Zamknięcie (topologia) - Closure (topology)
W matematyce The zamknięcie podzbioru S punktów w przestrzeni topologicznej obejmuje wszystkie punkty w S wraz ze wszystkimi punktami granicznymi z S . Zamknięcie S mogą odpowiednio być zdefiniowana jako jedności o S i jego granicy , a także jako przecięcia wszystkich zamkniętych zestawów zawierających S . Intuicyjnie, zamknięcie można traktować jako wszystkie punkty, które znajdują się w S lub "blisko" S . Punkt, który jest w zamknięciu S jest punktem zamknięcia z S . Pojęcie zamknięcia jest pod wieloma względami dwoiste wobec pojęcia wnętrza .
Definicje
Punkt zamknięcia
Dla podzbioru przestrzeni euklidesowej , jest punktem zamknięcia, jeśli każda otwarta kula wyśrodkowana na zawiera punkt (ten punkt może być sobą).
Definicja ta uogólnienia do dowolnej podgrupie o metryki przestrzeni pełni ekspresji, na metryki przestrzeni metrycznych jest punktem zamknięcia , gdy dla każdego istnieje część tak, że odległość (ponownie, jest dostępna). Innym sposobem wyrażenia tego jest stwierdzenie, że jest to punkt zamknięcia, jeśli odległość
Ta definicja uogólnia na przestrzenie topologiczne , zastępując „otwartą kulę” lub „kulę” słowem „ sąsiedztwo ”. Pozwolić być podzbiorem przestrzeni topologicznej Potem jest punktem zamykającym lub przylegającego punktu o jeśli każdy sąsiedztwo zawiera punkt Należy zauważyć, że definicja ta nie zależy od tego, czy dzielnice muszą być otwarte.
Punkt graniczny
Definicja punktu zamknięcia jest ściśle związana z definicją punktu granicznego . Różnica między tymi dwiema definicjami jest subtelna, ale ważna – mianowicie w definicji punktu granicznego każde sąsiedztwo tego punktu musi zawierać punkt zbioru inny niż on sam . Zbiór wszystkich punktów granicznych zbioru nazywamy zbiór pochodzący z
Zatem każdy punkt graniczny jest punktem zamknięcia, ale nie każdy punkt zamknięcia jest punktem granicznym. Punkt zamknięcia, który nie jest punktem granicznym, jest punktem izolowanym . Innymi słowy, punkt jest wydzielonym punktem, jeśli jest elementem i jeśli istnieje sąsiedztwo, które nie zawiera innych punktów poza nim samym.
Dla danego zbioru i punkt jest punktem domknięcia wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem lub jest punktem granicznym (lub obu).
Zamknięcie zestawu
Zamknięcie podzbioru przestrzeni topologicznej oznaczona ewentualnie poprzez (jeśli jest zrozumiałe), przy czym, gdy oba i są oczywiste z kontekstu to może być również oznaczona lub (ponadto czasem aktywuje się ) można określić za pomocą dowolnego następujące równoważne definicje:
- jest zbiorem wszystkich punktów zamknięcia z
- to zestaw wraz ze wszystkimi jego punktami granicznymi .
- jest przecięciem wszystkich zamkniętych zbiorów zawierających
- to najmniejszy zamknięty zestaw zawierający
- jest połączeniem i jego granicą
- jest zbiorem wszystkich, dla których istnieje sieć (wartościowana) w której zbiega się do in
Zamknięcie zbioru ma następujące właściwości.
- jest zamkniętym nadzbiorem
- Zestaw jest zamknięty wtedy i tylko wtedy, gdy
- Jeśli to jest podzbiorem
- Jeśli jest zbiorem domkniętym, to zawiera wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera
Czasami druga lub trzecia właściwość powyżej jest traktowana jako definicja domknięcia topologicznego, które nadal ma sens, gdy stosuje się je do innych typów domknięć (patrz poniżej).
W przestrzeni policzalnej od pierwszej (takiej jak przestrzeń metryczna ) jest zbiorem wszystkich granic wszystkich zbieżnych ciągów punktów w W ogólnej przestrzeni topologicznej to stwierdzenie pozostaje prawdziwe, jeśli zastąpimy „sekwencję” „ netto ” lub „ filtrem ”. ”.
Należy zauważyć, że te właściwości są również spełnione, jeśli „zamknięcie”, „superset”, „skrzyżowanie”, „zawiera/zawierające”, „najmniejsze” i „zamknięte” zostaną zastąpione przez „wewnętrzne”, „podzbiór”, „połączenie”, „zawarte w", "największy" i "otwarty". Aby uzyskać więcej informacji na ten temat, zobacz operator zamknięcia poniżej.
