Fundamental wielokąt - Fundamental polygon

W matematyce , o fundamentalnym wielokąt można zdefiniować dla każdego kompaktowego Riemanna powierzchni od rodzaju większa niż 0. To koduje nie tylko topologię powierzchni poprzez jego fundamentalnej grupy , ale także określa Riemann powierzchni do konformalną równoważności. Przez twierdzenia uniformizacji , każda zwarta powierzchnia Riemanna po prostu podłączyć uniwersalny Wykładzina podane przez dokładnie jeden z następujących powodów:

• sfera Riemanna ,
• płaszczyźnie zespolonej ,
• napędem dyskowym D równoważnie górnej półpłaszczyźnie H .

W pierwszym przypadku rodzaju zera, to powierzchnia jest wiernie odpowiednik kuli Riemanna.

W drugim przypadku jednego rodzaju powierzchnia jest wiernie równoważne torusa C / X pewnego kratowego X w C . Podstawowym wielokąta X jest albo równoległoboku okres lub wielobok symetryczny centralnie, w wyniku pierwszy świadczy Fedorov 1891.

W tym ostatnim przypadku z rodzaju g > 1, powierzchnia Riemanna jest wiernie równoważne H / y, gdzie Γ jest Fuchsian grupę o przemian MöBIUS . Podstawowym domeny gamma jest dana przez wielokąta wypukłego dla metryki hiperbolicznej H . Mogą one być zdefiniowane przez Dirichleta wielokątów i mają parzystą liczbę stron. Struktura zasadnicza grupa y można odczytać z takiego wielokąta. Przy użyciu teorii odwzorowań quasiconformal i równania Beltrami , można było wykazać, że jest kanoniczna wypukły Dirichlet wielokąt 4 g boki, pierwszy określonych Fricke , co odpowiada standardowym prezentacji Tt jako grupy, z 2 g generatorów ₁ , b ₁ , ₂ , b ₂ , ..., _g , b _g i pojedynczy związek [ ₁ , b ₁ ] [ ₂ , b ₂ ] ⋅⋅⋅ [ _g , b _g ] = 1, w którym [ , b ] = b ^-1 b ^-1 .

Każdy Riemanna metryka zorientowaną zamknięty 2-kolektor M określa strukturę złożoną na M , co dla M zwartą powierzchnię Riemanna. Poprzez zastosowanie podstawowych wielokątów wynika, że dwa zorientowane zamknięty 2-kolektory są klasyfikowane pod względem ich rodzaju, czyli połowę Rangę grupa przemienna Γ / [Tt, Γ], gdzie Γ = π ₁ ( M ). Ponadto, wynika również z teorii quasiconformal odwzorowań, że dwie zwarte powierzchnie Riemanna są diffeomorphic wtedy i tylko wtedy, gdy są one homeomorficzny. W konsekwencji, dwa zamknięte zorientowanych 2 kolektory są homeomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy są one diffeomorphic. Taki rezultat można również okazały się przy użyciu metod topologii różnicowego .

Podstawowe wielokątów w jednym rodzaju

Równoległobokami i sześciokątów centralnie symetryczne

W przypadku jednego rodzaju, zasadnicza wypukłego wielokąta poszukiwane działanie poprzez translację X = Z ⊕ Z b o R ² = C , gdzie i b są liniowo niezależne przez R . (Po przeprowadzeniu rzeczywistego przekształcenia Liniowy R ² , można założyć, jeśli konieczne, Λ = Z ² = Z + Z i , dla rodzaju jeden Riemanna powierzchnia może być wykorzystany, aby mieć postać Λ = Z ² = Z + Z ω, IM omów> 0) ą podstawową domeną jest przez równoległoboku s x + t r o 0 < y , t <1 , gdzie x i y są generatory x.

Jeśli C jest wnętrze podstawowej wypukłego wielokąta, a następnie przekłada C + x pokrywa R ² a X przebiega przez X. Wynika z tego, że granica punkty C powstają przecięć C ∩ ( C + x ). Są zwarte wypukłych w ∂ C , a zatem zarówno wierzchołkami C i boki C . Wynika z tego, że każda zamknięta z boku C mogą być napisane w ten sposób. Translacja przez - x wynika, że C ∩ ( C - x ) jest również strona C . W ten sposób boki C występują w równoległych par równej długości. Punkty końcowe tych dwóch równoległych segmentów o jednakowej długości mogą być połączone tak, że przecinają się, a przecięcie następuje w punktach środkowych segmentów linią łączącą punkty końcowe. Wynika stąd, że skrzyżowania al takich segmentów występują w tym samym punkcie. Przełożenie tego punktu do pochodzenia, wynika, że wielokąt jest centralnie symetryczny; czyli jeśli punkt oo jest wielokąta, tak też jest - oo .

