Ułamkowa transformata Fouriera - Fractional Fourier transform

W matematyce , w dziedzinie analizy harmonicznej , ułamkowa transformata Fouriera ( FRFT ) jest rodziną przekształceń liniowych uogólniających transformatę Fouriera . Można ją traktować jako transformatę Fouriera do n- tej potęgi, gdzie n nie musi być liczbą całkowitą — w ten sposób może przekształcić funkcję do dowolnej dziedziny pośredniej między czasem a częstotliwością . Zakres jego zastosowań sięga od projektowania filtrów i analizy sygnału po wyszukiwanie fazy i rozpoznawanie wzorców .

FRFT może być używany do definiowania ułamkowego splotu , korelacji i innych operacji, a także może być dalej uogólniony na liniową transformację kanoniczną (LCT). Wczesna definicja FRFT została wprowadzona przez Condona , rozwiązując funkcję Greena dla rotacji w przestrzeni fazowej, a także przez Namiasa, uogólniając pracę Wienera o wielomianach Hermite'a .

Jednak nie był powszechnie rozpoznawany w przetwarzaniu sygnałów, dopóki nie został niezależnie ponownie wprowadzony około 1993 roku przez kilka grup. Od tego czasu nastąpił gwałtowny wzrost zainteresowania rozszerzeniem twierdzenia Shannona o próbkowaniu sygnałów, które są ograniczone pasmem w domenie ułamkowej Fouriera.

Zupełnie inne znaczenie dla „ułamkowej transformacji Fouriera” zostało wprowadzone przez Baileya i Swartztraubera jako zasadniczo inna nazwa transformacji z , a w szczególności w przypadku, który odpowiada dyskretnej transformacji Fouriera przesuniętej o ułamkową wartość w przestrzeni częstotliwości (mnożąc dane wejściowe za pomocą sygnału liniowego chirp ) i ocenianie w ułamkowym zestawie punktów częstotliwości (np. biorąc pod uwagę tylko niewielką część widma). (Takie transformacje mogą być efektywnie oceniane przez algorytm FFT Bluesteina .) Ta terminologia wyszła z użycia w większości literatury technicznej, jednak zamiast FRFT. Pozostała część tego artykułu opisuje FRFT.

Wstęp

Ciągłe transformaty Fouriera z funkcji jest jednostkowy operator o który odwzorowuje funkcję do swojej frequential wersji (wszystkie wyrażenia są podejmowane w sensie zamiast punktowo): ${\mathcal {F}}$ ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle L ^ {2}}$ $f$ ${\kapelusz {f}}$ ${\ Displaystyle L ^ {2}}$

{\ Displaystyle {\ kapelusz {f}} (\ xi ) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ e ^ {-2 \ pi ix \ xi} \ \ operatorname {d } x}

i jest określana przez odwrotną transformatę $f$ ${\kapelusz {f}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {-1} \ ,,}$

{\ Displaystyle f (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ kapelusz {f}} (\ xi) \ e ^ {2 \ pi i \ xi x} \ \ operatorname {d } \xi \,.}

Przeanalizujmy jego n -tę iterację określoną przez i kiedy n jest nieujemną liczbą całkowitą, oraz . Ich sekwencja jest skończona, ponieważ jest automorfizmem czterookresowym : dla każdej funkcji ƒ, . ${\ Displaystyle {\ Mathcal {F}} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {n} [f] = {\ mathcal {F}} [{\ mathcal {F}} ^ {n-1} [f]]}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {-n} = ({\ mathcal {F}} ^ {-1}) ^ {n}}$ ${\mathcal {F}}^{0}[f]=f$ ${\mathcal {F}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {4}[f] = f}$

Dokładniej, wprowadźmy operator parzystości, który odwraca , . Wówczas zachowane są następujące właściwości: ${\mathcal {P}}$ $x$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} [f] \ dwukropek x \ mapsto f (-x)}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {0}= \ operatorname {identyfikator} , \ qquad {\ mathcal {F}} ^ {1} = {\ mathcal {F}}, \ qquad {\ mathcal {F }}^{2}={\mathcal {P}},\qquad {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {Id} }

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {3} = {\ mathcal {F}} ^ {-1} = {\ mathcal {P}} \ circ {\ mathcal {F}} = {\ mathcal {F }}\circ {\mathcal {P}}.}

FRFT zapewnia rodzinę przekształceń liniowych, która dodatkowo rozszerza tę definicję, aby obsługiwać niecałkowite potęgi FT. $n=2\alfa /\pi$

Definicja

Uwaga: niektórzy autorzy piszą transformację w postaci „porządku $a$ ” zamiast „kąta $α$ ”, w którym to przypadku $α$ jest zwykle $a$ razy $π /2$ . Chociaż te dwie formy są równoważne, należy uważać na to, jakiej definicji używa autor.

