Twierdzenie o uniformizacji - Uniformization theorem

W matematyce twierdzenie o uniformizacji mówi, że każda po prostu połączona powierzchnia Riemanna jest konformalnie równoważna jednej z trzech powierzchni Riemanna: otwartemu dyskowi jednostkowemu , płaszczyźnie zespolonej lub sferze Riemanna . W szczególności oznacza to, że każda powierzchnia Riemanna przyjmuje metrykę Riemanna o stałej krzywiźnie . W przypadku kompaktowych powierzchni Riemanna, te z uniwersalnym pokryciem dysku jednostkowego są dokładnie hiperbolicznymi powierzchniami rodzaju większego niż 1, wszystkie z nieabelową grupą podstawową; te z uniwersalnym pokryciem płaszczyzny zespolonej to powierzchnie Riemanna z rodzaju 1, a mianowicie złożone tori lub krzywe eliptyczne z podstawową grupą Z ² ; a te z uniwersalnym pokryciem sfery Riemanna należą do rodzaju zero, a mianowicie sama sfera Riemanna, z trywialną grupą podstawową.

Twierdzenie o uniformizacji jest uogólnieniem twierdzenia Riemanna o odwzorowaniu z właściwych prosto połączonych otwartych podzbiorów płaszczyzny do dowolnych prosto połączonych powierzchni Riemanna. Twierdzenie o uniformizacji ma również równoważne stwierdzenie w kategoriach zamkniętych rozmaitości riemannowskich: każda taka rozmaitość ma konformalnie równoważną metrykę riemannowską o stałej krzywiźnie.

Wiele klasycznych dowodów twierdzenia o uniformizacji polega na skonstruowaniu funkcji harmonicznej o wartościach rzeczywistych na po prostu połączonej powierzchni Riemanna, prawdopodobnie z osobliwością w jednym lub dwóch punktach i często odpowiadającej formie funkcji Greena . Szeroko stosowane są cztery metody konstruowania funkcji harmonicznej: metoda Perrona ; sposób przemienny Schwarz ; zasada Dirichleta ; oraz metoda rzutowania ortogonalnego Weyla . W kontekście zamkniętych rozmaitości riemannowskich kilka współczesnych dowodów odwołuje się do nieliniowych równań różniczkowych na przestrzeni konformalnie równoważnych metryk. Należą do nich równanie Beltramiego z teorii Teichmüllera i równoważne sformułowanie w kategoriach odwzorowań harmonicznych ; równanie Liouville'a , badane już przez Poincarégo; i przepływ Ricciego wraz z innymi przepływami nieliniowymi.

Historia

Felix Klein  ( 1883 ) i Henri Poincaré  ( 1882 ) wymyślili twierdzenie o uniformizacji dla (powierzchni Riemanna) krzywych algebraicznych. Henri Poincaré ( 1883 ) rozszerzył to na arbitralne, wielowartościowe funkcje analityczne i podał nieformalne argumenty na jego korzyść. Pierwsze rygorystyczne dowody ogólnego twierdzenia o uniformizacji przedstawili Poincaré  ( 1907 ) i Paul Koebe  ( 1907a , 1907b , 1907c ). Paul Koebe podał później kilka innych dowodów i uogólnień. Historię opisuje Gray (1994) ; pełny opis ujednolicenia do 1907 r. prac Koebe i Poincaré zawiera szczegółowe dowody w de Saint-Gervais (2016) ( pseudonim typu Bourbaki grupy piętnastu matematyków, którzy wspólnie stworzyli tę publikację).

Klasyfikacja połączonych powierzchni Riemanna

Każda powierzchnia Riemanna jest ilorazem swobodnego, właściwego i holomorficznego działania dyskretnej grupy na jej uniwersalne pokrycie i to uniwersalne pokrycie jest holomorficznie izomorficzne (mówi się też: „konformalnie równoważne” lub „biholomorficzne”) z jednym z poniższych:

1. sfera Riemanna
2. złożony samolot
3. dysk jednostkowy w płaszczyźnie zespolonej.