Łatwo jest zobaczyć przekłada centralnie symetryczny wypukły utworzeniem mozaiki sześcioboku samolotu. Jeśli jest punktem sześciokąta, a kratownica jest generowany przez wektory przemieszczenia AB i AC w których B i C są dwa wektory, które nie sąsiadują z A, a nie na odwrót . Rzeczywiście, drugie zdjęcie pokazuje jak sześciokąt jest równoważna równoległoboku otrzymanego przez przesunięcie dwóch trójkątów odcięty przez segmenty AB i AC . Równie dobrze pierwsze zdjęcie pokazuje inny sposób dopasowywania Dachówka przez równoległoboków z sześciokątnym kafli. Jeśli środek sześciokąta wynosi 0, a wierzchołki celu są , b , c , - - b i - C , a następnie Λ jest grupa przemienna generatorami + b i b + c .

Twierdzenie Fedorowa

Twierdzenie Fedorowa , założona przez rosyjskiego krystalografem Jewgraf Fiodorow w 1891 roku, twierdzi, że równoległoboki i sześciokątów centralnie symetryczne są jedynymi wielokątów wypukłych, które są fundamentalne domen. Istnieje wiele dowodów tego, niektóre z nowszych związanych z wynikami w teorii wypukłości , w geometrii liczb i okręgu pakowania , takich jak nierówności Brunn-Minkowskiego . Dwa podstawowe dowody powodu HSM Coxeter'a i Voronoi zostaną przedstawione tutaj.

Coxeter odporne na wpływy przy założeniu, że jest symetryczny centralnie wypukła wielokąta C, z 2 m stronach. Następnie duże równoległobok utworzony z zamkniętej N ² podstawowych równoległoboków kafelki przekłady C , które wychodzą poza krawędzie dużej równoległoboku. Dachówka ta wywołuje na torusa C / N X. Niech v , e i f jest liczbą wierzchołków, krawędzi i ścian w tym płytek (biorąc pod uwagę w identyfikacji przestrzeni iloraz). Następnie, ponieważ charakterystyka Eulera-Poincarégo z torusa jest równa zero,

${\ Displaystyle V-e + f = 0.}$

Z drugiej strony, ponieważ każdy wierzchołek znajduje się na co najmniej 3 różne krawędzie, każda krawędź znajduje się między dwoma wierzchołkami,

${\ 3v displaystyle \ równoważnik 2e.}$

Ponadto, ponieważ każda krawędź jest dokładnie dwóch twarzach

${\ Displaystyle 2e = 2MF.}$

Stąd

${\ Mf displaystyle = e \ równoważnik 3 (EV) = 3F.}$

po to aby

${\ Displaystyle m \ równoważnik 3}$

jako wymagane.

Dowód Voronoi zaczyna się od obserwacji, że każda krawędź C odpowiada pierwiastka X w X. W rzeczywistości krawędź jest prostopadła dwusieczną promieniu od 0 do X . Stąd stóp prostopadłej od 0 do każdej z krawędzi znajduje się wewnątrz każdej krawędzi. Jeżeli Y oznacza dowolny punkt kraty, a następnie 1/2 Y nie może leżeć na C ; gdyż jeśli tak, -1/2 Y również leży w C , zaprzeczając C jest podstawowym domeny X. Niech ± x ₁ , ..., ± x _m BE 2 m różne punkty X odpowiadających bokach C . Ustalić generatory A i B o X. Zatem x _ı = alfa _ı + p _i b , gdzie a _{: i} i P _i są liczbami całkowitymi. Nie jest to możliwe dla obu a _I i P _i być równe, ponieważ inaczej ± 1/2 x _i będzie punktem X na siebie, co jest sprzeczne C jest podstawową domeną. Tak więc istnieją trzy możliwości dla pary liczb całkowitych (α _I , β _I ) modulo 2: (0,1), (1,0) i (1,1). W konsekwencji, jeśli m > 3, nie byłoby x _í i x _j w i ≠ j z obu współrzędnych x _i - x _j nawet, czyli 1/2 ( x _I + x _j ) leży w X. Ale to jest punkt środkowy segmentu linii łączącej dwa punkty wewnętrzne krawędzie, a więc leży w C , wnętrze wielokąta. To znowu jest sprzeczne z faktem, że C jest podstawową domeną. Więc reductio ad absurdum m ≤ 3, jak twierdził.

Domeny Dirichlet-Voronoi

O X kratowy C = R ² , podstawową domeną może być określona za pomocą kanonicznej struktury ochronnej z C . Należy zauważyć, że grupa przemian konforemnych z C jest podane przez złożonych transformacji afiniczne g ( oo ) = az + b z a ≠ 0 . Przemiany te zachowania euklidesową metrykę d ( Z , wagowo ) = | oo - w | aż do współczynnika, jak również zachowanie orientacji. Jest podgrupa grupy Möbius ustalające punkt na ∞. Struktura dane mogą być wykorzystane do określenia kanoniczną podstawową domenę C = { oo : d ( z , 0) < d ( z , λ ) dla wszystkich X ≠ 0 w X}. (Jest oczywiste, z definicji, że jest podstawowym domeny.) Jest to przykład Dirichlet domeny lub Woronoja schematem : ponieważ złożone tłumaczenia stanowić grupa przemienna tak dojazdy z działaniem X pojęcia te zbiegają się. Kanoniczna podstawową domeną dla X = Z + Z Ohm z Im ω > 0 jest albo symetryczny wypukły równoległoboku lub sześciokąt o środku 0. Według konformalną równoważności, okres ω może być dodatkowo ograniczone do zaspokojenia | Re Ohm | ≤ 1/2 i | Ohm | ≥ 1 . Jak Dirichlet pokazał ( „twierdzenie Dirichleta sześciokątną”, 1850), na prawie wszystkich ω podstawową domeną jest sześciokąt. Na Przedmiot ω > 0 , to środkowe boków znajdują się w zakresie ± 1/2 ± omów / 2 ± ( omów - 1) / 2 ; boki przepoławiać odpowiedni promień od 0 prostopadle, które określa wierzchołki całkowicie. W rzeczywistości pierwszy wierzchołek może mieć postać (1 + IX ) / 2 i ω (1 + Y ) / 2 z X i Y rzeczywistym; więc jeśli ω = a + ib , to jest - poprzez = 1 i x = b + Ay . Stąd Y = ( - 1) / b i x = ( ² + b ² - ) / b . Sześć wierzchołki są zatem ± Ohm (1 - Y ) / 2 i ± (1 ± IX ) / 2 .

