Własność uniwersalna - Universal property

W teorii kategorii , gałęzi matematyki , właściwość uniwersalna jest ważną właściwością, którą spełnia uniwersalny morfizm (patrz Definicja formalna ). Morfizmami uniwersalne mogą być również myśli bardziej abstrakcyjnie jak początkowych lub końcowych obiektów o kategorii przecinkami (patrz Połączenie z kategorii przecinkami ). Własności uniwersalne występują niemal wszędzie w matematyce i stąd precyzyjna koncepcja teorii kategorii pomaga wskazać podobieństwa między różnymi gałęziami matematyki, z których niektóre mogą nawet wydawać się niepowiązane.

Właściwości uniwersalne mogą być w sposób dorozumiany stosowane w innych dziedzinach matematyki, ale abstrakcyjną i bardziej precyzyjną definicję ich można badać w teorii kategorii.

W tym artykule przedstawiono ogólne potraktowanie właściwości uniwersalnych. Aby zrozumieć tę koncepcję, warto najpierw studiować kilka przykładów, wśród których jest wiele: wszystkie darmowe obiekty , bezpośrednia produktów i suma prosta , wolna grupa , wolne kratowe , grupa Grothendieck , zakończenia Dedekind-MacNeille , topologia produktowa , kamienny Čech zagęszczanie , iloczyn tensorowy , granica odwrotna i granica bezpośrednia , jądro i cokernel , pullback , pushout i equalizer .

Motywacja

Zanim podamy formalną definicję uniwersalnych właściwości, przedstawiamy motywację do studiowania takich konstrukcji.

• Konkretne szczegóły danej konstrukcji mogą być bałaganiarskie, ale jeśli konstrukcja spełnia właściwość powszechną, można o wszystkich tych szczegółach zapomnieć: wszystko, co trzeba wiedzieć o konstrukcji, jest już zawarte we właściwości uniwersalnej. Dowody często stają się krótkie i eleganckie, jeśli używa się właściwości uniwersalnych, a nie konkretnych detali. Na przykład, algebra tensor z przestrzeni wektorowej jest nieco bolesny faktycznie zbudować, ale przy użyciu jego uniwersalną właściwość sprawia, że znacznie łatwiej sobie poradzić.
• Właściwości uniwersalne definiują obiekty jednoznacznie aż do unikalnego izomorfizmu . Dlatego jedną ze strategii wykazania, że ​​dwa obiekty są izomorficzne, jest pokazanie, że spełniają one tę samą uniwersalną własność.
• Konstrukcje uniwersalne mają charakter funktoryczny: jeśli można wykonać konstrukcję dla każdego obiektu z kategorii C, to otrzymuje się funktor na C . Ponadto funktor ten jest sprzężeniem prawostronnym lub lewostronnym do funktora U używanego w definicji własności uniwersalnej.
• Uniwersalne właściwości występują wszędzie w matematyce. Dzięki zrozumieniu ich abstrakcyjnych właściwości uzyskuje się informacje o wszystkich tych konstrukcjach i można uniknąć powtarzania tej samej analizy dla każdej indywidualnej instancji.

Formalna definicja

Aby zrozumieć definicję konstrukcji uniwersalnej, należy spojrzeć na przykłady. Konstrukcje uniwersalne nie zostały zdefiniowane z powietrza, ale zostały zdefiniowane po tym, jak matematycy zaczęli dostrzegać wzór w wielu konstrukcjach matematycznych (patrz Przykłady poniżej). Stąd definicja może początkowo nie mieć sensu, ale stanie się jasna, gdy pogodzi się ją z konkretnymi przykładami.

Niech będzie funktorem między kategoriami i . W dalszej części niech być przedmiotem , while i są obiektami . ${\ Displaystyle F: C \ do D}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle C}$

Zatem funktor mapy , a w celu , i w . ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle A'}$${\ Displaystyle h}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle F (A)}$${\displaystyle F(A')}$${\ Displaystyle F (h)}$${\ Displaystyle D}$

Uniwersalny morfizmem od celu${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle F}$ jest unikalnym para w którym ma następującą właściwość, powszechnie określany jako własności uniwersalnej . Dla każdego morfizmu postaci w , istnieje unikalny morfizm w taki sposób, że następujący diagram komutuje : ${\displaystyle (A,u:X\do F(A))}$${\ Displaystyle D}$${\displaystyle f:X\do F(A')}$${\ Displaystyle D}$${\displaystyle h:A\do A'}$${\displaystyle C}$

