Dyskretyzacja - Discretization

W stosowanych matematyki , dyskretyzacji jest proces przenoszenia ciągłe funkcje modeli, zmienne i równania w dyskretnych odpowiedników. Proces ten jest zwykle przeprowadzany jako pierwszy krok w kierunku przygotowania ich do oceny numerycznej i implementacji na komputerach cyfrowych. Dychotomizacja to szczególny przypadek dyskretyzacji, w którym liczba klas dyskretnych wynosi 2, co może przybliżać zmienną ciągłą jako zmienną binarną (tworzenie dychotomii do celów modelowania , jak w klasyfikacji binarnej ).

Dyskretyzacja jest również związana z matematyką dyskretną i jest ważnym elementem obliczeń granularnych . W tym kontekście dyskretyzacja może również odnosić się do modyfikacji granulacji zmiennej lub kategorii , na przykład w przypadku agregacji wielu zmiennych dyskretnych lub fuzji wielu kategorii dyskretnych.

W przypadku dyskretyzacji danych ciągłych zawsze występuje pewien błąd dyskretyzacji . Celem jest zmniejszenie ilości do poziomu uważanego za nieistotny dla potrzeb modelowania .

Terminy dyskretyzacja i kwantyzacja często mają tę samą denotację, ale nie zawsze identyczne konotacje . (W szczególności te dwa terminy mają wspólne pole semantyczne .) To samo dotyczy błędu dyskretyzacji i błędu kwantyzacji .

Matematyczne metody związane z dyskretyzacją obejmują metodę Eulera-Maruyamy oraz zatrzymanie zerowego rzędu .

Dyskretyzacja modeli liniowej przestrzeni stanów

Dyskretyzacja dotyczy również przekształcenia równań różniczkowych ciągłych w równania różnicowe dyskretne , odpowiednie do obliczeń numerycznych .

Następujący model przestrzeni stanów w czasie ciągłym

${\ Displaystyle {\ kropka {\ mathbf {x}}} (t) = \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {B} \ mathbf {u} (t) + \ mathbf {w } (t)}$

${\ Displaystyle \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {C} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {D} \ mathbf {u} (t) + \ mathbf {v} (t)}$

gdzie v i w są ciągłymi źródłami białego szumu o średniej zerowej i gęstościach widmowych mocy

${\ Displaystyle \ mathbf {W} (t) \ SIM N (0, \ mathbf {Q})}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} (t) \ SIM N (0, \ mathbf {R})}$

można zdyskretyzować, zakładając utrzymanie zerowego rzędu dla wejścia u i ciągłe całkowanie dla szumu v , to

${\ Displaystyle \ mathbf {x} [k + 1] = \ mathbf {A} _ {d} \ mathbf {x} [k] + \ mathbf {B} _ {d} \ mathbf {u} [k] + \mathbf {w} [k]}$

${\ Displaystyle \ mathbf {y} [k] = \ mathbf {C} _ {d} \ mathbf {x} [k] + \ mathbf {D} _ {d} \ mathbf {u} [k] + \ mathbf {czas.} [k]}$

z kowariancjami

${\ Displaystyle \ mathbf {w} [k] \ SIM N (0, \ mathbf {Q} _ {d})}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v} [k] \ SIM N (0, \ mathbf {R} _ {d})}$

gdzie

${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {d} = e ^ {\ mathbf {A} T} = {\ mathcal {L}} ^ {-1} \ {(s \ mathbf {I} - \ mathbf {A } )^{-1}\}_{t=T}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {B} _ {d} = \ lewo (\ int _ {\ tau = 0} ^ {T} e ^ {\ mathbf {A} \ tau} d \ tau \ prawej) \ mathbf {B } =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A} _{d}-I)\mathbf {B} }$, jeśli nie jest liczbą pojedynczą${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {C} _ {d} = \ mathbf {C}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {D} _ {d} = \ mathbf {D}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {Q} _ {d} = \ int _ {\ tau = 0} ^ {T} e ^ {\ mathbf {A} \ tau} \ mathbf {Q} e ^ {\ mathbf {A} ^{\top }\tau }d\tau }$

${\ Displaystyle \ mathbf {R} _ {d} = \ mathbf {R} {\ Frac {1} {T}}}$

i jest czasem próbkowania, chociaż jest transponowaną macierzą . Równanie dla dyskretnego szumu pomiarowego jest konsekwencją określenia szumu ciągłego pomiaru gęstością widmową mocy. ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle \ mathbf {A} ^ {\ Top}}$${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$

Sprytna sztuczka do obliczenia A _d i B _d w jednym kroku polega na wykorzystaniu następującej właściwości:

${\ Displaystyle e ^ {{\ zacznij {bmatrix} \ mathbf {A} i \ mathbf {B} \\ \ mathbf {0} i \ mathbf {0} \ koniec {bmatrix}} T} = {\ zacznij {bmatrix} }\mathbf {A_{d}} &\mathbf {B_{d}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$