Twierdzenie Rado pokazuje, że każda powierzchnia Riemanna jest automatycznie przeliczana na sekundy . Chociaż twierdzenie Rado jest często używane w dowodach twierdzenia o uniformizacji, niektóre dowody zostały sformułowane tak, że twierdzenie Rado staje się konsekwencją. Druga zliczalność jest automatyczna dla kompaktowych powierzchni Riemanna.

Klasyfikacja zamkniętych zorientowanych dwurozmaitości riemannowskich

Na zorientowanej dwurozmaitościowej metryka riemannowska indukuje złożoną strukturę, wykorzystując przejście do współrzędnych izotermicznych . Jeśli metryka riemannowska jest podana lokalnie jako

${\ Displaystyle ds ^ {2} = E \ dx ^ {2} +2 F \ dx \ dy + G \ dy ^ {2},}$

wtedy w zespolonej współrzędnej z = x + i y , przyjmuje postać

${\ Displaystyle ds ^ {2} = \ lambda | dz + \ mu \ d {\ overline {z}} | ^ {2}}$

gdzie

${\ Displaystyle \ Lambda = {1 \ ponad 4} \ lewo (E + G + 2 {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \ prawej), \, \, \, \ mu = (E-G +2iF)/4\lambda ,}$

tak, że λ i μ są gładkie przy λ > 0 i | μ | < 1. We współrzędnych izotermicznych ( u , v ) metryka powinna mieć postać

${\ Displaystyle ds ^ {2} = \ rho (du ^ {2} + dv ^ {2})}$

przy ρ > 0 gładkie. Złożona współrzędna w = u + i v spełnia

${\ Displaystyle \ rho \, | dw | ^ {2} = \ rho | w_ {z} | ^ {2} \ lewo | dz + {w_ {\ overline {z}} \ nad w_ {z}} \ d {\overline {z}}\right|^{2},}$

aby współrzędne ( u , v ) były lokalnie izotermiczne pod warunkiem, że równanie Beltramiego

${\ Displaystyle {\ częściowe w \ nad \ częściowe {\ nadkreślenie {z}}} = \ mu {\ częściowe w \ nad \ częściowe z}}$

ma rozwiązanie lokalnie dyfeomorficzne, tj. rozwiązanie z nieznikającym jakobianem.

Warunki te mogą być sformułowane równoważnie w terminach pochodnej zewnętrznej i operatora gwiazdy Hodge'a ∗ . u i v będą współrzędnymi izotermicznymi, jeśli ∗ du = dv , gdzie ∗ jest zdefiniowane na różniczkach przez ∗( p dx + q dy ) = − q dx + p dy . Niech ∆ = ∗ d ∗ d będzie operatorem Laplace'a-Beltrami'ego . Zgodnie ze standardową teorią eliptyczną u może być wybrane jako harmoniczne w pobliżu danego punktu, tj. Δ u = 0 , przy czym du nie znika. Przez Poincaré lematu dv = * du ma rozwiązanie lokalnego v dokładnie kiedy d (* du ) = 0 . Stan ten odpowiada hemibursztynianu U = 0 , więc zawsze można rozwiązać na miejscu. Ponieważ du jest niezerowe, a kwadrat operatora gwiazdy Hodge'a wynosi -1 w postaci 1, du i dv muszą być liniowo niezależne, tak aby u i v dawały lokalne współrzędne izotermiczne.

Istnienie współrzędnych izotermicznych można udowodnić innymi metodami, np. za pomocą ogólnej teorii równania Beltramiego , jak w Ahlfors (2006) lub bezpośrednimi metodami elementarnymi, jak w Chern (1955) i Jost (2006) .