Podstawowe wielokątów w wyższej rodzaju

Przegląd

Każda zwarta powierzchnia Riemanna X ma uniwersalnego Wykładzina , która jest po prostu podłączyć Powierzchnia Riemanna X . Podstawową grupę o X działa jako przemian pokładu z X i mogą być identyfikowane z podgrupy Tt z grupy biholomorphisms z X . Grupa Γ działa więc swobodnie X o zwartej ilorazu x / y,, który może być identyfikowany z X . Zatem klasyfikacja zwartej powierzchni Riemanna można zmniejszyć do badania możliwych grup gamma. Przez twierdzenia uniformizacji X jest albo kula Riemanna, kompleks płaski lub napędem dyskowym / górną halfplane. Pierwszą ważną niezmienna zwartej powierzchni Riemanna jest jego rodzaju , topologiczna niezmienna podaje połowę rangi grupa przemienna Γ / [Tt, y] (który może być identyfikowany z grupy homologii H ₁ ( X , Z ) ). Rodzaju jest zero jeśli przestrzeń pokrycie jest sfera Riemanna; jeden, jeśli jest to kompleks płaszczyznę; i większa niż jeden, jeśli jest to jednostka lub dysk górny halfplane.

Bihomolomorphisms sfery Riemanna tylko złożonych przekształceń MöBIUS i każde przekształcenie nie tożsamości zawiera co najmniej jeden stały punkt, od odpowiedniego kompleksu matryca zawsze co najmniej jeden nie-zerową wektor własny. Zatem, jeśli X jest sferą Riemanna, a X musi być łatwo połączone i biholomorphic sfery Riemanna, w rodzaju zerowym powierzchni Riemanna. Gdy X jest kompleks płaszczyzny, grupa biholomorphisms jest grupa afiniczne złożonych przekształceń MöBIUS mocujące ∞, tak przemiany g ( z ) = az + b z a ≠ 0 . Przemiany zakaz tożsamości bez stałych punktów są tylko te z a = 1 i b ≠ 0 , czyli niezerowych tłumaczeń. Grupa Γ mogą być zatem identyfikowane poprzez X kratowy C i X o ilorazie C / X, jak opisano w części dotyczącej podstawowych wielokątów jednego rodzaju. W trzecim przypadku, gdy X jest dyskowym lub górnej połowie płaszczyzny, grupa biholomorphisms składa się ze złożonych przekształceń MöBIUS mocujących koło jednostki lub osi rzeczywistej. W pierwszym przypadku, przemiany odpowiadają elementom z grupy SU (1, 1) / {± I }; w tym drugim przypadku, że odpowiadają rzeczywistym MöBIUS przemian tak elementów SL (2, R ) / {± I }.

Badania i klasyfikacja możliwych grup y, które działają swobodnie na dyskowego lub górnej halfplane o kompaktowych iloraz-the Fuchsian każdego pierwszego rodzaju, można przeprowadzić przez badanie ich podstawowe wielokąty, jak opisano poniżej. Jako Poincare obserwowano każdy taki wielokąt ma szczególne właściwości, a mianowicie, że jest wypukła i ma naturalne parowanie pomiędzy jej bokami. Są nie tylko pozwalają grupa zostać odzyskane, ale zapewniają wyraźną prezentację grupy przez wytwórców i relacji. Odwrotnie Poincare okazało się, że wszystkie takie wielokąta prowadzi do zwartej powierzchni Riemanna; w rzeczywistości, wielokąt twierdzenie Poincarego stosowana do bardziej ogólnych wielokątów, gdzie wielobok wolno było mieć idealne wierzchołki, ale jego dowód jest kompletna jedynie w kompaktowej obudowie, bez tych wierzchołków. Bez założeń na wypukłości wielokąta, kompletne dowody zostały podane przez MaskIt i de Rham , oparta na idei Siegel , i można je znaleźć w Beardon (1983) , Iversen (1992) i Stillwell (1992) . Carathéodory dała elementarną leczenia istnienie teselacji trójkątami Schwarz , tj Tilings przez geodezyjnych trójkątami o kątach Õ / a , gatunku / b , gatunku / c z sumie mniej niż π gdzie , b , c są liczbami całkowitymi. Gdy wszystkie kąty równe gatunku / 2 g , ten określa płytki regularnym 4g -sided hiperboliczne wielokątów i stąd obecność określonego zwartej powierzchni Riemanna rodzaju g jako przestrzeń iloraz. Ten szczególny przykład, który ma grupę cykliczną Z _{2 g} z bihomolomorphic symetrii, jest stosowany w poniższej rozwoju.