Dla każdego rzeczywistego $α$ , ułamkowa transformata Fouriera $α$ -kąta funkcji ƒ jest oznaczona i zdefiniowana przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alfa} (u)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alfa} [f] (u) = {\ sqrt {1-i \ cot (\ alfa)}} e ^ {i \ pi \ cot (\ alfa) u ^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \left(\csc(\alpha )ux-{\frac {\cot(\alpha )}{2} }x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x}$

Formalnie ten wzór jest ważny tylko wtedy, gdy funkcja wejściowa znajduje się w wystarczająco ładnej przestrzeni (takiej jak przestrzeń L1 lub Schwartz) i jest zdefiniowana za pomocą argumentu gęstości, w sposób podobny do zwykłej transformacji Fouriera (patrz artykuł), w ogólnym przypadku.

Jeżeli $α$ jest całkowitą wielokrotnością π, to powyższe funkcje cotangensa i cosecans są rozbieżne. Można to jednak obsłużyć, biorąc limit , i prowadzi do funkcji delta Diraca w całce. Bardziej bezpośrednio, ponieważ musi być po prostu $f$ $($ $t$ $)$ lub $f$ $(-$ $t$ $)$ dla $α$ odpowiednio parzystą lub nieparzystą wielokrotnością $π$ . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {2} (f) = f (-t) ~ ~ ~ {\ mathcal {F}} _ {\ alfa} ~ (f)}$

Dla $α = π /2$ staje się to dokładnie definicją ciągłej transformacji Fouriera, a dla $α = - π /2$ jest to definicja odwrotnej ciągłej transformacji Fouriera.

Argument FRFT $u$ nie jest ani przestrzenną jedynką $x$ ani częstotliwością $ξ$ . Zobaczymy, dlaczego można to zinterpretować jako kombinację liniową obu współrzędnych $(x, ξ)$ . Gdy chcemy rozróżnić domenę ułamkową kątową $α$ , oznaczymy argument . $x_{a}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alfa}}$

Uwaga: przy konwencji częstotliwości kątowej ω zamiast częstotliwościowej wzór FRFT jest jądrem Mehlera ,

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alfa} (f) (\ omega ) = {\ sqrt {\ Frac {1-i \ cot (\ alfa )} {2 \ pi}}} e ^ { i\cot(\alpha )\omega ^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\csc(\alpha )\omega t+i\cot(\alpha )t^{2}/2}f(t)\,dt~.}

Nieruchomości

Operator ułamkowej transformacji Fouriera $α-tego$ rzędu ma następujące właściwości: ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alfa}}$

Addytywność

Dla dowolnych kątów rzeczywistych $α, β$ ,

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alfa + \ beta} = {\ mathcal {f}} _ {\ alfa} \ circ {\ mathcal {f}} _ {\ beta} = {\ mathcal { F}}_{\beta }\circ {\mathcal {F}}_{\alfa }.}

Liniowość

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alfa} \ lewo [\ suma \ nolimity _ {k} b_ {k} f_ {k} (u) \ prawo] = \ suma \ nolimity _ {k} b_ {k}{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[f_{k}(u)\right]}

Rozkazy liczb całkowitych

Jeśli $α$ jest całkowitą wielokrotnością , to: ${\ Displaystyle \ pi /2}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {f}} _ {\ alfa} = {\ mathcal {f}} _ {k \ pi /2} = {\ mathcal {f}} ^ {k} = ({\ mathcal {f }})^{k}}

Ponadto ma następujący związek:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathcal {F}} ^ {2} i = {\ mathcal {P}} i {\ mathcal {P}} [f (u)] = f (-u) \ \{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}=({\mathcal {F}})^{-1}\\{\mathcal {F}} ^{4}&={\mathcal {F}}^{0}={\mathcal {I}}\\{\mathcal {F}}^{i}&={\mathcal {F}}^{j }&&i\equiv j\mod 4\end{aligned}}}