Możemy dualizować tę kategoryczną koncepcję. Uniwersalny morfizmem od celu${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X}$ jest unikalną parę , która spełnia następujące nieruchomość uniwersalne. Dla każdego morfizmu postaci w , istnieje unikalny morfizm w taki sposób, że następujący diagram komutuje: ${\ Displaystyle (A, u: F (A) \ do X)}$${\ Displaystyle f: F (A ') \ do X}$${\ Displaystyle D}$${\displaystyle h:A'\do A}$${\displaystyle C}$

Zauważ, że w każdej definicji strzałki są odwrócone. Obie definicje są niezbędne do opisu konstrukcji uniwersalnych występujących w matematyce; ale powstają one również z powodu wrodzonej dwoistości obecnej w teorii kategorii. W obu przypadkach mówimy, że para, która zachowuje się jak powyżej, spełnia właściwość uniwersalną. ${\displaystyle (A,u)}$

Połączenie z kategoriami przecinków

Uniwersalne morfizmy można bardziej zwięźle opisać jako obiekty początkowe i końcowe w kategorii przecinków.

Niech będzie funktorem i obiektem . Następnie przypomnij sobie, że kategoria przecinka to kategoria, w której ${\ Displaystyle F: C \ do D}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle D}$${\displaystyle (X\downarrow F)}$

• Obiekty są parami postaci , gdzie jest obiektem w${\displaystyle (B,f:X\do F(B))}$${\ Displaystyle B}$${\displaystyle C}$
• Morfizm od do jest podany przez morfizm w taki sposób, że diagram komutuje:${\displaystyle (B,f:X\do F(B))}$${\displaystyle (B',f':X\do F(B'))}$${\ Displaystyle h: B \ do B'}$${\displaystyle C}$

Załóżmy teraz, że obiekt w jest początkowy. Następnie dla każdego obiektu istnieje unikalny morfizm, taki, że następuje komutacja poniższego diagramu. ${\displaystyle (A,u:X\do F(A))}$${\displaystyle (X\downarrow F)}$${\displaystyle (A',f:X\do F(A'))}$${\displaystyle h:A\do A'}$

Zauważ, że równość tutaj oznacza po prostu, że diagramy są takie same. Zauważ też, że diagram po prawej stronie równości jest dokładnie taki sam, jak ten przedstawiony przy definiowaniu uniwersalnego morfizmu od do${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle F}$ . Dlatego widzimy, że uniwersalny morfizm od do jest równoważny początkowemu obiektowi w kategorii przecinka . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle (X\downarrow F)}$

I odwrotnie, pamiętaj, że kategoria przecinka to kategoria, w której ${\displaystyle (F\downarrow X)}$

• Obiekty są parami postaci gdzie jest obiektem w${\ Displaystyle (B, f: F (B) \ do X)}$${\ Displaystyle B}$${\displaystyle C}$
• Morfizm od do jest podany przez morfizm w taki sposób, że diagram komutuje:${\ Displaystyle (B, f: F (B) \ do X)}$${\displaystyle (B',f':F(B')\do X)}$${\ Displaystyle h: B \ do B'}$${\displaystyle C}$

Załóżmy, że jest obiektem końcowym w . Następnie dla każdego obiektu istnieje unikalny morfizm, taki, że następujące diagramy przechodzą. ${\ Displaystyle (A, u: F (A) \ do X)}$${\displaystyle (F\downarrow X)}$${\displaystyle (A',f:F(A')\do X)}$${\displaystyle h:A'\do A}$

Diagram po prawej stronie równości jest tym samym diagramem przedstawionym podczas definiowania uniwersalnego morfizmu od do${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X}$ . Stąd uniwersalny morfizm od do odpowiada obiektowi końcowemu w kategorii przecinka . ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle (F\downarrow X)}$

Przykłady

Poniżej kilka przykładów, aby podkreślić ogólną ideę. Czytelnik może skonstruować wiele innych przykładów, przeglądając artykuły wymienione we wstępie.