Klasyfikacja do homeomorfizmu i dyfeomorfizmu kompaktowych powierzchni Riemanna oznacza klasyfikację zamknięty orientowanych 2-kolektorów do homeomorfizmu i dyfeomorfizmu Dowolne dwa 2-kolektory z tego samego gatunku są diffeomorphic. W rzeczywistości, stosując podział jedności, każdy zamknięty orientowany 2-kolektor przyznaje Riemanna metryki . O zwartej powierzchni Riemanna metryką konformalna może być również wprowadzony jest wierne, tak że w holomorficzna współrzędne metryki przyjmuje postać p ( Z ) | dz | ² . Gdy to metryka została wybrana, lokalnie biholomorphic mapowania są Dyfeomorfizm właśnie orientacja-konserwujące, które są wierne, czyli skala metryka o gładkiej funkcji. Istnienie izotermicznej współrzędne -co można udowodnić za pomocą zarówno lokalnych twierdzenia egzystencji laplasjan lub równania Beltrami -shows że każda zamknięta zorientowane Riemanna 2-kolektor można podawać złożoną strukturę zgodną z ich metryczne, a zatem ma strukturę zwarta powierzchnia Riemanna. Konstrukcja ta pokazuje, że klasyfikacja zamkniętych orientowanych 2-kolektorów aż do dyfeomorfizmu lub homeomorfizmu można zmniejszyć jak w przypadku zwartej powierzchni Riemanna.

Klasyfikacja do homeomorfizmu i dyfeomorfizmu kompaktowych powierzchni Riemanna można przeprowadzić stosując podstawową wielokąta. Rzeczywiście obserwuje się wypukłe, jak Poincare podstawowe wielokąty dla kompaktowych powierzchniami Riemanna H / Γ może być wykonana przez adaptację metody z Dirichlet z przestrzeni euklidesowej do hiperbolicznej przestrzeni. Następnie po Nevanlinna i Jost podstawową domeną może być modyfikowany w etapach otrzymując uwypuklony wielokąt wierzchołki leżące w jednej orbity y i boków odcinkowo geodezyjnych. Zależność sparowania po bokach również zmodyfikowane w każdym z tych etapów. Każdy etap polega na przecięciu wielokąta odcinkiem geodezyjnej przekątnej wewnątrz wielokąta i ponowne wielokąta przy użyciu jednej z MÖBIUS przemian uczestniczących w powiązaniu. Nie ma dwóch sparowanych boki mogą mieć wspólny wierzchołek w końcowym stosunku parowania, który spełnia właściwości podobne do oryginalnej relacji. Wielobok z kolei może być stopniowo modyfikowana poprzez ponownym wielokąta po przecięciu go przez ukośną segmentu odcinkowo geodezyjnej w jego wnętrzu. Końcowa wielokąt 4 g równoważne wierzchołki, z boków, które są odcinkowo geodezyjnej. Boki są oznaczone za pomocą elementów grupy, które nadają się do przetwarzania Möbius powiązanemu boku. W celu znakowania jest

${\ A_ displaystyle {1} b_ {1} a_ {1} ^ {- 1} b_ {1} ^ {- 1}, \ kropki a_ {G}, b_ {G}, a_ {G} ^ {- 1} b_ {g} ^ {- 1}}$

Γ tak, że jest generowany przez a _I a b _I podlegają jednolitej odniesieniu

${\ A_ displaystyle {1} b_ {1} a_ {1} ^ {- 1} b_ {1} ^ {- 1} \ cdots a_ {G} b_ {G} a_ {G} ^ {- 1} b_ { g} ^ {. - 1} = 1}$

• 

  Rodzaj zera powierzchni (sfery)

• 

  Rodzaj jedna powierzchnia (torusa)

• 

  Rodzaj dwóch powierzchni

• 

  Rodzaj trzy powierzchnia

Przy użyciu teorii liczby przecięć wynika, że kształt uzyskano przez połączenie wierzchołków przez geodezyjnych jest odpowiednia wielokąta, niekoniecznie wypukły i jest podstawową domeną z tych samych elementów grupy dające parowanie. W ten sposób uzyskuje się zasadniczą wieloboku o krawędziach segmentów danych geodezyjnych i standardowej etykiecie. Abelianisation z y grupa iloraz Γ / [Γ, Γ] jest wolna grupa przemienna 2 g generatorów. W ten sposób rodzaj g jest topologiczna niezmienne. Łatwo jest zauważyć, że dwie powierzchnie Riemanna z tego samego rodzaju są homeomorficzny od przestrzeni, jak topologicznej, gdyż uzyskuje się przez określenie boki 4 g -sided wielokąta euklidesowej wielokąta w modelu Klein -by Dyfeomorfizm pomiędzy parami boków. Zastosowanie tej konstrukcji do regularnego 4 g -sided wielokąta pozwala powierzchnia Riemanna należy traktować jako topologicznie pączka z g otworami standardowym opisem powierzchni zorientowanych w tekstach wprowadzający topologii.

