Do - Up to

Góra: W zestawie wierzchołków sześciokątnych znajduje się 20 partycji, które mają jeden podzbiór trzech elementów (zielony) i trzy podzbiory jednoelementowe (bezbarwne). U dołu: z tych 4 partycje do obrócenia i 3 do obrócenia i odbicia.

Dwa matematyczne obiekty A i B są nazywane równy maksymalnie o równoważności relacji R

  • jeśli a i b są powiązane przez R , to znaczy
  • jeśli aRb trzyma, to znaczy
  • jeśli Klasy równoważne z i B w odniesieniu do R są jednakowe.

Ta figura retoryczna jest najczęściej używana w połączeniu z wyrażeniami wywodzącymi się z równości, takimi jak niepowtarzalność lub liczebność. Na przykład, x jest wyjątkowy do R, oznacza, że wszystkie obiekty x pod uwagę, są w tej samej klasie równoważnikowym względem relacji R .

Ponadto relacja równoważności R jest często określana raczej implicite przez warunek generujący lub transformację. Na przykład stwierdzenie „faktoryzacja liczby całkowitej na czynniki pierwsze jest unikalne aż do uporządkowania” jest zwięzłym sposobem stwierdzenia, że ​​dowolne dwie listy czynników pierwszych danej liczby całkowitej są równoważne w odniesieniu do relacji R, która wiąże dwie listy, jeśli można ją otrzymać poprzez zmianę kolejności ( permutację ) z innego. Jako inny przykład, stwierdzenie „rozwiązaniem całki nieoznaczonej jest sin ( x ), aż do dodania przez stałą” milcząco stosuje relację równoważności R między funkcjami, zdefiniowaną przez fRg, jeśli f - g jest funkcją stałą i oznacza, że roztworu i funkcji sin ( x ) jest równa do tego badania . Na rysunku „do obrotu są 4 przegrody” oznacza, że ​​zbiór P ma 4 klasy równoważności względem R zdefiniowane przez aRb, jeśli b można uzyskać z a przez obrót; po jednym przedstawicielu z każdej klasy jest pokazany w lewej dolnej części rysunku.

Relacje równoważności są często używane do ignorowania możliwych różnic obiektów, więc „do R ” można rozumieć nieformalnie jako „ignorowanie tych samych subtelności, co R ”. W przykładzie na czynniki, „do uporządkowania” oznacza „zignorowanie określonego uporządkowania”.

Dalsze przykłady obejmują „aż do izomorfizmu”, „do permutacji” i „do obrotów”, które są opisane w sekcji Przykłady .

W nieformalnych kontekstach matematycy często używają słowa modulo (lub po prostu „mod”) do podobnych celów, jak w „izomorfizmie modulo”.

Przykłady

Tetris

Elementy Tetris I, J, L, O, S, T, Z

Prostym przykładem jest „istnieje siedem odbijających tetromino aż do obrotów”, który odnosi się do siedmiu możliwych przylegających do siebie układów tetromino (zbiory czterech jednostkowych kwadratów ułożonych tak, by łączyć się co najmniej z jednej strony) i które są często uważane za siedem elementów Tetris (O, I, L, J, T, S, Z). Można też powiedzieć, że „jest pięć tetromino, aż do odbić i rotacji”, co uwzględniłoby perspektywę, z której L i J (a także S i Z) można uważać za ten sam kawałek po odbiciu. Gra Tetris nie pozwala na refleksje, więc poprzednie stwierdzenie może wydawać się bardziej istotne.

Aby dodać do wyczerpującej liczby, nie ma formalnego zapisu liczby sztuk tetromino. Jednak często pisze się, że „istnieje siedem odbijających tetromino (= łącznie 19) do obrotów”. Tutaj Tetris stanowi doskonały przykład, ponieważ można po prostu policzyć 7 sztuk × 4 obroty jako 28, ale niektóre elementy (takie jak 2 × 2 O) mają oczywiście mniej niż cztery stany obrotu.

Osiem królowych

Rozwiązanie problemu ośmiu królowych

W łamigłówce z ośmioma królowymi , jeśli osiem królowych uważa się za odrębne, to jest 3709440 różnych rozwiązań. Zwykle jednak królowe są uważane za identyczne i zwykle mówi się: „istnieje 92 ( ) unikalnych rozwiązań aż do permutacji królowych” lub, że „istnieje 92 rozwiązań modyfikujących nazwy królowych”, co oznacza, że ​​dwa różne układy hetmanów są uważane za równoważne, jeśli hetmany zostały permutowane, ale te same pola na szachownicy są przez nie zajęte.

Gdyby oprócz traktowania królowych jako identycznych, dozwolone byłyby obroty i odbicia szachownicy, mielibyśmy tylko 12 różnych rozwiązań dotyczących symetrii i nazewnictwa królowych , co oznacza, że ​​dwa układy, które są względem siebie symetryczne, są uważane za równoważne (aby uzyskać więcej informacji, zobacz zagadkę Osiem królowych § Rozwiązania )

Wielokąty

Regularne n gon , dla danego n , jest unikalny do podobieństwa . Innymi słowy, jeśli wszystkie podobne n- gony są uważane za wystąpienia tego samego n- gonu, to istnieje tylko jeden regularny n- gon.

Teoria grup

W teorii grup można mieć grupę G działającą na zbiorze X , w którym to przypadku można by powiedzieć, że dwa elementy X są równoważne „aż do działania grupowego” - jeśli leżą na tej samej orbicie .

Innym typowym przykładem jest stwierdzenie, że „istnieją dwie różne grupy rzędu 4 aż do izomorfizmu ” lub „ izomorfizm modulo , istnieją dwie grupy rzędu 4”. Oznacza to, że istnieją dwie klasy równoważności grup rzędu 4 - przy założeniu, że uznaje się grupy za równoważne, jeśli są izomorficzne .

Analiza niestandardowa

Hiperrzeczywista x , a jego średnia część ul ( x ) jest równa się na nieskończenie małej różnicy.

Informatyka

W informatyce termin techniki up-to jest precyzyjnie zdefiniowanym pojęciem, które odnosi się do pewnych technik dowodzenia dla (słabej) bisymulacji i odnosi się do procesów, które zachowują się podobnie, tylko do nieobserwowalnych kroków.

Zobacz też

Bibliografia

  1. ^ Nekovář, styczeń (2011). „Matematyczny angielski (krótkie podsumowanie)” (PDF) . Institut de mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche . Źródło 2019-11-21 .
  2. ^ a b „Ostateczny słownik wyższego żargonu matematycznego - do” . Math Vault . 2019-08-01 . Źródło 2019-11-21 .
  3. ^ Weisstein, Eric W. „Tetromino” . mathworld.wolfram.com . Źródło 2019-11-21 .
  4. ^ Damien Pous, Up-to techniki dla słabej bisymulacji , Proc. Natl. 32nd ICALP, Notatki z wykładów z informatyki , vol. 3580, Springer Verlag (2005), s. 730–741

Dalsza lektura