Przykłady
Rozważ kulę w 3 wymiarach. Domyślnie istnieją dwa obszary zainteresowania stworzone przez tę sferę; samą sferę i jej wnętrze (nazywane otwartą trójką). Przydatna jest możliwość rozróżnienia między wnętrzem trójki a powierzchnią, dlatego rozróżniamy otwartą trójkę i zamkniętą trójkę – zamknięcie trójki. Zamknięcie otwartej trójki to otwarta trójka plus powierzchnia.
- W każdej przestrzeni
- W dowolnej przestrzeni
Nadanie i średnia (metryczny) Topologia :
- Jeśli jest to przestrzeń euklidesowa z liczb rzeczywistych , a następnie
- Jeśli jest to przestrzeń euklidesowa następnie zamknięcie zestawu z liczb wymiernych jest cała przestrzeń Mówimy, że jest gęsty w
- Jeśli jest to płaszczyzna złożona, to
- Jeśli jest skończonym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, to (Dla ogólnej przestrzeni topologicznej ta własność jest równoważna aksjomatowi T 1 .)
Na zbiorze liczb rzeczywistych można umieścić inne topologie zamiast standardowej.
- Jeśli jest wyposażony w topologię dolnego limitu , to
- Jeśli weźmie się pod uwagę na tym dyskretnym topologii , w której każdy zestaw jest zamknięty (otwarty), a następnie
- Jeśli weźmie się pod uwagę na tym trywialnym topologii , w której tylko zamknięte (otwarte) zestawy są zbiór pusty i sam, a następnie
Te przykłady pokazują, że zamknięcie zbioru zależy od topologii przestrzeni bazowej. Ostatnie dwa przykłady to szczególne przypadki poniższych.
- W każdej przestrzeni dyskretnej , ponieważ każdy zbiór jest zamknięty (a także otwarty), każdy zbiór jest równy jego domknięciu.
- W każdej niedyskretnej przestrzeni, ponieważ jedynymi domkniętymi zbiorami są zbiór pusty i sam w sobie, mamy, że domknięciem zbioru pustego jest zbiór pusty, a dla każdego niepustego podzbioru zbioru Innymi słowy, każdego niepustego podzbioru niedyskretnego przestrzeń jest gęsta .
Zamknięcie zbioru zależy również od tego, w jakiej przestrzeni przyjmujemy domknięcie. Na przykład, jeśli jest zbiorem liczb wymiernych, ze zwykłą względną topologią indukowaną przez przestrzeń euklidesową, a if then jest zarówno zamknięty, jak i otwarty w, ponieważ ani jego dopełnienie nie może zawierać , co byłoby dolnym ograniczeniem , ale nie może być w ponieważ jest irracjonalne. Tak więc nie ma dobrze zdefiniowanego zamknięcia, ponieważ elementy brzegowe nie znajdują się w . Jeśli jednak zamiast tego zdefiniujemy zbiór liczb rzeczywistych i zdefiniujemy przedział w ten sam sposób, to zamknięcie tego przedziału jest dobrze zdefiniowane i będzie zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych większych lub równych .
Operator zamknięcia
Operator konsekwencji na zestawie jest mapowanie tego zestawu mocy z , na siebie, który spełnia Axioms Kuratowskiemu zamknięcia . Biorąc pod uwagę przestrzeń topologiczna , topologiczna zamknięcia wywołuje funkcję zdefiniowaną przez wysłanie podzbioru do gdzie zapis lub może być używany. I odwrotnie, jeśli jest operatorem domknięcia na zbiorze, to przestrzeń topologiczna jest uzyskiwana poprzez zdefiniowanie zbiorów domkniętych jako dokładnie tych podzbiorów, które spełniają (tak dopełnienia w tych podzbiorach tworzą zbiory otwarte topologii).
Operator zamknięcia jest podwójny do operatora wewnętrznego , który jest oznaczony w tym sensie, że
i również
Dlatego abstrakcyjną teorię operatorów domknięcia i aksjomaty domknięcia Kuratowskiego można łatwo przetłumaczyć na język operatorów wewnętrznych, zastępując zbiory ich dopełnieniami w
Generalnie operator zamknięcia nie dojeżdża do skrzyżowań. Jednak w kompletnej przestrzeni metrycznej obowiązuje następujący wynik:
Twierdzenie (C. Ursescu) — Niech będzie ciągiem podzbiorów pełnej przestrzeni metrycznej
- Jeśli każdy jest zamknięty, to
- Jeśli każdy jest otwarty w to in
Fakty dotyczące zamknięć
Podzbiór jest zamknięty w tylko wtedy, gdy w szczególności:
- Zamknięciem zbioru pustego jest zbiór pusty;
- Samo zamknięcie jest
- Domknięcie przecięcia zbiorów jest zawsze podzbiorem (ale nie musi być równe) przecięciu domknięć zbiorów.