Istnieje kilka dalsze wyniki:

• Dwie powierzchnie homeomorficzną Riemanna są diffeomorphic.
• Każdy wypukły podstawowym wielokąta w rodzaju g ma N wierzchołki gdzie 4 g ≤ N ≤ 12 g - 6.
• Dirichlet wielokąt w rodzaju g ma dokładnie 12 g - 6 wierzchołków dla gęstym zbiorze otwartym ośrodków.
• Każdy rodzaj g Powierzchnia Riemanna ma Fricke fundamentalny, czyli wielokąt wypukły wielokąt z kanonicznej parowania pomiędzy stronami. (Wielokąt nie musi być koniecznie Dirichlet wielokąt).
• Po odpowiedniej normalizacji i znakowania generatorów podstawowej grupy wielokąta Fricke jest wyznaczane jednoznacznie i 6 g - 6 rzeczywiste parametry opisujące może być stosowany jako globalne parametry analityczne rzeczywistym dla Teichmüller przestrzeni w rodzaju g .

Wyniki te są związane z zależności pomiędzy homeomorfizmów i podstawowej grupy: to wynika z faktu, że grupa klasy mapowanie z Riemanna powierzchniowego grupy quasiconformal samodzielnych Homomorfizmy Riemanna powierzchniowego H / Γ modulo te homotopijne do identity- mogą być identyfikowane z zewnętrznym grupy automorfizm z y (The tw Dehn-Nielsen, Baer ). Zobaczyć to połączenie należy zauważyć, że jeżeli m jest homeomorfizm quasiconformal z X ₁ = H / y ₁ na X ₂ = H / Γ ₂ , to f wyciągów do homeomorfizmu quasiconformal f o H na siebie. Ten wyciąg jest wyjątkowy do pre-kompozycja z elementami y ₁ i post-kompozycji z elementami y ₂ . Jeśli π _i jest rzutem H na X _I , a F ∘ π ₁ = π ₂ ∘ F i Γ _i tylko grupa homeomorfizmy g o H , tak że π _i ∘ g = π _ı . Jeśli okaże się, że F G = θ ( G ) F na g w y ₁ , gdzie θ jest Izomorfizm grupa y ₁ na y ₂ . Innym wyborem f zmian θ w kompozycji z wewnętrzną automorfizm: isomorphisms takie są uważane za równoważne .

Dwa isomorphisms θ i θ "są równoważne, wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie homeomorfizmy F i F ' są homotopijne. W zasadzie wystarcza, aby pokazać, że quasiconformal siebie homeomorfizm F od płaskiej powierzchni wywołuje wewnętrzną automorfizmem podstawowej grupy tylko wtedy, gdy jest to homotopijne do mapy tożsamości: innymi słowy homomorfizmem grupy quasiconformal siebie homeomorfizm z H / Γ do schodzi y przechodzi do grupy klasy odwzorowanie, na którym jest on za pomocą wstrzyknięć. Rzeczywiście przypuszczać pierwszy F ( t ) jest ciągłą ścieżką samodzielnych homeomorfizmów z F (0) = identyfikator i M (1) = f . Następnie jest ciągły podnośnik K ( t ) z F (0) = Id. Ponadto dla każdego g w y, F ( t ) ∘ g ∘ K ( t ) ^-1 jest stale zmiennym elementem y równe g dla t = 0 ; tak nieciągłości sił y to element jest stały, a więc równa g tak, że F ( t ) kursuje z y, tak F (1) wywołuje się trywialne automorfizm. Jeśli z drugiej strony C jest winda quasiconformal z F indukowania wewnętrzną automorfizmem y, po kompozycji z elementem Tt W razie potrzeby można założyć, że F kursuje z gamma. Ponieważ F jest quasiconformal, że rozciąga się quasisymmetric homeomorfizmu koła, który jest również dojazdy z gamma. Każdy g ≠ ID w y jest hiperboliczny więc dwa punkty stałe na okręgu _± , tak że wszystkie inne punkty Ż , g ^{± n} ( Z ) zwykle jest _± jak n dąży do nieskończoności. Stąd F musi rozwiązać te kwestie; Ponieważ punkty gęsty koła, jak g zmienia wynika, że F mocuje koło urządzenia. Niech jj = K _oo / K _z , tak że μ jest Γ niezmienny Beltrami różnicowego. Niech K ( t ) jest rozwiązaniem równania Beltrami tμ znormalizowane do ustalenia trzech punktów na okręgu jednostkowym. Następnie K ( t ) kursuje z y i tak, jak f = F (1) , jest tożsamość na okręgu jednostkowym. Konstrukcyjnie F ( t ) jest isotopy od tożsamości i F . Dowodzi to zatłaczania gazu.

