Podstawowa domena - Fundamental domain
Mając daną przestrzeń topologiczną i działającą na nią grupę , obrazy pojedynczego punktu pod akcją grupową tworzą orbitę akcji. Podstawowym domeny lub regionu podstawowym jest podzbiorem przestrzeni, która zawiera dokładnie jeden punkt z każdej z tych orbit. Służy jako geometryczna realizacja dla abstrakcyjnego zbioru przedstawicieli orbit.
Istnieje wiele sposobów na wybór podstawowej domeny. Zazwyczaj wymagana jest domena podstawowa, aby była połączonym podzbiorem z pewnymi ograniczeniami na jej granicach, na przykład gładka lub wielościenna. Następnie obrazy wybranej podstawowej domeny w ramach akcji grupowej układają się w przestrzeń. Jedna ogólna konstrukcja domen podstawowych wykorzystuje komórki Voronoi .
Wskazówki dotyczące ogólnej definicji
Biorąc pod uwagę działania z grupy G na przestrzeni topologicznej X przez homeomorfizmów , podstawowym domeny dla tego działania jest zbiór D przedstawicieli do orbit. Zazwyczaj wymaga się, aby był to dość ładny zestaw topologicznie, na jeden z kilku precyzyjnie określonych sposobów. Jednym z typowych warunków jest to, że D jest prawie zbiorem otwartym, w tym sensie, że D jest symetryczną różnicą zbioru otwartego w X ze zbiorem miary zero , dla pewnej miary (quasi)niezmiennej na X . Domena fundamentalna zawsze zawiera swobodny zbiór regularny U , zbiór otwarty przemieszczany przez G w rozłączne kopie i prawie tak dobry jak D w reprezentowaniu orbit. Często wymaga się, aby D był kompletnym zestawem reprezentantów coset z pewnymi powtórzeniami, ale powtarzana część ma miarę zero. Jest to typowa sytuacja w teorii ergodycznej . Jeśli podstawową domena jest używana do obliczenia całkę na X / G , zbiory miary zero nie mają znaczenia.
Na przykład, gdy X jest przestrzenią euklidesową R n wymiaru n , a G jest siecią Z n działającą na nią poprzez translacje, iloraz X / G jest n- wymiarowym torusem . Za podstawową dziedzinę D można przyjąć, że jest to [0,1) n , które różni się od zbioru otwartego (0,1) n zbiorem miary zero, lub domknięty sześcian jednostkowy [0,1] n , którego granica składa się z punktów, których orbita ma więcej niż jednego przedstawiciela w D .
Przykłady
Przykłady w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej R 3 .
- dla n- krotnego obrotu: orbita jest albo zbiorem n punktów wokół osi, albo pojedynczym punktem na osi; podstawową domeną jest sektor
- dla odbicia na płaszczyźnie: orbita jest albo zbiorem 2 punktów, po jednym z każdej strony płaszczyzny, albo pojedynczym punktem na płaszczyźnie; podstawową domeną jest półprzestrzeń ograniczona tą płaszczyzną
- dla odbicia w punkcie: orbita jest zbiorem 2 punktów, po jednym z każdej strony środka, z wyjątkiem jednej orbity składającej się tylko ze środka; domena podstawowa to półprzestrzeń ograniczona dowolną płaszczyzną przechodzącą przez środek
- dla obrotu o 180° wokół linii: orbita jest albo zbiorem 2 punktów naprzeciw siebie względem osi, albo pojedynczym punktem na osi; domeną podstawową jest półprzestrzeń ograniczona dowolną płaszczyzną przechodzącą przez linię
- dla dyskretnej symetrii translacyjnej w jednym kierunku: orbity są translacją sieci jednowymiarowej w kierunku wektora translacji; podstawową domeną jest nieskończona płyta
- dla dyskretnej symetrii translacyjnej w dwóch kierunkach: orbity są przemieszczeniami sieci 2D w płaszczyźnie przez wektory translacji; podstawową dziedziną jest nieskończony pręt o przekroju równoległobocznym
- dla dyskretnej symetrii translacyjnej w trzech kierunkach: orbity są translacjami sieci; podstawową domeną jest komórka pierwotna, którą jest np. równoległościan lub komórka Wignera-Seitza , zwana również komórką /diagramem Voronoi .
W przypadku symetrii translacyjnej połączonej z innymi symetriami, domena podstawowa jest częścią komórki pierwotnej. Na przykład w przypadku grup tapet domena podstawowa jest o współczynnik 1, 2, 3, 4, 6, 8 lub 12 mniejsza niż komórka pierwotna.
Podstawowa domena dla grupy modularnej
Diagram po prawej pokazuje część konstrukcji podstawowej dziedziny działania grupy modułowej Γ na górnej półpłaszczyźnie H .
Ten słynny diagram pojawia się we wszystkich klasycznych książkach o funkcjach modułowych . (To był prawdopodobnie dobrze znane CF Gauss , który zajmował się podstawowych domen w przebraniu do redukcji teorii z form kwadratowych ). Tutaj każdy region trójkątny (ograniczony przez niebieskie linie) jest wolny regularny zestaw z działaniem y na H . Granice (niebieskie linie) nie są częścią darmowych regularnych zestawów. Aby skonstruować podstawową dziedzinę H /Γ, należy również zastanowić się, jak przypisać punkty na granicy, uważając, aby nie liczyć takich punktów podwójnie. Tak więc darmowy regularny zbiór w tym przykładzie to
Podstawowa domena jest budowana przez dodanie granicy po lewej stronie plus połowa łuku na dole, w tym punkt pośrodku:
Wybór punktów granicznych, które należy uwzględnić jako część podstawowej domeny, jest arbitralny i różni się w zależności od autora.
Podstawowa trudność w zdefiniowaniu dziedziny fundamentalnej polega nie tyle na definicji zbioru per se , ile raczej na tym, jak traktować całki po domenie fundamentalnej podczas całkowania funkcji z biegunami i zerami na granicy tej dziedziny.
Zobacz też
- Bezpłatny zwykły zestaw
- Wielokąt podstawowy
- Strefa Brillouina
- Podstawowa para okresów
- Produkt wewnętrzny Peterssona
- Sąsiedztwo guzka