Gdzie i są zdyskretyzowanymi macierzami przestrzeni stanów. ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {d}}$${\ Displaystyle \ mathbf {B} _ {d}}$

Dyskretyzacja hałasu procesowego

Obliczanie numeryczne jest nieco trudniejsze ze względu na całkę wykładniczą macierzy. Można go jednak obliczyć, najpierw konstruując macierz i obliczając jej wykładnik ${\ Displaystyle \ mathbf {Q} _ {d}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = {\ zacząć {bmatrix} - \ mathbf {A} i \ mathbf {Q} \ \ \ mathbf {0} & \ mathbf {A} ^ {\ top} \ koniec {bmatrix} }T}$

${\ Displaystyle \ mathbf {G} = e ^ {\ mathbf {F}} = {\ zacząć {bmatrix} \ kropki i \ mathbf {A} _ {d} ^ {-1} \ mathbf {Q} _ {d }\\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{d}^{\top }\end{bmatrix}}.}$

Dyskretny szum procesowy jest następnie oceniany przez pomnożenie transpozycji prawego dolnego podziału G przez prawą górną partycję G :

${\ Displaystyle \ mathbf {Q} _ {d} = (\ mathbf {A} _ {d} ^ {\ top}) ^ {\ top} (\ mathbf {A} _ {d} ^ {-1} \ mathbf {Q} _{d})=\mathbf {A} _{d}(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}).}$

Pochodzenie

Zaczynając od modelu ciągłego

${\ Displaystyle \ mathbf {\ kropka {x}} (t) = \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {B} \ mathbf {u} (t)}$

wiemy, że macierz wykładnicza to

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} e ^ {\ mathbf {A} t} = \ mathbf {A} e ^ {\ mathbf {A} t} = e ^ {\ mathbf {A} t} \mathbf {A} }$

i przez wstępne pomnożenie modelu otrzymujemy

${\ Displaystyle e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {\ kropka {x}} (t) = e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t )+e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

które rozpoznajemy jako

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} (e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {x} (t)) = e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {B } \mathbf {u} (t)}$

i integrując...

${\ Displaystyle e ^ {- \ mathbf {A} t} \ mathbf {x} (t) -e ^ {0} \ mathbf {x} (0) = \ int _ {0} ^ {t} e ^ { -\mathbf {A} \tau}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau)d\tau}$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} (t) = e ^ {\ mathbf {A} t} \ mathbf {x} (0) + \ int _ {0} ^ {t} e ^ {\ mathbf {A} ( t-\tau}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau)d\tau}$

który jest analitycznym rozwiązaniem dla modelu ciągłego.

Teraz chcemy zdyskretyzować powyższe wyrażenie. Zakładamy, że u jest stałe w każdym kroku czasowym.

${\ Displaystyle \ mathbf {x} [k] \ {\ stackrel {\ operatorname {def}} {=}} \ \ mathbf {x} (kT)}$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} [k] = e ^ {\ mathbf {A} kT} \ mathbf {x} (0) + \ int _ {0} ^ {kT} e ^ {\ mathbf {A} ( kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} [k + 1] = e ^ {\ mathbf {A} (k + 1) T} \ mathbf {x} (0) + \ int _ {0} ^ {(k + 1 )T}e^{\mathbf {A} ((k+1)T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} [k + 1] = e ^ {\ mathbf {A} T} \ lewo [e ^ {\ mathbf {A} kT} \ mathbf {x} (0) + \ int _ { 0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau \right]+\int _{kT}^{ (k+1)T}e^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

Wyrażenie w nawiasie rozpoznajemy jako , a drugi wyraz można uprościć, zastępując funkcją . Zauważ, że . Zakładamy również, że jest stała podczas całki , co z kolei daje ${\ Displaystyle \ mathbf {x} [k]}$${\ Displaystyle v (\ tau ) = kT + T- \ tau }$${\displaystyle d\tau =-dv}$${\displaystyle \mathbf {u}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} \ mathbf {x} [k +1] i = & e ^ {\ mathbf {A} T} \ mathbf {x} [k] - \ lewo (\ int _ {v (kT) )}^{v((k+1)T)}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u } [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v} dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1} \left(e^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\end{macierz}}}$

co jest dokładnym rozwiązaniem problemu dyskretyzacji.

Gdy jest w liczbie pojedynczej, to drugie wyrażenie może być nadal używane przez zastąpienie przez jego rozwinięcie Taylora , ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$${\ Displaystyle e ^ {\ mathbf {A} T}}$

${\ Displaystyle e ^ {{\ mathbf {A}} T} = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {k!}} ({\ mathbf {A}} T) ^{k}.}$

To daje

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} \ mathbf {x} [k + 1] i = & e ^ {{\ mathbf {A}} T} \ mathbf {x} [k] + \ lewo (\ int _ {0 }^{T}e^{{\mathbf {A} }v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&\left(\sum _{k=0} ^{\infty }{\frac {1}{k!}}({\mathbf {A} }T)^{k}\right)\mathbf {x} [k]+\left(\sum _{k =1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\mathbf {A} }^{k-1}T^{k}\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k],\koniec{matryca}}}$

jakim jest forma stosowana w praktyce.