Odwrotność

{\ Displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {\ alfa}) ^ {-1} = {\ mathcal {F}} _ {- \ alfa}}

Przemienność

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alfa _ {1}} {\ mathcal {F}} _ {\ alfa _ {2}} = {\ mathcal {F}} _ {\ alfa _ {2 }}{\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}}

Łączność

{\ Displaystyle \ left ({\ mathcal {f}} _ {\ alfa _ {1}} {\ mathcal {f}} _ {\ alfa _ {2}} \ po prawej) {\ mathcal {F}} _ { \alpha _{3}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}\left({\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}} _{\alfa _{3}}\prawo)}

Jedność

{\ Displaystyle \ int f ^ {*} (u) g (u) du = \ int f_ {\ alfa} ^ {*} (u) g_ {\ alfa} (u) du}

Odwrócenie czasu

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alfa} {\ mathcal {P}} = {\ mathcal {P}} {\ mathcal {F}} _ {\ alfa}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alfa} [f (-u)] = f_ {\ alfa} (-u)}

Przekształcenie funkcji przesuniętej

Zdefiniuj przesunięcie i operatory przesunięcia fazowego w następujący sposób:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathcal {SH}} (u_ {0}) [f (u)] i = f (u + u_ {0}) \ \ {\ mathcal {PH}} (v_ {0})[f(u)]&=e^{j2\pi v_{0}u}f(u)\end{wyrównany}}}

Następnie

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathcal {F}} _ {\ alfa} {\ mathcal {SH}} (u_ {0}) i = e ^ {j \ pi u_ {0} ^ {2} \sin \alpha \cos \alpha }{\mathcal {PH}}(u_{0}\sin \alpha ){\mathcal {SH}}(u_{0}\cos \alpha ){\mathcal {F}} _{\alfa },\end{wyrównany}}}

to jest,

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathcal {F}} _ {\ alfa} [f (u + u_ {0})] i = e ^ {j \ pi u_ {0} ^ {2} \ grzech \alpha \cos \alpha }e^{j2\pi uu_{0}\sin \alpha }f_{\alpha }(u+u_{0}\cos \alpha )\end{aligned}}}

Przekształcenie funkcji skalowanej

Zdefiniuj operatory skalowania i mnożenia chirp w następujący sposób:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} M (M) [f (u)] i = | M | ^ {- {\ Frac {1} {2}}} f \ lewo ({\ tfrac {u} {M }}\right)\\Q(q)[f(u)]&=e^{-j\pi qu^{2}}f(u)\end{aligned}}}

Następnie,

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ mathcal {F}} _ {\ alfa} M (M) i = Q \ lewo (- \ łóżeczko \ lewo ({\ Frac {1-\ cos ^ {2} \) alpha '}{\cos ^{2}\alpha }}\alpha \right)\right)\times M\left({\frac {\sin \alpha }{M\sin \alpha '}}\right){ \mathcal {F}}_{\alpha '}\\[6pt]{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[|M|^{-{\frac {1}{2}}}f \left({\tfrac {u}{M}}\right)\right]&={\sqrt {\frac {1-j\cot \alpha }{1-jM^{2}\cot \alpha }} }e^{j\pi u^{2}\cot \left({\frac {1-\cos ^{2}\alpha '}{\cos ^{2}\alpha }}\alpha \right)} \times f_{a}\left({\frac {Mu\sin \alpha '}{\sin \alpha }}\right)\end{aligned}}}

Zauważ, że ułamkowa transformata Fouriera nie może być wyrażona jako skalowana wersja . Raczej ułamkowa transformata Fouriera okazuje się być skalowaną i modulowaną ćwierkaniem wersją gdzie jest inna kolejność. ${\ Displaystyle f (u/m)}$ $f_{\alfa}(u)$ ${\ Displaystyle f (u/m)}$ ${\ Displaystyle f_ {\ alfa '} (u)}$ ${\ Displaystyle \ alfa \ neq \ alfa '}$

Jądro ułamkowe

FRFT jest transformacją całkową

{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ alfa} f (u) = \ int K_ {\ alfa} (u, x) f (x) \ \ operatorname {d} x}

gdzie jest jądro kątowe α

{\ Displaystyle K_ {\ alfa} (u, x) = {\ zacząć {przypadki} {\ sqrt {1-i \ cot (\ alfa )}} \ exp \ lewo (i \ pi ( \ cot (\ alfa) (x^{2}+u^{2})-2\csc(\alpha )ux)\right)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ nie jest wielokrotnością }}\pi , \\\delta (ux)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ jest wielokrotnością }}2\pi ,\\\delta (u+x)&{\mbox{if }}\alpha +\pi {\mbox{ jest wielokrotnością }}2\pi ,\\\end{przypadki}}}

Tutaj znowu szczególne przypadki są zgodne z zachowaniem granicy, gdy $α$ zbliża się do wielokrotności $π$ .