Algebry tensorów

Pozwolić być kategoria przestrzenie wektorowe -Vect na polu i niech będzie kategoria algebry -Alg nad (zakłada się unital i asocjacyjne ). Pozwolić ${\displaystyle C}$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle D}$ ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K}$

${\ Displaystyle U}$ : -Alg → -Vect${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K}$

być funktorem zapominającym, który przypisuje każdej algebrze jej podstawową przestrzeń wektorową.

Mając dowolną przestrzeń wektorową nad możemy skonstruować algebrę tensorów . Algebra tensorów charakteryzuje się tym, że: ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle T (V)}$

„Każda liniowa mapa od do algebry może być jednoznacznie rozszerzona do homomorfizmu algebry od do .”${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle T (V)}$${\ Displaystyle A}$

To stwierdzenie jest początkową własnością algebry tensorów, ponieważ wyraża fakt, że para , gdzie jest mapą inkluzji, jest uniwersalnym morfizmem od przestrzeni wektorowej do funktora . ${\ Displaystyle (T(V),i)}$${\displaystyle i:V\doU(T(V))}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle U}$

Ponieważ ta konstrukcja działa dla dowolnej przestrzeni wektorowej , wnioskujemy, że jest to funktor od -Vect do -Alg . Oznacza to, że jest pozostawione sprzężonego z zapomnienie funktora (patrz poniżej sekcja w stosunku do funktorów sprzężony ). ${\ Displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\ Displaystyle U}$

Produkty

Kategoryczne produkt można scharakteryzować uniwersalnej konstrukcji. Dla konkretności można rozważyć iloczyn kartezjański w Set , iloczyn bezpośredni w Grp lub topologię produktu w Top , gdzie produkty istnieją.

Niech i bądź obiektami kategorii ze skończonymi produktami. Iloczyn i jest obiektem × wraz z dwoma morfizmami ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

${\displaystyle \pi_{1}}$ : ${\ Displaystyle X \ razy Y \ do X}$

${\displaystyle \pi_{2}}$ : ${\ Displaystyle X \ razy Y \ do Y}$

takie, że dla każdego innego przedmiotu z i morfizmów i istnieje unikalny morfizm taki sposób, że i . ${\ Displaystyle Z}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle f: Z \ do X}$${\ Displaystyle g: Z \ do Y}$${\ Displaystyle h: Z \ do X \ razy Y}$${\displaystyle f=\pi_{1}\circ h}$${\displaystyle g=\pi _{2}\circ h}$

Aby zrozumieć tę charakterystykę jako uniwersalną właściwość, weź kategorię jako kategorię produktu i zdefiniuj funktor diagonalny${\ Displaystyle D}$ ${\displaystyle C\razy C}$

${\ Displaystyle \ Delta: C \ do C \ razy C}$

przez i . Potem jest uniwersalnym morfizmem od do obiektu z : jeśli jakakolwiek morfizmem od celu , to musi się równać morfizmem od celu następuje . ${\ Displaystyle \ Delta (X) = (X, X)}$${\ Displaystyle \ Delta (f: X \ do Y) = (f, f)}$${\ Displaystyle (X \ razy Y (\ pi _ {1} \ pi _ {2}))}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle (X, Y)}$${\displaystyle C\razy C}$${\ Displaystyle (f, g)}$${\ Displaystyle (Z, Z)}$${\ Displaystyle (X, Y)}$${\ Displaystyle \ Delta (h: Z \ do X \ razy Y) = (h, h)}$${\ Displaystyle \ Delta (Z) = (Z, Z)}$${\ Displaystyle \ Delta (X \ razy Y) = (X \ razy Y, X \ razy Y)}$${\ Displaystyle (\ pi _ {1}, \ pi _ {2})}$

Limity i współlimity

Produkty kategoryczne stanowią szczególny rodzaj ograniczenia w teorii kategorii. Powyższy przykład można uogólnić na dowolne granice i współlimity.

