Sfera homologiczna - Homology sphere

W algebraicznej topologii , A homologii kula jest N - kolektor X mający grupy homologii z o n - sferycznych , dla pewnej liczby całkowitej . To znaczy, $n\geq 1$

{\ Displaystyle H_ {0} (X \ mathbb {Z} ) = H_ {n} (X \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z}}

oraz

{\ Displaystyle H_ {i} (X \ mathbb {Z}) = \ {0 \}}

dla wszystkich innych ja .

Dlatego X jest spójną przestrzenią , z jedną niezerową wyższą liczbą Bettiego , mianowicie . Nie wynika z tego, że X jest po prostu spójny , tylko że jego podstawowa grupa jest doskonała (patrz twierdzenie Hurewicza ). $b_{n}=1$

Racjonalne homologii kula jest definiowana podobnie, ale stosując homologię o współczynnikach wymiernych.

Sfera homologii Poincare

Sfera homologii Poincarégo (znana również jako przestrzeń dodekaedralna Poincarégo) jest szczególnym przykładem sfery homologii, skonstruowanej po raz pierwszy przez Henri Poincarégo . Będąc sferyczną 3-rozmaitością , jest jedyną 3-sferą homologii (oprócz samej 3-sfery ) ze skończoną grupą podstawową . Jej podstawowa grupa jest znana jako binarna grupa dwudziestościenna i ma rząd 120. Ponieważ podstawowa grupa 3 sfery jest trywialna, pokazuje to, że istnieją 3 rozmaitości z takimi samymi grupami homologii jak 3 sfery, które nie są homeomorficzne dla to.

Budowa

Prosta konstrukcja tej przestrzeni zaczyna się od dwunastościanu . Każda ściana dwunastościanu jest identyfikowana z przeciwległą ścianą, przy użyciu minimalnego skrętu w prawo, aby wyrównać ściany. Sklejenie razem każdej pary przeciwległych ścian przy użyciu tej identyfikacji daje w wyniku zamknięty trójdzielnik. (Patrz przestrzeń Seiferta-Webera dla podobnej konstrukcji, używając więcej „skrętu”, co powoduje hiperboliczny 3-rozmaitość ).

Alternatywnie, sferę homologii Poincarégo można skonstruować jako przestrzeń ilorazową SO(3) /I, gdzie I jest grupą dwudziestościan (tj. obrotową grupę symetrii dwudziestościanu foremnego i dwunastościanu, izomorficzną z grupą przemienną ). Bardziej intuicyjnie oznacza to, że sfera homologii Poincarégo jest przestrzenią wszystkich geometrycznie rozróżnialnych pozycji dwudziestościanu (o ustalonym środku i średnicy) w przestrzeni euklidesowej. Można również przejść do uniwersalnej osłony SO(3), która może być zrealizowana jako grupa kwaternionów jednostkowych i jest homeomorficzna do 3-sfery. W tym przypadku homologii sfera Poincaré jest izomorficzna gdzie jest binarny dwudziestościan grupa , idealne podwójna pokrywa z I osadzony w . ${\ Displaystyle A_ {5}}$ ${\ Displaystyle S ^ {3} / {\ Widetilde {I}}}$ ${\ Displaystyle {\ Widetilde {I}}}$ ${\ Displaystyle S ^ {3}}$

Innym podejściem jest chirurgia Dehna . Sfera homologii Poincaré wynika z operacji +1 na prawym węźle koniczyny .

Kosmologia

W 2003 r. brak struktury w największych skalach (powyżej 60 stopni) w kosmicznym mikrofalowym tle obserwowany przez jeden rok przez sondę WMAP doprowadził do sugestii Jean-Pierre'a Lumineta z Observatoire de Paris i współpracowników, że kształt wszechświata jest sferą Poincaré. W 2008 roku astronomowie znaleźli najlepszą orientację na niebie dla modelu i potwierdzili niektóre przewidywania modelu, wykorzystując trzyletnie obserwacje sondy WMAP. Począwszy od 2016 r., publikacja analizy danych ze statku kosmicznego Planck sugeruje, że we wszechświecie nie ma obserwowalnej nietrywialnej topologii.

Konstrukcje i przykłady

Operacja węzła w 3-sferze S ³ z obramowaniem +1 lub -1 daje sferę homologii.
Mówiąc bardziej ogólnie, chirurgia łącza daje sferę homologii zawsze, gdy macierz podana przez numery przecięcia (poza przekątną) i obramowania (na przekątnej) ma wyznacznik +1 lub -1.
Jeśli p , q i r są parami względnie pierwszymi dodatnimi liczbami całkowitymi, wtedy połączenie osobliwości x ^p + y ^q + z ^r = 0 (innymi słowy, przecięcie małej 5-sfery wokół 0 z tą złożoną powierzchnią) jest kolektora Brieskorn to homologii 3 sfery, zwany Brieskorn 3-kula Ď ( p , q , r ). Jest homeomorficzny ze standardową 3-sferą, jeśli jedno z p , q i r wynosi 1, a Σ(2, 3, 5) jest sferą Poincarégo.
Połączona suma dwóch zorientowanych homologii 3-kul jest homologii 3-sfera. Sfera 3 homologii, której nie można zapisać jako suma dwóch sfer 3 homologii nazywana jest nieredukowalną lub pierwszą , a każda sfera 3 homologii może być zapisana jako połączona suma sfer pierwszych 3 homologii w zasadniczo unikalny sposób. (Patrz Rozkład pierwotny (3-rozmaitościowy) .)
Załóżmy, że wszystkie są liczbami całkowitymi co najmniej 2 takimi, że dowolne dwie są względnie pierwsze. Następnie przestrzeń z włóknami Seiferta $a_{1},\ldots,a_{r}$