Z tej korespondencji ze zwartymi powierzchniami Riemanna wynika klasyfikacja zamkniętych orientowalnych dwurozmaitości Riemanna. Każdy taki jest wiernie równoważne unikalny zamknięty 2-kolektora stałej krzywiźnie , tak iloraz jednego z następujących przez swobodnego działania z dyskretnych podgrupy wystąpienia grupy izometrii :

1. kuli (krzywizna + 1)
2. euklidesowa płaszczyzny (krzywizna 0)
3. płaszczyzny hiperboliczny (krzywizna 1).

• 

  rodzaj 0

• 

  rodzaj 1

• 

  rodzaj 2

• 

  rodzaj 3

Pierwszy przypadek daje 2-sferę, unikalną 2-rozmaitość o stałej dodatniej krzywiźnie, a zatem dodatniej charakterystyce Eulera (równej 2). Drugi daje wszystkie płaskie rozmaitości, tj. tori , które mają charakterystykę Eulera 0. Trzeci przypadek obejmuje wszystkie 2 rozmaitości o stałej ujemnej krzywiźnie, tj. hiperboliczne 2 rozmaitości, z których wszystkie mają ujemną charakterystykę Eulera. Klasyfikacja jest zgodna z twierdzeniem Gaussa-Bonneta , z którego wynika, że ​​dla powierzchni zamkniętej o stałej krzywiźnie znak tej krzywizny musi odpowiadać znakowi charakterystyki Eulera. Charakterystyka Eulera wynosi 2 – 2 g , gdzie g to rodzaj dwurozmaitości, czyli liczba „dziur”.

Metody dowodowe

Metody przestrzeni Hilberta

W 1913 Hermann Weyl opublikował swój klasyczny podręcznik "Die Idee der Riemannschen Fläche" oparty na jego wykładach z Getyngi z lat 1911-1912. Była to pierwsza książka, która przedstawiała teorię powierzchni Riemanna w nowoczesnym otoczeniu i dzięki trzem wydaniom pozostała wpływowa. Dedykowane Felixowi Kleinowi , pierwsze wydanie zawierało podejście Hilberta do problemu Dirichleta przy użyciu technik przestrzeni Hilberta ; Wkład Brouwera w topologię; oraz dowód Koebe na twierdzenie o uniformizacji i jego późniejsze ulepszenia. Znacznie później Weyl (1940) rozwinął swoją metodę rzutowania ortogonalnego, która dała uproszczone podejście do problemu Dirichleta, również oparte na przestrzeni Hilberta; teoria ta, zawierająca lemat Weyla o regularności eliptycznej , była powiązana z teorią całek harmonicznych Hodge'a ; i obie teorie zostały włączone do nowoczesnej teorii operatorów eliptycznych i przestrzeni L ² Sobolewa . W trzecim wydaniu swojej książki z 1955 roku, przetłumaczonej na język angielski przez Weyl (1964) , Weyl przyjął współczesną definicję rozmaitości różniczkowej zamiast triangulacji , ale postanowił nie korzystać ze swojej metody rzutowania ortogonalnego. Springer (1957) podążył za opisem twierdzenia o uniformizacji Weyla, ale zastosował metodę rzutowania ortogonalnego w leczeniu problemu Dirichleta. Podejście to zostanie opisane poniżej. Kodaira (2007) opisuje podejście w książce Weyla, a także jak je skrócić za pomocą metody rzutowania ortogonalnego. Powiązane konto można znaleźć w Donaldson (2011) .

Przepływy nieliniowe

Wprowadzając przepływ Ricciego , Richard S. Hamilton wykazał, że przepływ Ricciego na zamkniętej powierzchni ujednolica metrykę (tj. przepływ zbiega się do metryki stałej krzywizny). Jednak jego dowód opierał się na twierdzeniu o uniformizacji. Brakujący krok obejmował przepływ Ricciego na 2-sferze: metodę unikania odwołania do twierdzenia o uniformizacji (dla rodzaju 0) przedstawili Chen, Lu i Tian (2006) ; krótki, niezależny opis przepływu Ricciego w 2-sferze został podany w Andrews i Bryan (2010) .