Dowód opiera się na porównywaniu surjectivity hiperboliczny metrykę na D o długości słowo metryki y. Zakładając, że z zewnątrz utraty ogólności, że 0 leży we wnętrzu wypukłego wielokąta podstawowej C oraz g jest elementem y, promień od 0 do g (0) -the hiperboliczny geodezyjnych, przechodzi przez kolejne przekłada się na C . Każdy z nich otrzymuje się z poprzedniej warstwy przez nakładanie generator gamma lub stały produkt generatorów (jeśli kolejny przekłada spotykają się w wierzchołku). Wynika stąd, że hiperboliczny odległość między 0 a g (0) jest mniejszy niż 4 g razy długość słowa g dodatkowo dwukrotnie średnica podstawowej wielokąta. Tak więc metryka Tt d ₁ ( g , h ) = L ( h ^-1 g ), określonej przez długość słowa L ( g ) spełnia

${\ Displaystyle d (G (0), H (0)) \ równoważnik A \, d_ {1} (G, H) + B}$

dla dodatnimi stałymi a i b . Z drugiej strony są dodatnimi stałymi c i d w taki sposób,

${\ Displaystyle d_ {1} (g, h) \ równoważnik c \ d (G (0), H (0)) + d,}$

Dirichleta wielokąty

Biorąc pod uwagę punkt, w górnej półpłaszczyźnie H i nieciągłą podgrupy y z PSL (2, R ) , które działa się swobodnie w sposób nieciągły w górnej połowie płaszczyzny, to można zdefiniować Dirichleta wielokąta jako zbiór punktów ${\ Displaystyle Z_ {0}}$

${\ Displaystyle F = \ {Z \ w \ mathbf {H} d (Z, Z_ {0}) <d (Z, gz_ {0}) \, \; \ forall g \ w \ gamma, G \ neq 1 \}}$

Tutaj, d jest hiperboliczny metryczny na górnej półpłaszczyźnie. Metryka podstawowym wielokąt jest bardziej zwykle nazywa się wielokąt Dirichleta .

• Ta fundamentalna wielokąt jest podstawową domeną .
• Ta fundamentalna wielokąt jest wypukły , że geodezyjnej łączący dwa dowolne punkty wielokąta jest zawarta całkowicie wewnątrz wieloboku.
• Średnicy od F jest mniejsza niż lub równa średnicy H / y. W szczególności, zamknięcie F jest zwarta.
• Jeśli Γ ma stałe punkty w H i H / y, jest zwarty, a następnie F będzie miał skończenie wiele stron.
• Każdy bok wielokąta jest geodezyjna łuk.
• Na każdym boku s wielokąta nie jest dokładnie jedna strona y 'w taki sposób, gs = s ' dla niektórych g w y. Tak więc, ten wielokąt będzie mieć parzystą liczbę stron.
• Zestaw pierwiastków grup g , które łączą ze sobą boki są generatory z y, i ma mniejszy zestaw, który generuje gamma.
• W górnej półpłaszczyźnie kafelki zamknięciem F pod działaniem gamma. To jest, gdzie jest zamknięcie F .${\ Displaystyle H = \ _ {kubek g \ w \ gamma} \, G {\ overline {f}}}$${\ Displaystyle {\ overline {f}}}$

Znormalizowany wielokąt

W tej części, od dowolnego Dirichlet wielokąta, opis będzie podany w sposobie Nevanlinna (1955) , opracowanych w Jost (2002) , dla modyfikowania wielokąt non-wypukłego wielokąta z 4 g równoważnych wierzchołków i kanoniczna parowanie po bokach. Zabieg analityczną odpowiednik klasycznego klasyfikacji topologicznej orientowanego wielościanów 2-wymiarową przedstawione w Seifert i Threlfall (1934) .

Fricke kanoniczny wielokąt

Biorąc pod uwagę Riemann powierzchnię rodzaju g większą niż jeden, Fricke opisano inną podstawową wielokąta, w Fricke kanonicznej wielokąta , który jest szczególnym przykładem Dirichlet wielokąta. Wielokąt jest związane standardowej prezentacji podstawowej grupy powierzchni. Oryginalna konstrukcja Fricke jest skomplikowana i opisane w Fricke & Klein (1897) . Korzystanie z teorii odwzorowań quasiconformal z Ahlfors i włókien , Keen (1965) dał nowy, krótszy i bardziej precyzyjną wersję budowy Fricke. Fricke kanoniczny wielokąt ma następujące właściwości:

• Wierzchołków wielokąta Fricke 4 g wierzchołki, które leżą na orbicie gamma. Przez wierzchołek rozumie się punkt, w którym obie strony spotkać.
• Boki są porównywane w różnych parach, tak że nie ma unikatowy element Tt przenoszenia boku na stronie sparowanej odwrócenie orientacji. Ponieważ działanie y jest orientacja, środki konserwujące, jeżeli z jednej strony jest wywoływana , a drugi z pary może być oznaczony z przeciwnej orientacji .${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle a ^ {- 1}}$
• Krawędzie standardowego wielokąta mogą być umieszczone tak, że na liście sąsiadujących boków ma formę . Oznacza to, że pary boków mogą być ustawione tak, że przeplatają się w ten sposób.${\ Displaystyle A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} A_ {2} B_ {2} A_ {2} ^ {- 1} B_ {2} ^ {- 1} \ cdots A_ {g} B_ {g} A_ {g} ^ {- 1} B_ {g} ^ {- 1}}$
• Boki są geodezyjne łuki.
• Każdy z kątów wewnętrznych wielokąta Fricke jest ściśle mniej niż Õ , tak że wielokąt jest ściśle wypukła, a suma tych kątów wewnętrznych wynosi 2 π .

