s \ sztylet} \ prawo \} = \ lewo \ {b _ {\ mathbf {p} } ^ {r}, b _ {\ mathbf {q}} ^ {s \ dagger} \ right \} = (2 \ pi) ^ {3} \ delta ^ {3} (\ mathbf {p} - \ mathbf { q}) \ delta ^ {rs}, \,}$

W sposób analogiczny do nierelatywistycznych operatorów anihilacji i kreacji oraz ich komutatorów, algebry te prowadzą do fizycznej interpretacji, która tworzy fermion pędu p i spinu s oraz tworzy przeciwdziałanie pędowi q i spinie r . Ogólne pole jest teraz postrzegane jako ważone (przez współczynnik energii) sumowanie wszystkich możliwych spinów i pędów do tworzenia fermionów i antyfermionów. Jego pole sprzężone jest odwrotnym, ważonym sumowaniem wszystkich możliwych spinów i pędów dla anihilujących fermionów i antyfermionów. ${\ Displaystyle a _ {\ mathbf {p}} ^ {s \ sztylet}}$${\ Displaystyle b _ {\ mathbf {q}} ^ {r \ sztylet}}$${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ Displaystyle {\ overline {\ psi}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}$

Przy zrozumieniu trybów pola i zdefiniowaniu pola sprzężonego możliwe jest skonstruowanie niezmiennych wielkości Lorentza dla pól fermionowych. Najprostsza jest ilość . To sprawia, że ​​powód wyboru jest jasny. Dzieje się tak, ponieważ ogólna transformata Lorentza na nie jest jednostkowa, więc ilość nie byłaby niezmienna w takich przekształceniach, więc włączenie funkcji ma to skorygować. Inną możliwą niezerową niezmienną ilością Lorentza , aż do ogólnej koniugacji, możliwą do skonstruowania z pól fermionowych jest . ${\ displaystyle {\ overline {\ psi}} \ psi \,}$${\ Displaystyle {\ overline {\ psi}} = \ psi ^ {\ sztylet} \ gamma ^ {0}}$${\ displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle \ psi ^ {\ sztylet} \ psi}$${\ Displaystyle \ gamma ^ {0} \,}$${\ Displaystyle {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ częściowe _ {\ mu} \ psi}$

Ponieważ liniowe kombinacje tych wielkości są również niezmiennicze względem Lorentza, prowadzi to naturalnie do gęstości Lagrangianu dla pola Diraca z uwagi na wymaganie, aby równanie Eulera – Lagrange'a systemu odtwarzało równanie Diraca.

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {D} = {\ overline {\ psi}} \ lewo (i \ gamma ^ {\ mu} \ częściowe _ {\ mu} -m \ prawo) \ psi \, }$

Takie wyrażenie ma wygaszone indeksy. Po ponownym wprowadzeniu pełne wyrażenie to

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {D} = {\ overline {\ psi}} _ {a} \ lewo (i \ gamma _ {ab} ^ {\ mu} \ częściowe _ {\ mu} - m \ mathbb {I} _ {ab} \ right) \ psi _ {b} \,}$

Hamiltona ( energia ) Gęstość może być również wykonana najpierw określenie koniugat pęd kanonicznej dla zwany ${\ Displaystyle \ psi (x)}$${\ Displaystyle \ Pi (x):}$

${\ displaystyle \ Pi \ {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ częściowe {\ mathcal {L}} _ {D}} {\ częściowe (\ częściowe _ {0} \ psi)}} = i \ psi ^ {\ dagger} \ ,.}$

Przy tej definicji gęstość hamiltonianu wynosi: ${\ displaystyle \ Pi}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {D} = {\ overline {\ psi}} \ lewo [-i {\ vec {\ gamma}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} + m \ w prawo ] \ psi \ ,,}$

gdzie jest standardowym gradientem współrzędnych przestrzennych i jest wektorem macierzy kosmicznych . Zaskakujące jest to, że gęstość hamiltonianu nie zależy bezpośrednio od pochodnej czasu , ale wyrażenie jest poprawne. ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ gamma}}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ psi}$

Mając wyrażenie for możemy skonstruować propagator Feynmana dla pola fermionów: ${\ Displaystyle \ psi (x)}$

${\ Displaystyle D_ {F} (xy) = \ lewo \ langle 0 \ lewo | T (\ psi (x) {\ overline {\ psi}} (y)) \ prawo | 0 \ prawo \ rangle}$

zamówiony w czasie produkt dla fermionów określamy znakiem minus ze względu na ich antykomutowy charakter

${\ Displaystyle T \ lewo [\ psi (x) {\ overline {\ psi}} (y) \ prawej] \ {\ overset {\ tekst {def}} {=}} \ \ theta \ lewo (x ^ { 0} -y ^ {0} \ right) \ psi (x) {\ overline {\ psi}} (y) - \ theta \ left (y ^ {0} -x ^ {0} \ right) {\ overline {\ psi}} (y) \ psi (x).}$

Włączenie naszej płaskiej ekspansji fali dla pola fermionów do powyższego równania daje:

${\ Displaystyle D_ {F} (xy) = \ int {\ Frac {d ^ {4} p} {(2 \ pi) ^ {4}}} {\ Frac {i ({p \! \! \! /} + m)} {p ^ {2} -m ^ {2} + i \ epsilon}} e ^ {- ip \ cdot (xy)}}$

gdzie zastosowaliśmy notację z ukośnikiem Feynmana . Ten wynik ma sens, ponieważ współczynnik

${\ Displaystyle {\ Frac {i ({p \! \! \! /} + m)} {p ^ {2} -m ^ {2}}}}$

jest po prostu odwrotnością operatora działającego w równaniu Diraca. Zauważ, że propagator Feynmana dla pola Kleina – Gordona ma tę samą właściwość. Ponieważ wszystkie rozsądne obserwowalne (takie jak energia, ładunek, liczba cząstek itp.) Są zbudowane z parzystej liczby pól fermionów, relacja komutacji znika między dowolnymi dwoma obserwablami w punktach czasoprzestrzeni poza stożkiem światła. Jak wiemy z elementarnej mechaniki kwantowej, można zmierzyć jednocześnie dwa przemieszczające się obserwable jednocześnie. Dlatego poprawnie zaimplementowaliśmy niezmienniczość Lorentza dla pola Diraca i zachowaliśmy przyczynowość . ${\ Displaystyle \ psi (x)}$

Bardziej skomplikowane teorie pola obejmujące interakcje (takie jak teoria Yukawy lub elektrodynamika kwantowa ) mogą być również analizowane różnymi metodami perturbacyjnymi i nieperturbacyjnymi.

Pola Diraca są ważnym składnikiem Modelu Standardowego .

Zobacz też

• Równanie Diraca
• Twierdzenie o statystykach spinowych
• Spinor

Bibliografia

• Edwards, D. (1981). „Matematyczne podstawy kwantowej teorii pola: fermiony, pola miernicze i supersymetria, część I: teorie pola kratowego”. Int. J. Theor. Fiz . 20 (7): 503–517. Bibcode : 1981IJTP ... 20..503E . doi : 10.1007 / BF00669437 .
• Peskin, M and Schroeder, D. (1995). Wprowadzenie do kwantowej teorii pola , Westview Press. (Patrz strony 35–63.)
• Srednicki, Mark (2007). Kwantowa teoria pola , Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-86449-7 .
• Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields , (3 tomy) Cambridge University Press.