Uogólnienia

Koebe udowodnił ogólne twierdzenie o uniformizacji, że jeśli powierzchnia Riemanna jest homeomorficzna z otwartym podzbiorem sfery złożonej (lub równoważnie, jeśli oddziela ją każda krzywa Jordana), to jest ona konformalnie równoważna otwartemu podzbiorowi sfery złożonej.

W 3 wymiarach istnieje 8 geometrii, zwanych ośmioma geometriami Thurston . Nie każda trójdzielność dopuszcza geometrię, ale hipoteza geometryzacyjna Thurstona, udowodniona przez Grigori Perelmana, stwierdza, że ​​każdy trójdzielny może być pocięty na kawałki, które można zgeometryzować.

Uniformizacji jednoczesne Twierdzenie o Lipman włókien pokazuje, że możliwe jest jednoczesne ujednoliceniu dwie zwarte Riemanna powierzchni> 1 tego samego rodzaju o tej samej grupy quasi Fuchsian .

W mierzalne Riemanna mapowanie twierdzenie przedstawia ogólnie, że mapa do otwartego podzbioru złożonej kuli w tw uniformizacji może być wybrany na mapie quasiconformal z danym ograniczonym mierzalnego współczynnika Beltrami.

Zobacz też

• twierdzenie o uniformizacji p- adic .

Uwagi

Bibliografia

odniesienia historyczne

• Schwarz, HA (1870), „Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren” , Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft w Zurychu , 15 : 272-286, JFM  02.0214.02.
• Klein, Felix (1883), "Neue Beiträge zur Riemanna Functionentheorie" , Mathematische Annalen , 21 (2): 141-218, doi : 10.1007/BF01442920 , ISSN  0025-5831 , JFM  15.0351.01 , S2CID  120465625
• Koebe, P. (1907a), „Über die Uniformisierung reeller analytischer Kurven” , Göttinger Nachrichten : 177-190, JFM  38.0453.01
• Koebe, P. (1907b), "Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven" , Göttinger Nachrichten : 191-210, JFM  38.0454.01
• Koebe, P. (1907c), „Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven (Zweite Mitteilung)” , Göttinger Nachrichten : 633-669, JFM  38.0455.02
• Koebe, Paul (1910a), "Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 138 : 192-253, doi : 10.1515/crll.1910.138.192 , S2CID  120198686
• Koebe, Paul (1910b), „Über die Hilbertsche Uniformlsierungsmethode” (PDF) , Göttinger Nachrichten : 61-65
• Poincaré, H. (1882), "Mémoire sur les fonctions fuchsiennes", Acta Mathematica , 1 : 193-294, doi : 10.1007/BF02592135 , ISSN  0001-5962 , JFM  15.0342.01
• Poincaré, Henri (1883), „Sur un théorème de la théorie générale des fonctions” , Bulletin de la Société Mathématique de France , 11 : 112-125, doi : 10.24033/bsmf.261 , ISSN  0037-9484 , JFM  15.0348.01
• Poincaré, Henri (1907), "Sur l'uniformisation des fonctions analytiques", Acta Mathematica , 31 : 1-63, doi : 10.1007/BF02415442 , ISSN  0001-5962 , JFM  38.0452.02
• Hilbert, David (1909), "Zur Theorie der konformen Abbildung" (PDF) , Göttinger Nachrichten : 314-323
• Perron, O. (1923), "Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für u = 0", Mathematische Zeitschrift , 18 (1): 42-54, doi : 10.1007/BF01192395 , ISSN  0025-5874 , S2CID  122843531
• Weyl, Hermann (1913), Die Idee der Riemannschen Fläche (1997 przedruk niemieckiego oryginału 1913) , Teubner, ISBN 978-3-8154-2096-6
• Weyl, Hermann (1940), „Metoda rzutów ortogonalnych w teorii potencjału”, Duke Math. J. , 7 : 411–444, doi : 10.1215/s0012-7094-40-00725-6