Niech i być kategoriach z pomocą małego kategorii indeksu i niech będzie odpowiednia kategoria funktor . Przekątnej funktor${\ Displaystyle J}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle J}$ ${\ Displaystyle C ^ {J}}$

${\ Displaystyle \ Delta: C \ do C ^ {J}}$

jest funktorem, który odwzorowuje każdy obiekt in na stały funktor to (tj. dla każdego in ). ${\ Displaystyle N}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle \ Delta (N): J \ do C}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ Delta (N) (X) = N}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle J}$

Biorąc funktora (traktowane jako obiekt w ), przy granicy z , jeśli istnieje, to nic innego jak uniwersalna morfizmem od celu . Podwójnie , colimit of jest uniwersalnym morfizmem od do . ${\displaystyle F:J\do C}$${\ Displaystyle C ^ {J}}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle \ Delta}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle \ Delta}$

Nieruchomości

Istnienie i wyjątkowość

Zdefiniowanie ilości nie gwarantuje jej istnienia. Biorąc pod uwagę funktor i obiekt stanowi nie może lub nie istnieje uniwersalny morfizm od celu . Jeśli jednak istnieje uniwersalny morfizm , to jest on zasadniczo unikalny. W szczególności, jest unikalny do pomocą unikalnego izomorfizmie : jeżeli jest inna para, to istnieje Izomorfizm unikatowy tak, że . Łatwo to zauważyć, podstawiając definicję uniwersalnego morfizmu. ${\ Displaystyle F: C \ do D}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle (A,u)}$ ${\displaystyle (A',u')}$${\displaystyle k:A\do A'}$${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$${\displaystyle (A,u')}$

Jest to para, która jest pod tym względem zasadniczo wyjątkowa. Sam obiekt jest unikalny tylko pod względem izomorfizmu. Rzeczywiście, jeśli jest morfizmem uniwersalnym i jest dowolnym izomorfizmem to para , gdzie również jest morfizmem uniwersalnym. ${\displaystyle (A,u)}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle (A,u)}$${\displaystyle k:A\do A'}$${\displaystyle (A',u')}$${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$

Równoważne preparaty

Definicję uniwersalnego morfizmu można przeformułować na różne sposoby. Niech będzie funktorem i niech będzie obiektem . Wtedy następujące stwierdzenia są równoważne: ${\ Displaystyle F: C \ do D}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle D}$

• ${\displaystyle (A,u)}$jest uniwersalnym morfizmem od do${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle F}$
• ${\displaystyle (A,u)}$Jest to początkowy przedmiot z kategorii przecinkami ${\displaystyle (X\downarrow F)}$
• ${\displaystyle (A,u)}$Jest to przedstawienie z${\ Displaystyle {\ tekst {Hom}} _ {D} (X, F (-))}$

Podwójne stwierdzenia są również równoważne:

• ${\displaystyle (A,u)}$jest uniwersalnym morfizmem od do${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X}$
• ${\displaystyle (A,u)}$jest obiektem końcowym kategorii przecinka${\displaystyle (F\downarrow X)}$
• ${\displaystyle (A,u)}$ jest reprezentacją ${\ Displaystyle {\ tekst {Hom}} _ {D} (F (-), X)}$

Związek z funktorami sprzężonymi

Załóżmy, że jest uniwersalnym morfizmem od do i jest uniwersalnym morfizmem od do . Dzięki uniwersalnej własności uniwersalnych morfizmów, przy danym dowolnym morfizmie , istnieje unikalny morfizm taki, że następujący diagram komutuje: ${\displaystyle (A_{1},u_{1})}$${\displaystyle X_{1}}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle (A_{2},u_{2})}$${\displaystyle X_{2}}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle h:X_{1}\do X_{2}}$${\displaystyle g:A_{1}\do A_{2}}$

Jeśli każdy obiekt od przyznaje uniwersalny morfizm do , a następnie przypisanie i wyznacza funktor . Mapy następnie definiują naturalną transformację z (funktor tożsamości na ) do . Funktory są wtedy parą funktorów sprzężonych , z lewostronnie sprzężonymi do i prawostronnie sprzężonymi do . ${\ Displaystyle X_ {i}}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X_ {i} \ mapsto A_ {i}}$${\displaystyle h\mapsto g}$${\ Displaystyle G: D \ do C}$${\displaystyle u_{i}}$${\ Displaystyle 1_ {C}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F\circ G}$${\ Displaystyle (F, G)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$

Podobne stwierdzenia odnoszą się do podwójnej sytuacji terminalnych morfizmów z . Jeśli takie morfizmy istnieją, to każdy w jedynce otrzymuje funktor prawostronny do (tak samo lewostronny do ). ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle G: C \ do D}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$