Powyższa konstrukcja jest wystarczająca, aby zapewnić, że z każdej strony wielokąta jest zamknięta (nie trywialne) pętli Riemanna powierzchniowego H / y. Jako taka, każda strona może zatem elementem podstawowym grupy . W szczególności, podstawowa komórka ma 2 g generatory z dokładnie jednym definiującej ograniczeń, ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (\ mathbb {H} / \ gamma) \ równoważnika \} gamma$${\ Displaystyle \ pi _ {1} (\ mathbb {H} / \ gamma)}$${\ A_ displaystyle {1} B_ {1}, {2} A_, B_ {2} \ cdots A_ {G}, B_ {G}}$

${\ Displaystyle A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} A_ {2} B_ {2} A_ {2} ^ {- 1} B_ {2} ^ {- 1} \ cdots A_ {g} B_ {g} A_ {g} ^ {- 1} B_ {g} ^ {- 1} = 1}$,

Rodzaj na powierzchni Riemann H / Γ jest g .

Powierzchnia

Obszar podstawowego standardowego wielokąta , gdzie g jest rodzaj powierzchni Riemanna (równoważnie, gdzie 4 g oznacza liczbę boków wielokąta). Ponieważ średnia wielokąt jest przedstawicielem H / y, całkowity obszar powierzchni Riemanna jest równa powierzchni standardowego wielokąta. Wzór obszar Z tw Gaussa-Bonneta i jest w pewnym sensie uogólnione przez wzorze Riemanna- Hurwitz . ${\ Displaystyle 4 \ pi (g-1)}$

Formularz jawne dla standardowych wielokątów

Wyrażenia wyraźne mogą być podawane w regularnej Standard 4 g -sided wielokąta z symetrią obrotową. W tym przypadku, to z rodzaju Riemanna powierzchni g krotność symetrii obrotowej, grupa może być podane przez wytwórców . Generatory te są podane w następujących ułamkowe przekształceń liniowych działających na górnej półpłaszczyźnie : ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle 2g}$${\ Displaystyle a_ {k}}$

${\ Displaystyle a_ {k} = \ lewo ({\ {zaczynać matrycy} \ bo k \ i a - \ sin K \ \\\ sin a k \ a i \ k \ cos alfa \ koniec {matrycy}} \ prawo ) \ lewo ({\ rozpocząć {matrycy} e ^ {s} & 0 \\ 0 & e ^ {- p} \ koniec {matrycy}} \ prawej) \ lewo ({\ rozpocząć {matrycy} \ bo k \ a & \ sin K \ a \\ - \ sin k \ a & \ bo k \ a \ koniec {matrycy}} \ prawej)}$

dla . Parametry podane są ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik k <2g}$

${\ Displaystyle \ a = {\ Frac {\ pi} {4g}} \ lewo (2 g, 1 \ prawej)}$

i

${\ Displaystyle \ p = {\ Frac {\ pi} {4g}}}$

i

${\ Displaystyle P = \ ln {\ Frac {\ bo \ p + {\ sqrt {\ cos2 \ p}}} {\ sin \ p}}}$

Może to być dowód, że te generatory przestrzegać ograniczenia

${\ A_ displaystyle {0} a_ {1} \ cdots a_ {2 g-1} a_ {0} ^ {- 1} a_ {1} ^ {- 1} \ cdots a_ {2 g-1} ^ {- 1} = 1}$

co daje całość z prezentacji grupy .