Ankiety historyczne

• Abikoff, William (1981), „Twierdzenie o uniformizacji”, Amer. Matematyka. Miesięcznie , 88 (8): 574–592, doi : 10.2307/2320507 , JSTOR  2320507
• Gray, Jeremy (1994), „O historii twierdzenia Riemanna o mapowaniu” (PDF) , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Seria II. Suplement (34): 47-94, MR  1295591
• Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013), Ukryta harmonia – fantazje geometryczne: powstanie teorii funkcji złożonych , Źródła i badania w historii matematyki i nauk fizycznych, Springer, ISBN 978-1461457251
• de Saint-Gervais, Henri Paul (2016), Uniformization of Riemanna Surfaces: rewizyt stuletniego twierdzenia , przekład Roberta G. Burnsa, European Mathematical Society, doi : 10.4171/145 , ISBN 978-3-03719-145-3, przekład tekstu francuskiego (przygotowany w 2007 r. w stulecie 1907 r. prac Koebe i Poincaré)

Funkcje harmoniczne

Metoda Perrona

• Heins, M. (1949), „Mapowanie konforemne prosto połączonych powierzchni Riemanna”, Ann. Matematyki. , 50 (3): 686–690, doi : 10.2307/1969555 , JSTOR  1969555
• Heins, M. (1951), „Wewnętrzne mapowanie orientowalnej powierzchni do S ² ”, Proc. Amer. Matematyka. Soc. , 2 (6): 951–952, doi : 10.1090/s0002-9939-1951-0045221-4
• Heins, M. (1957), „Mapowanie konforemne prosto połączonych powierzchni Riemanna. II”, Nagoya Math. J. , 12 : 139–143, doi : 10.1017/s002776300002198x
• Pfluger, Albert (1957), Theorie der Riemannschen Flächen , Springer
• Ahlfors, Lars V. (2010), Niezmienniki konformalne: tematy teorii funkcji geometrycznych , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-5270-5
• Beardon, AF (1984), „Podkład na powierzchniach Riemanna” , London Mathematical Society Lecture Note Series , Cambridge University Press, 78 , ISBN 978-0521271042
• Forster, Otto (1991), Wykłady na powierzchniach Riemanna , Graduate Texts in Mathematics, 81 , przekład Bruce Gilligan, Springer, ISBN 978-0-387-90617-1
• Farkas, Herszel M.; Kra Irwin (1980), powierzchnie Riemanna (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90465-8
• Gamelin, Theodore W. (2001), analiza zespolona , teksty licencjackie z matematyki, Springer, ISBN 978-0-387-95069-3
• Hubbard, John H. (2006), teoria Teichmüllera i zastosowania w geometrii, topologii i dynamice. Cz. 1. Teoria Teichmüllera , edycje macierzy, ISBN 978-0971576629
• Schlag, Wilhelm (2014), Kurs analizy zespolonej i powierzchni Riemanna. , studia magisterskie z matematyki, 154 , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0-8218-9847-5

Alternatywna metoda Schwarza

• Nevanlinna, Rolf (1953), Uniformisierung , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, 64 , Springer
• Behnkego, Heinricha; Sommer, Friedrich (1965), Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 77 (3rd ed.), Springer
• Freitag, Eberhard (2011), Analiza zespolona. 2. Powierzchnie Riemanna, kilka zmiennych zespolonych, funkcje abelowe, wyższe funkcje modularne , Springer, ISBN 978-3-642-20553-8