W rzeczywistości wszystkie pary funktorów sprzężonych powstają w ten sposób z konstrukcji uniwersalnych. Niech i będzie parą funktorów sprzężonych z jednostką i współjednostką (definicje w artykule o funktorach sprzężonych ). Następnie mamy uniwersalny morfizm dla każdego obiektu w i : ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle G}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle D}$

• Dla każdego obiektu w , jest uniwersalny morfizm od do . Oznacza to, że dla wszystkich istnieje unikat, do którego dojeżdżają poniższe diagramy.${\ Displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle (F (X), \ eta _ {X})}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle f: X\ do G (Y)}$${\ Displaystyle g: F (X) \ do Y}$
• Dla każdego obiektu w , jest uniwersalny morfizm od do . Oznacza to, że dla wszystkich istnieje unikat, do którego dojeżdżają poniższe diagramy.${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle (G (Y), \ epsilon _ {Y})}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle g: F (X) \ do Y}$${\ Displaystyle f: X\ do G (Y)}$

Konstrukcje uniwersalne są bardziej ogólne niż pary sprzężonych funktorów: konstrukcja uniwersalna jest jak problem optymalizacyjny; powoduje powstanie sprzężonej pary wtedy i tylko wtedy, gdy ten problem ma rozwiązanie dla każdego obiektu (równoważnie dla każdego obiektu ). ${\displaystyle C}$${\ Displaystyle D}$

Historia

Uniwersalne właściwości różnych konstrukcji topologicznych przedstawił Pierre Samuel w 1948 r. Były one później szeroko wykorzystywane przez Bourbaki . Ściśle pokrewną koncepcję funktorów sprzężonych wprowadził niezależnie Daniel Kan w 1958 roku.

Zobacz też

• Bezpłatny obiekt
• Naturalna transformacja
• Funktor sprzężony
• Monada (teoria kategorii)
• Różnorodność algebr
• Zamknięta kategoria kartezjańska

Uwagi

Bibliografia

• Paul Cohn , Universal Algebra (1981), D.Reidel Publishing, Holandia. ISBN  90-277-1213-1 .
• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie dla Matematyka Pracującego . Teksty magisterskie z matematyki 5 (wyd. 2). Skoczek. Numer ISBN 0-387-98403-8.
• Borceux, F. Handbook of Categorical Algebra: tom 1 Podstawowa teoria kategorii (1994) Cambridge University Press, (Encyclopedia of Mathematics and its Applications) ISBN  0-521-44178-1
• N. Bourbaki, Livre II: Algèbre (1970), Hermann, ISBN  0-201-00639-1 .
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K.. Wprowadzenie do kręgów grupowych . Algebry i zastosowania, tom 1. Springer, 2002. ISBN  978-1-4020-0238-0
• Jacobsona. Algebra podstawowa II. Dover. 2009. ISBN  0-486-47187-X

Zewnętrzne linki

• nLab , projekt wiki dotyczący matematyki, fizyki i filozofii z naciskiem na n- kategoryczny punkt widzenia
• André Joyal , CatLab , projekt wiki poświęcony wykładowi matematyki kategorycznej
• Hillman, Chris. „Podstawnik kategoryczny”. CiteSeerX  10.1.1.24.3264 : Cytowanie dziennika wymaga |journal=( pomoc ) formalne wprowadzenie do teorii kategorii.
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Kategorie abstrakcyjne i konkretne – Radość kotów
• Stanford Encyclopedia of Philosophy : „ Teoria kategorii ” — Jean-Pierre Marquis. Obszerna bibliografia.
• Lista konferencji naukowych dotyczących teorii kategorii
• Baez, John, 1996, „ Opowieść o n- kategoriach ”. Nieformalne wprowadzenie do kategorii wyższego rzędu.
• WildCats to pakiet teorii kategorii dla Mathematica . Manipulacja i wizualizacja obiektów, morfizmy , kategorie, funktory , przekształcenia naturalne , własności uniwersalne .
• The catsters , kanał YouTube poświęcony teorii kategorii.
• Archiwum wideo nagranych rozmów dotyczących kategorii, logiki i podstaw fizyki.
• Interaktywna strona internetowa generująca przykłady konstrukcji kategorycznych w kategorii zbiorów skończonych.