Zobacz też

• Cayley wykres
• Dziedzina Euklidesa
• diagram woronoja

Uwagi

Referencje

• Ahlfors Lars W. (2006), Wykłady z odwzorowań quasiconformal , Uniwersytet serii wykładów, 38 (druga red.), Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN  0-8218-3644-7
• Appell, P .; Goursat E .; Fatou, P. (1930), Théorie des FONCTIONS algébriques d'une zmienny Tome II FONCTIONS automorphes Gauthier-VI] Lars, str. 102-154
• Bambah, RP; Davenport, H. (1952), "Pokrycie n-wymiarowej przestrzeni przez kule", J. London Math. Soc. , 27 : 224-229
• Beardon Alan F. (1983), Geometria dyskretne grupy , Springer-Verlag, ISBN  0-387-90788-2
• Beardon Alan F. (1984), Grunt o powierzchni Riemanna , London Mathematical Society Wykład Uwaga Series, 78 , Cambridge University Press , ISBN  0-521-27104-5
• Bonk, Marius; Schramm Oded (2000), "zanurzeń z Gromowie hiperbolicznych przestrzeni" geom. Funct. Analny. , 10 : 266-306, doi : 10.1007 / s000390050009
• Böröczky Károly, Jr. (2004), Finite pakowanie i przykrycie , Cambridge Tracts z matematyki, 154 , Cambridge University Press , ISBN  0-521-80157-5
• Bourdon, Marc; Pajot Hervé (2002), "geometria Quasiconformal i geometrii hiperbolicznej", w Marc Burger; Alessandra Iozzi, sztywność dynamiki i geometrii , Springer, str. 1-17, ISBN  3-540-43243-4
• Buser Peter (1992), geometria i widma zwartej powierzchni Riemanna Progress matematycznych, 106 , Birkhauser, ISBN  0-8176-3406-1
• Cassels ŚJ (1997), "IX. Opakowania", Wprowadzenie do geometrii liczb , Klasyczne matematycznych, Springer-Verlag, ISBN  3-540-61788-4
• Coxeter HS M (1962): "Klasyfikację Zonohedra za pomocą projekcyjnej wykres", J. Math. Pures Appl. , 41 : 137-156
• Coxeter, HSM ; Moser, woj (1980), generatory i stosunki w dyskretne grupy , 14 (wydanie czwarte. Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete red.), Springer-Verlag, ISBN  3-540-09212-9
• Eggleston, HG (1958), wypukłość , Cambridge Tracts z matematyki i fizyki matematyczne, Cambridge University Press
• Farb, Benson; Margalit, Dan (2012), Grunt na grupach klasowych mapping , Princeton matematyczna Series, 49 , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-14794-9
• Farkas Hershel M .; Kra Irwin (1980), Riemann Powierzchnie , Springer-Verlag, ISBN  0-387-90465-4
• Fenchel Werner ; Nielsen, Jakob (2003), grupy Nieciągłych izometrii płaszczyzny hiperbolicznej w de Gruyter Studies in Mathematics, 29 , Walter de Gruyter, ISBN  3-11-017526-6
• Fricke, Robert; Klein Felix (1897) Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, Band 1: Die gruppentheoretischen Grundlagen ., Teubner, pp 236-237, 295-320
• Grünbaum Branko; Shephard GC (1987), tilings i wzory , WH Freeman ISBN  0-7167-1193-1
• Guggenheimer, H. (1977), "Krzywa twierdzenie Jordana i niepublikowany rękopis Max Dehn" (PDF) , Archiwum Historii Nauk Ścisłych , 17 : 193-200, doi : 10.1007 / BF02464980 , JSTOR  41133486 , MR  0532231
• Hirsch, Morris, W. (1994) Topologia różnicowego , Graduate Teksty matematycznych, 33 , Springer-Verlag, ISBN  0-387-90148-5
• Imayoshi, Y .; Taniguchi, M. (1992) Wprowadzenie do przestrzeni Teichmüller , Springer-Verlag, ISBN  0-387-70088-9
• Iversen Birger (1992), geometria hiperboliczny , London Mathematical Society Student Teksty, 25 , Cambridge University Press , ISBN  0-521-43508-0
• Jost Jurgen (2002), kompaktowe Riemanna powierzchnie (2 wyd.), Springer-Verlag, ISBN  3-540-43299-X
• Kapovich Ilya; Benakli Nadia (2002), "Ścianki grup hiperbolicznych" kombinatoryczna geometryczne i teoria grup , Contemp. Math., 296 , American Mathematical Society , s. 39-93
• Keen, Linda (1965), "kanoniczne wielokąty o skończonej wytworzonych grup Fuchsian", Acta matematycznych. , 115 : 1-16, doi : 10.1007 / bf02392200
• Keen, Linda (1966), "Wewnętrzne moduły na powierzchniach Riemanna", Ann. Math. , 84 : 404-420, doi : 10,2307 / 1970454 , JSTOR  1970454
• Kołmogorowa AN; Yukshkevich, AP, eds. (2001), Matematyka 19 wieku: Logika matematyczna, Algebra Teoria liczb, teorii prawdopodobieństwa , Springer, ISBN  3764364416
• Lehto Olli (1987), funkcje jednowartościowe i przestrzenie Teichmüller , Graduate Teksty matematycznych, 109 , Springer-Verlag, ISBN  0-387-96310-3
• Lyusternik, LA (1966), figury wypukłe i wielościany , tłumaczone przez Donalda L. Barnett, Boston: DC Heath and Co.
• Nevanlinna, Rolf (1953) Uniformisierung Die Grundlehren der Wissenschaften Mathematischen w Einzeldarstellungen MIT besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete (w języku niemieckim), 64 , Springer-Verlag,
• Seifert, Herbert; Threlfall, William (1934), podręcznika z zakresu topologii , Pure and Applied Mathematics, 89 , przetłumaczone przez Michaela A. Goldmana, Academic Press, ISBN  0-12-634850-2
• Shastri, Anant R. (2011), Elementy topologii różniczkowej , CRC Press, ISBN  978-1-4398-3160-1
• Siegel CL (1971), Topics in teorii funkcji, tom. II. Automorficznych funkcje i abelowe całki , przekład A. Shenitzer; Tretkoff M., Wiley-Interscience
• Rura piętrząca John (1992), geometrii powierzchni , Universitext, Springer-Verlag, ISBN  0-387-97743-0
• Zong, Chuanming (2014): "Opakowanie obejmujące i płytki w przestrzeni dwuwymiarowej" Expositiones Mathematicae , 32 : 297-364, doi : 10,1016 / j.exmath.2013.12.002