Zasada Dirichleta

• Weyl, Hermann (1964), Pojęcie powierzchni Riemanna , przekład Gerald R. MacLane, Addison-Wesley, MR  0069903
• Courant, Richard (1977), zasada Dirichleta, mapowanie konforemne i powierzchnie minimalne , Springer, ISBN 978-0-387-90246-3
• Siegel, CL (1988), Tematy w teorii funkcji zespolonych. Cz. I. Funkcje eliptyczne i teoria uniformizacji , przekład A. Shenitzer; D. Solitar, Wiley, ISBN 978-0471608448

Metoda rzutowania ortogonalnego Weyla

• Springer, George (1957), Wprowadzenie do powierzchni Riemanna , Addison-Wesley, MR  0092855
• Kodaira, Kunihiko (2007), Analiza zespolona , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 107 , Cambridge University Press, ISBN 9780521809375
• Donaldson, Simon (2011), powierzchnie Riemanna , Oxford Graduate Texts in Mathematics, 22 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-960674-0

Operatorzy Sario

• Sario, Leo (1952), „Metoda operatora liniowego na dowolnych powierzchniach Riemanna”, Trans. Amer. Matematyka. Soc. , 72 (2): 281–295, doi : 10.1090/s0002-9947-1952-0046442-2
• Ahlfors, Lars V.; Sario, Leo (1960), powierzchnie Riemanna , Princeton Mathematical Series, 26 , Princeton University Press

Nieliniowe równania różniczkowe

Równanie Beltramiego

• Ahlfors, Lars V. (2006), Wykłady na temat odwzorowań quasikonformalnych , University Lecture Series, 38 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3644-6
• Ahlfors, Lars V.; Bers, Lipman (1960), „Twierdzenie o mapowaniu Riemanna dla zmiennych metryk”, Ann. Matematyki. , 72 (2): 385–404, doi : 10.2307/1970141 , JSTOR  1970141
• Bers, Lipman (1960), "Jednoczesna uniformizacja", Bull. Amer. Matematyka. Soc. , 66 (2): 94–97, doi : 10.1090/s0002-9904-1960-10413-2
• Bers, Lipman (1961), "Uniformizacja równaniami Beltramiego", Comm. Czysta aplikacja Matematyka. , 14 (3): 215–228, doi : 10.1002/cpa.3160140304
• Bers, Lipman (1972), „Uniformizacja, moduły i grupy Kleinian”, The Bulletin of the London Mathematical Society , 4 (3): 257-300, doi : 10.1112/blms/4.3.257 , ISSN  0024-6093 , MR  0348097

Mapy harmoniczne

• Jost, Jürgen (2006), Compact powierzchnie Riemanna: wprowadzenie do matematyki współczesnej (3rd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-33065-3

Równanie Liouville'a

• Berger, Melvyn S. (1971), „Riemannowskie struktury przepisanej krzywizny Gaussa dla kompaktowych 2 rozgałęźników”, Journal of Differential Geometry , 5 (3-4): 325-332, doi : 10.4310/jdg/1214429996
• Berger, Melvyn S. (1977), Nieliniowość i analiza funkcjonalna , Academic Press, ISBN 978-0-12-090350-4
• Taylor, Michael E. (2011), Równania różniczkowe cząstkowe III. Równania nieliniowe , Applied Mathematical Sciences, 117 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-1-4419-7048-0