FRFT ma takie same właściwości jak jego jądra:

symetria: ${\ Displaystyle K_ {\ alfa} ~ (u, u ') = K_ {\ alfa} ~ (u', u)}$
odwrotność: ${\ Displaystyle K_ {\ alfa} ^ {-1} (u, u ') = K_ {\ alfa} ^ {*} (u, u') = K_ {- \ alfa} (u ', u)}$
addytywność: ${\ Displaystyle K_ {\ alfa + \ beta} (u, u') = \ int K_ {\ alfa} (u, u'') K_ {\ beta} (u '', u '') \ \ operatorname { d} u''.}$

Powiązane przekształcenia

Istnieją również pokrewne ułamkowe uogólnienia podobnych transformacji, takie jak dyskretna transformata Fouriera .

Dyskretnej transformaty Fouriera cząstkowej jest określona Zeev Zalevsky . Algorytm kwantowy implementujący wersję dyskretnej ułamkowej transformacji Fouriera w czasie sub-wielomianowym jest opisany przez Sommę.
Frakcyjny falkowej transformacji (FRWT) to uogólnienie klasycznego falkowej przekształcić w frakcyjnej Fouriera domeny.
Chirplet przekształcić do powiązanej uogólnieniem transformaty falkowej .

Uogólnienia

Transformacja Fouriera jest zasadniczo bozonowa ; działa, ponieważ jest zgodny z zasadą superpozycji i powiązanymi wzorcami interferencji. Istnieje również fermionowa transformata Fouriera. Zostały one uogólnione na supersymetryczną transformatę FRFT i supersymetryczną transformatę Radona . Istnieje również ułamkowa transformata Radona, symplektyczna FRFT i symplektyczna transformata falkowa . Ponieważ obwody kwantowe są oparte na operacjach unitarnych , są one przydatne do obliczania przekształceń całkowych, ponieważ te ostatnie są operatorami unitarnymi w przestrzeni funkcji . Zaprojektowano układ kwantowy, który implementuje FRFT.

Interpretacja

Odtwórz multimedia

Funkcja rect zamienia się w funkcję sinc, gdy rząd ułamkowej transformacji Fouriera wynosi 1

Zwykła interpretacja transformaty Fouriera polega na przekształceniu sygnału w domenie czasu na sygnał w domenie częstotliwości. Z drugiej strony interpretacja odwrotnej transformaty Fouriera polega na przekształceniu sygnału w domenie częstotliwości na sygnał w domenie czasu. Ułamkowe transformaty Fouriera przekształcają sygnał (zarówno w domenie czasu, jak i w domenie częstotliwości) w domenę między czasem a częstotliwością: jest to obrót w domenie czasowo-częstotliwościowej . Ta perspektywa jest uogólniona przez liniową transformację kanoniczną , która uogólnia ułamkową transformatę Fouriera i umożliwia liniowe transformacje domeny czasowo-częstotliwościowej inne niż rotacja.

Jako przykład weź poniższy rysunek. Jeśli sygnał w domenie czasu jest prostokątny (jak poniżej), staje się funkcją sinc w domenie częstotliwości. Ale jeśli zastosuje się ułamkową transformatę Fouriera do sygnału prostokątnego, wyjście transformacji będzie w dziedzinie między czasem a częstotliwością.

Ułamkowa transformata Fouriera

Ułamkowa transformata Fouriera jest operacją rotacyjną na rozkładzie czasowo-częstotliwościowym . Z powyższej definicji, dla α = 0, nie będzie zmiany po zastosowaniu ułamkowej transformaty Fouriera, natomiast dla α = π /2 ułamkowa transformata Fouriera staje się zwykłą transformatą Fouriera, która obraca rozkład czasowo-częstotliwościowy o π / 2. Dla innej wartości α , ułamkowa transformata Fouriera obraca rozkład czasowo-częstotliwościowy zgodnie z α. Poniższy rysunek przedstawia wyniki ułamkowej transformacji Fouriera z różnymi wartościami α .