Przybliżenia

Dokładna dyskretyzacja może być czasami niewykonalna ze względu na dużą macierz wykładniczą i operacje całkowe. O wiele łatwiej jest obliczyć przybliżony model dyskretny na podstawie tego dla małych kroków czasowych . Przybliżone rozwiązanie staje się wtedy: ${\ Displaystyle e ^ {\ mathbf {A} T} \ około \ mathbf {I} + \ mathbf {A} T}$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} [k + 1] \ około (\ mathbf {ja} + \ mathbf {A} T) \ mathbf {x} [k] + T \ mathbf {B} \ mathbf {u} [ k]}$

Jest to również znane jako metoda Eulera , która jest również znana jako metoda do przodu Eulera. Inne możliwe przybliżenia to , inaczej znana jako metoda wsteczna Eulera i , która jest znana jako transformacja bilinearna lub transformacja Tustina. Każde z tych przybliżeń ma inne właściwości stabilności. Transformacja dwuliniowa zachowuje niestabilność systemu czasu ciągłego. ${\ Displaystyle e ^ {\ mathbf {A} T} \ około \ lewo (\ mathbf {I} - \ mathbf {A} T \ po prawej) ^ {-1}}$${\ Displaystyle e ^ {\ mathbf {A} T} \ około \ lewo (\ mathbf {ja} + {\ Frac {1} {2}} \ mathbf {A} T \ po prawej) \ po lewej (\ mathbf {ja } -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)^{-1}}$

Dyskretyzacja cech ciągłych

W statystyce i uczeniu maszynowym dyskretyzacja odnosi się do procesu przekształcania ciągłych cech lub zmiennych na cechy dyskretyzowane lub nominalne. Może to być przydatne podczas tworzenia funkcji masy prawdopodobieństwa.

Dyskretyzacja funkcji płynnych

W uogólnionej teorii funkcji dyskretyzacja powstaje jako szczególny przypadek twierdzenia splotu na rozkładach temperowanych

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f * \ operatorname {III} \} = {\ mathcal {F}} \ {f \} \ cdot \ operatorname {III}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {\ alfa \ cdot \ nazwa operatora {III} \} = {\ mathcal {F}} \ {\ alfa \} * \ nazwa operatora {III}}$

gdzie jest grzebieniem Diraca , jest dyskretyzacją , jest periodyzacją , jest szybko malejącym rozkładem temperowanym (np. delta Diraca lub jakakolwiek inna zwarta funkcja obsługiwana ), jest gładką , wolno rosnącą zwykłą funkcją (np. funkcją, która jest stale lub jakakolwiek inna funkcja o ograniczonym paśmie ) i jest (jednostkową, zwykłą częstotliwością) transformatą Fouriera . Funkcje, które nie są gładkie, można przed dyskretyzacją wygładzić za pomocą środka zmiękczającego . ${\displaystyle \operatorname {III}}$${\ Displaystyle \ cdot \ operatorname {III}}$${\displaystyle *\operator {III}}$${\displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ alfa}$ ${\ Displaystyle 1}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\ Displaystyle \ alfa}$

Jako przykład, dyskretyzację z funkcji, która jest stale daje sekwencję , która interpretować jako współczynników o liniowej kombinacji z Diraca funkcji delta , tworzy grzebień Diraca . Jeżeli dodatkowo zastosuje się skrócenie , otrzymuje się ciągi skończone, np . . Są dyskretne zarówno pod względem czasu, jak i częstotliwości. ${\ Displaystyle 1}$ ${\displaystyle [..,1,1,1,..]}$${\displaystyle [1,1,1,1]}$

Zobacz też

• Dyskretna symulacja zdarzeń
• Dyskretna przestrzeń
• Czas dyskretny i czas ciągły
• Metoda różnic skończonych
• Metoda objętości skończonej dla przepływu niestacjonarnego
• Wygładzanie
• Symulacja stochastyczna
• Rachunek skali czasu Time

Bibliografia

Dalsza lektura

• Robert Grover Brown i Patrick YC Hwang (1997). Wprowadzenie do sygnałów losowych i stosowane filtrowanie Kalmana (wyd. 3). Numer ISBN 978-0471128397.
• Chi-Tsong Chen (1984). Teoria i projektowanie systemów liniowych . Filadelfia, PA, USA: Saunders College Publishing. Numer ISBN 978-0030716911.
• C. Van Pożyczka (czerwiec 1978). „Obliczanie całek z udziałem wykładniczej macierzy” (PDF) . Transakcje IEEE dotyczące automatycznej kontroli . 23 (3): 395–404. doi : 10.1109/TAC.1978.1101743 . hdl : 1813/7095 .
• RH Middleton i GC Goodwin (1990). Cyfrowa kontrola i szacowanie: ujednolicone podejście . str. 33f. Numer ISBN 978-0132116657.

Linki zewnętrzne