Przepływy na metrykach riemannowskich

• Hamilton, Richard S. (1988), "Przepływ Ricciego na powierzchniach", Matematyka i ogólna teoria względności (Santa Cruz, CA, 1986) , Contemp. Matematyka, 71 , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, s. 237–262
• Chow, Bennett (1991), „Przepływ Ricciego na 2-sferze”, J. Differential Geom. , 33 (2): 325–334, doi : 10.4310/jdg/1214446319
• Osgood, B.; Phillips, R.; Sarnak, P. (1988), "Ekstrema wyznaczników Laplace'ów", J. Funct. Analny. , 80 : 148–211, CiteSeerX  10.1.1.486.558 , doi : 10.1016/0022-1236(88)90070-5
• Chrusciel, P. (1991), "Półglobalna egzystencja i zbieżność rozwiązań równania Robinsona-Trautmana (2-wymiarowy Calabi)", Communications in Mathematical Physics , 137 (2): 289-313, Bibcode : 1991CMaPh.137 ..289C , CiteSeerX  10.1.1.459.9029 , doi : 10.1007/bf02431882 , S2CID  53641998
• Chang, Shu-Cheng (2000), „Globalne istnienie i zbieżność roztworów przepływu Calabiego na powierzchniach rodzaju h  ≥ 2”, J. Math. Kioto Uniw. , 40 (2): 363–377, doi : 10.1215/kjm/1250517718
• Brendle, Simon (2010), Przepływ Ricciego i twierdzenie o sferze , Graduate Studies in Mathematics, 111 , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4938-5
• Chen, Xiuxiong; Lu, Peng; Tian, ​​Gang (2006), „Notatka o ujednoliceniu powierzchni Riemanna przez przepływ Ricciego”, Proceedings of the American Mathematical Society , 134 (11): 3391-3393, doi : 10.1090/S0002-9939-06-08360-2 , ISSN  0002-9939 , MR  2231924
• Andrewsa, Bena; Bryan, Paul (2010), „Granice krzywizny przez porównanie izoperymetryczne dla znormalizowanego przepływu Ricciego na dwóch kulach”, Calc. War. Równania różniczkowe cząstkowe , 39 (3–4): 419–428, arXiv : 0908.3606 , doi : 10.1007/s00526-010-0315-5 , S2CID  1095459
• Mazzeo, Rafe; Taylor, Michael (2002), "Krzywizna i uniformizacja", Israel Journal of Mathematics , 130 : 323-346, arXiv : math/0105016 , doi : 10.1007/bf02764082 , S2CID  7192529
• Struwe, Michael (2002), „Krzywizna płynie na powierzchniach”, Ann. Sc. Norma. Wspaniały. Piza Kl. Nauka. , 1 : 247–274

Ogólne odniesienia General

• Chern, Shiing-shen (1955), „Elementarny dowód na istnienie parametrów izotermicznych na powierzchni”, Proc. Amer. Matematyka. Soc. , 6 (5): 771–782, doi : 10.2307/2032933 , JSTOR  2032933
• DeTurck, Dennis M.; Kazdan Jerry L. (1981), "Niektórzy twierdzenia regularność geometrii Riemanna" , Annales de l'Scientifiques Ecole Normale Supérieure , Seria 4, 14 (3): 249-260, doi : 10,24033 / asens.1405 , ISSN  0012- 9593 , MR  0644518.
• Gusevskii, NA (2001) [1994], "Uniformizacja" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• Kruszkal, SL; Apanasow, BN; Gusevskiĭ, NA (1986) [1981], Grupy Kleinian i uniformizacja w przykładach i problemach , Translations of Mathematical Monographs, 62 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4516-5, MR  0647770
• Taylor, Michael E. (1996a), Równania różniczkowe cząstkowe I. Teoria podstawowa , Springer, s. 376-378, ISBN 978-0-387-94654-2
• Taylor, Michael E. (1996b), Równania różniczkowe cząstkowe II: Badania jakościowe równań liniowych , Springer, ISBN 978-0-387-94651-1
• Bers, Lipman; Jana, Fritza; Schechter, Martin (1979), Równania różniczkowe cząstkowe (przedruk oryginału z 1964 r.) , Wykłady z matematyki stosowanej, 3A , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0-8218-0049-2
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Zasady geometrii algebraicznej , Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9
• Warner, Frank W. (1983), Podstawy rozmaitości różniczkowalnych i grup Liego , Graduate Texts in Mathematics, 94 , Springer, ISBN 978-0-387-90894-6

Linki zewnętrzne

• Transformacja konformalna: od koła do kwadratu .