Rozkład czasu/częstotliwości ułamkowej transformaty Fouriera

Podanie

Ułamkowa transformata Fouriera może być stosowana w analizie częstotliwości czasu i DSP . Przydatne jest filtrowanie szumu, ale pod warunkiem, że nie pokrywa się on z pożądanym sygnałem w domenie czasowo-częstotliwościowej. Rozważmy następujący przykład. Nie możemy zastosować filtra bezpośrednio w celu wyeliminowania szumu, ale za pomocą ułamkowej transformacji Fouriera możemy najpierw obrócić sygnał (w tym pożądany sygnał i szum). Następnie stosujemy określony filtr, który pozwoli na przejście tylko pożądanego sygnału. W ten sposób hałas zostanie całkowicie usunięty. Następnie ponownie używamy ułamkowej transformacji Fouriera, aby obrócić sygnał z powrotem i możemy uzyskać pożądany sygnał.

Ułamkowa transformata Fouriera w DSP

Tak więc, używając tylko obcięcia w domenie czasu lub równoważnych filtrów dolnoprzepustowych w domenie częstotliwości, można wyciąć dowolny zbiór wypukły w przestrzeni czasowo-częstotliwościowej; samo użycie metod w dziedzinie czasu lub w dziedzinie częstotliwości bez ułamkowych transformacji Fouriera umożliwia wycinanie tylko prostokątów równoległych do osi.

Ułamkowe transformaty Fouriera mają również zastosowanie w fizyce kwantowej. Na przykład służą do formułowania entropowych relacji niepewności.

Są również przydatne w projektowaniu systemów optycznych i optymalizacji wydajności holograficznego przechowywania.

Zobacz też

Inne przekształcenia czasowo-częstotliwościowe:

Bibliografia

Candan, C.; Kutaj, MA; Ozaktas, HM (maj 2000). „Dyskretna ułamkowa transformata Fouriera” (PDF) . Transakcje IEEE dotyczące przetwarzania sygnałów . 48 (5): 1329–1337. Kod Bib : 2000ITSP...48.1329C . doi : 10.1109/78.839980 . hdl : 11693/11130 .
Ding, Jian-Jiun (2007). Analiza częstotliwości czasu i transformacja falkowa (notatki z zajęć). Tajpej, Tajwan: Wydział Inżynierii Elektrycznej, Narodowy Uniwersytet Tajwanu (NTU).
Lohmann, AW (1993). „Obrót obrazu, rotacja Wignera i ułamkowa transformata Fouriera”. J. Opt. Soc. Jestem . A (10): 2181–2186. Kod Bib : 1993JOSAA..10.2181L . doi : 10.1364/JOSAA.10.002181 .
Ozaktas, Haldun M .; Zalewski, Zeev; Kutay, M. Alper (2001). Ułamkowa transformata Fouriera z zastosowaniami w optyce i przetwarzaniu sygnałów . Seria w czystej i stosowanej optyce. John Wiley & Synowie. Numer ISBN 978-0-471-96346-2.
Pei, Soo-Chang; Ding, Jian-Jiun (2001). „Relacje między operacjami ułamkowymi i rozkładami czasowo-częstotliwościowymi oraz ich zastosowaniami”. IEEE Trans. Proces sygnału . 49 (8): 1638–1655. Kod Bib : 2001ITSP...49.1638P . doi : 10.1109/78.934134 .
Saxena, Rajiv; Singh, Kulbir (styczeń-luty 2005). „Ułamkowa transformata Fouriera: nowatorskie narzędzie do przetwarzania sygnałów” (PDF) . J. Indian Inst. Nauka . 85 : 11–26. Zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 16 lipca 2011 r.

Languages

In other projects

Ułamkowa transformata Fouriera - Fractional Fourier transform

Zawartość

Wstęp

Definicja

Nieruchomości

Addytywność

Liniowość

Rozkazy liczb całkowitych

Odwrotność

Przemienność

Łączność

Jedność

Odwrócenie czasu

Przekształcenie funkcji przesuniętej

Przekształcenie funkcji skalowanej

Jądro ułamkowe

Powiązane przekształcenia

Uogólnienia

Interpretacja

Podanie

Zobacz też

Bibliografia

Bibliografia

Zewnętrzne linki