Zasadniczo wyjątkowy - Essentially unique

W matematyce termin zasadniczo unikalny jest używany do opisania słabszej formy wyjątkowości, w której przedmiot spełniający daną właściwość jest „unikalny” tylko w tym sensie, że wszystkie przedmioty spełniające tę właściwość są sobie równoważne. Pojęcie istotnej niepowtarzalności zakłada pewną formę „identyczności”, która jest często formalizowana za pomocą relacji równoważności .

Podobnym pojęciem jest właściwość uniwersalna , w której przedmiot jest nie tylko zasadniczo wyjątkowy, ale także unikalny aż do unikalnego izomorfizmu (co oznacza, że ​​ma trywialną grupę automorfizmu ). Ogólnie rzecz biorąc, może istnieć więcej niż jeden izomorfizm między przykładami zasadniczo unikalnego obiektu.

Przykłady

Teoria mnogości

Na najbardziej podstawowym poziomie istnieje zasadniczo unikalny zestaw dowolnej danej liczności , niezależnie od tego, czy określa się elementy, czy . W tym przypadku niejednoznaczność izomorfizmu (np. Dopasowanie 1 do lub 1 do ) znajduje odzwierciedlenie w grupie symetrycznej . ${\ displaystyle \ {1, 2, 3 \}}$${\ Displaystyle \ {a, b, c \}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle c}$

Z drugiej strony, nie jest w istocie wyjątkowy zamówił zestaw każdej skończonej liczności: jeśli się pisze i , wówczas jedynym zamówień zachowaniu izomorfizm jest ten, który mapuje do 1 , 2 do , i 3 .${\ displaystyle \ {1 <2 <3 \}}$${\ displaystyle \ {a <b <c \}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

Teoria liczb

Podstawowe twierdzenie arytmetyki ustali, że na czynniki dowolnej dodatniej liczby całkowitej do liczb pierwszych jest zasadniczo unikalna, czyli unikalny do uporządkowania głównych czynników.

Teoria grup

W kontekście klasyfikacji grup istnieje zasadniczo unikalna grupa zawierająca dokładnie 2 elementy. Podobnie, istnieje również zasadniczo unikalna grupa zawierająca dokładnie 3 elementy: cykliczna grupa trzeciego rzędu. W rzeczywistości, niezależnie od tego, jak zdecydujemy się zapisać te trzy elementy i oznaczyć działanie grupowe, można wykazać, że wszystkie takie grupy są ze sobą izomorficzne , a zatem są „takie same”.

Z drugiej strony nie istnieje zasadniczo unikalna grupa z dokładnie 4 elementami, ponieważ w tym przypadku są w sumie dwie grupy nieizomorficzne: cykliczna grupa czwartego rzędu i cztery grupy Kleina .

Teoria miary

Istnieje zasadniczo unikalna miara, jaką jest translacja - niezmienna , ściśle dodatnia i lokalnie skończona na rzeczywistej linii . W rzeczywistości każda taka miara musi być stałą wielokrotnością miary Lebesgue'a , określając, że miara przedziału jednostkowego powinna wynosić 1 - przed jednoznacznym określeniem rozwiązania.

Topologia

Istnieje zasadniczo jedyna w swoim rodzaju dwuwymiarowa, zwarta , po prostu połączona rozmaitość : 2-sfera . W tym przypadku jest wyjątkowy w przypadku homeomorfizmu .

W dziedzinie topologii znanej jako teoria węzłów istnieje analogia podstawowego twierdzenia arytmetyki: rozkład węzła na sumę węzłów pierwszych jest zasadniczo wyjątkowy.

Teoria kłamstw

Maksymalny kompaktowy podgrupa z półprosty grupy Lie nie może być wyjątkowy, ale jest unikalna do koniugacji.

Teoria kategorii

Obiekt będący granicą lub górną granicą danego diagramu jest zasadniczo unikalny, ponieważ istnieje unikalny izomorfizm w stosunku do każdego innego obiektu ograniczającego / kolimującego.

Teoria kodowania

Biorąc pod uwagę zadanie wykorzystania 24- bitowych słów do przechowywania 12 bitów informacji w taki sposób, aby można było wykryć błędy 7-bitowe i skorygować błędy 3-bitowe, rozwiązanie jest zasadniczo unikalne: rozszerzony kod binarny Golaya .

Zobacz też

• Twierdzenie o klasyfikacji
• Modulo , termin matematyczny odnoszący się do równoważności obiektów
• Własność uniwersalna
• Aż do

Bibliografia