{\ Displaystyle \ {b, (o_ {1}, 0); (a_ {1}, b_ {1}), \ kropki, (a_ {r}, b_ {r}) \} \,}

nad sferą z wyjątkowymi włóknami stopni a ₁ , ..., a _r jest sferą homologii, w której b' s są wybrane tak, że

{\ Displaystyle b + b_ {1} / a_ {1} + \ cdots + b_ {r} / a_ {r} = 1 / (a_ {1} \ cdots a_ {r}).}

(Zawsze istnieje sposób, aby wybrać b s, a sfera homologii nie zależy (aż do izomorfizmu) od wyboru b s.) Jeśli r wynosi co najwyżej 2, to jest to po prostu zwykła 3-sfera; w przeciwnym razie są one odrębnymi nietrywialnymi sferami homologii. Jeśli a ′s wynoszą 2, 3 i 5, daje to sferę Poincarégo. Jeśli istnieją co najmniej 3 a ′s, a nie 2, 3, 5, to jest to acykliczna homologia 3-sfera z nieskończoną grupą podstawową, która ma geometrię Thurstona zamodelowaną na uniwersalnej pokrywie SL ₂ ( R ) .

Niezmienniki

Rokhlin niezmienna jest -valued niezmienna homologii 3-kul. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}}$
Cassona niezmienna jest liczbą całkowitą o wartości niezmienna homologii 3-kulki, których mod redukcja 2 jest niezmienna Rokhlin.

Aplikacje

Jeśli jest homologia 3-kula nie homeomorficzny standardowej 3-kuli, to zawieszenie z A jest przykładem 4-wymiarowej kolektora homologii nie jest topologiczna kolektora . Podwójna zawiesina A jest homeomorficzna ze standardową 5-sferą, ale jej triangulacja (indukowana przez pewną triangulację A ) nie jest rozmaitością PL . Innymi słowy, daje to przykład skończonego kompleksu symplicjalnego, który jest rozmaitością topologiczną, ale nie rozmaitością PL. (Nie jest to rozmaitość PL, ponieważ połączenie punktu nie zawsze jest 4-sferą).

Galewski i Stern wykazali, że wszystkie zwarte rozmaitości topologiczne (bez brzegów) o wymiarze co najmniej 5 są homeomorficzne do kompleksów symplicjalnych wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje sfera homologii 3 Σ z niezmiennikiem 1 Rokhlina, tak że suma Σ#Σ Σ ze sobą ogranicza gładką acykliczną 4-rozmaitość. Od 2013 roku istnienie takiej 3-sfery homologii było nierozwiązanym problemem. 11 marca 2013 r. Ciprian Manolescu opublikował preprint na ArXiv, twierdząc, że nie ma takiej sfery homologii z daną właściwością, a zatem istnieje 5 rozmaitości, które nie są homeomorficzne do simplicjalnych kompleksów. W szczególności przykład pierwotnie podany przez Galewskiego i Sterna (zob. Galewski i Stern, A universal 5-manifold w odniesieniu do simplicial triangulations, w Geometric Topology (Proceedings Georgia Topology Conference, Athens Georgia, 1977, Academic Press, New York, s. 345). –350)) nie jest trójkątny.

Zobacz też

Bibliografia

Wybrana lektura

Dror, Emmanuel (1973). „Sfery homologii” . Izrael Dziennik Matematyki . 15 : 115–129. doi : 10.1007/BF02764597 . MR 0328926 .
David Galewski, Ronald Stern Klasyfikacja triangulacji simplicjalnych rozmaitości topologicznych , Annals of Mathematics 111 (1980), nr. 1, s. 1-34.
Robion Kirby , Martin Scharlemann, Osiem twarzy 3-sfery homologii Poincaré . Topologia geometryczna (Proc. Georgia Topology Conf., Ateny, Ga., 1977), s. 113–146, Academic Press , New York-London, 1979.
Kervaire, Michel (1969). „Gładkie sfery homologii i ich podstawowe grupy”. Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 144 : 67-72. JSTOR 1995269 . MR 0253347 .
Nikolai Saveliev, Niezmienniki homologii 3-kulki , Encyklopedia Nauk Matematycznych, tom 140. Topologia niskowymiarowa , I. Springer-Verlag, Berlin, 2002. MR 1941324 ISBN 3-540-43796-7

Linki zewnętrzne

Triangulacja 16-wierzchołkowa homologii Poincaré z trzema sferami i sferami nie-PL z kilkoma wierzchołkami autorstwa Andersa Björnera i Franka H. Lutza
Wykład Davida Gillmana na temat Najlepszy obraz sfery homologii Poincarego

Languages

In other projects