- W unii z skończenie wielu zbiorów, zamknięcie Unii, a Unia zamknięć są równe; suma zbiorów zerowych jest zbiorem pustym, więc ta instrukcja zawiera wcześniejsze stwierdzenie o zamknięciu zbioru pustego jako przypadku specjalnym.
- Domknięcie sumy nieskończenie wielu zbiorów nie musi równać się sumy domknięć, ale zawsze jest nadzbiorem sumy domknięć.
Jeśli a jeśli jest podprzestrzeń z (to znaczy, że jest obdarzonego topologii podprzestrzeni , która indukuje na niego) i zamknięcie obliczony jest równa przecięcia i zamknięcia obliczony :
W szczególności jest gęsty wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem
Jeśli, ale niekoniecznie jest podzbiorem, to tylko
jest ogólnie gwarantowane, gdzie to ograniczenie może być ścisłe (rozważ na przykład zwykłą topologię i ), chociaż jeśli jest otwartym podzbiorem, to równość będzie zachowana (bez względu na relację między i ). W konsekwencji, jeśli jest jakaś otwarta pokrywa od a jeśli jest dowolnym podzbiorem następnie:
ponieważ dla każdego (gdzie każdy jest wyposażony w topologię podprzestrzenną indukowaną na nim przez ). Równość ta jest szczególnie przydatna, gdy jest rozmaitością, a zbiory w otwartej okładce są domenami wykresów współrzędnych . Mówiąc słownie, ten wynik pokazuje, że zamknięcie dowolnego podzbioru można obliczyć „lokalnie” w zestawach dowolnej otwartej pokrywy, a następnie połączyć ze sobą. W ten sposób, wynik ten może być postrzegany jako odpowiednik dobrze znanego faktu, że podzbiór jest zamknięta , wtedy i tylko wtedy, gdy jest „ lokalnie zamknięte w ”, co oznacza, że jeśli jest jakaś otwarta pokrywa z czym jest zamknięta , czy i tylko jeśli jest zamknięty dla każdego for
Interpretacja kategoryczna
Można elegancko zdefiniować operator zamknięcia za pomocą uniwersalnych strzałek w następujący sposób.
PowerSet zestaw może być realizowany jako porządek częściowy kategorii , w których obiekty są podzbiorami i morfizmami są mapy włączenia , gdy jest podzbiorem Ponadto Topologia na to podkategorii z włączeniem funktora Zestaw zamkniętych podzbiorów zawierających stałe podzbiór może byćutożsamiany z kategorią przecinka Ta kategoria — również częściowy porządek — ma wtedy początkowy obiekt Tak więc istnieje uniwersalna strzałka od do podanej przez włączenie
Podobnie, ponieważ każdy zbiór domknięty zawierający odpowiada zbiorze otwartym zawartych w możemy interpretować kategorię jako zbiór podzbiorów otwartych zawartych w z zaciskiem przedmiotu wnętrz z
Wszystkie właściwości zamknięcia można wyprowadzić z tej definicji i kilku właściwości z powyższych kategorii. Co więcej, definicja ta precyzuje analogię pomiędzy domniemaniem topologicznym a innymi typami domknięć (np. domknięciem algebraicznym ), ponieważ wszystkie są przykładami uniwersalnych strzałek .
Zobacz też
- Punkt przylegający – Punkt należący do domknięcia niektórych daje podzbiór przestrzeni topologicznej.
- Algebra zamknięcia
- Zbiór pochodny (matematyka)
- Wnętrze (topologia)
- Punkt graniczny — punkt x w przestrzeni topologicznej, którego wszystkie sąsiedztwo zawiera inny punkt w danym podzbiorze, inny niż x
Uwagi
Bibliografia
Bibliografia
- Baker, Crump W. (1991), Wprowadzenie do topologii , Wm. C. Brown Wydawnictwo, ISBN 0-697-05972-3
- Croom, Fred H. (1989), Zasady topologii , Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
- Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Topologia elementarna (2nd ed.), Dover, ISBN 0-486-66522-4
- Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961], Topologia , Dover, ISBN 0-486-65676-4
- Kuratowski, K. (1966), Topologia , I , Wydawnictwo Akademickie
- Pervin, William J. (1965), Podstawy topologii ogólnej , Prasa akademicka
- Schubert, Horst (1968), Topologia , Allyn i Bacon
- Zălinescu, Constantin (30 lipca 2002). Analiza wypukła w ogólnych przestrzeniach wektorowych . River Edge, NJ Londyn: World Scientific Publishing . Numer ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556 . 285163112 OCLC .
Linki zewnętrzne
- „Zamknięcie zestawu” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]