Idealna grupa - Perfect group

W matematyce , a dokładniej w teorii grup , grupa jest uważana za doskonałą, jeśli równa się jej własnej podgrupie komutatorowej lub równoważnie, jeśli grupa nie ma nietrywialnych ilorazów abelowych (odpowiednik jej abelianizacji , która jest uniwersalnym ilorazem abelowym, jest trywialne). W symbolach idealna grupa to taka, że G ⁽¹⁾ = G (podgrupa komutatora równa się grupie) lub równoważnie taka, że G ^ab = {1} (jej abelianizacja jest trywialna).

Przykłady

Najmniejszą (nietrywialną) grupą idealną jest grupa naprzemienna A ₅ . Mówiąc bardziej ogólnie, każda prosta grupa nieabelowa jest idealna, ponieważ podgrupa komutatora jest podgrupą normalną z ilorazem abelowym. I odwrotnie, idealna grupa nie musi być prosta; na przykład specjalna grupa liniowa nad polem z 5 elementami SL(2,5) (lub binarna grupa dwudziestościenna , która jest do niej izomorficzna ) jest idealna, ale nie prosta (ma nietrywialne centrum zawierające ). ${\ Displaystyle \ lewo ({\ zacznij {mała matryca} -1 i 0 \ \ 0 i 1 \ koniec {mała matryca}} \ po prawej) = \ po lewej ({\ zacznij {mała matryca} 4 i 0 \ \ 0 i 4 \ koniec {mała matryca}} \ w prawo )}$

Bezpośredni produkt dowolnych dwóch grup prostych jest doskonała, ale nie jest proste; komutatorem dwóch elementów jest [( a , b ),( c , d )] = ([ a , c ],[ b , d ]). Ponieważ komutatory w każdej prostej grupie tworzą zespół generujący, pary komutatorów tworzą zespół generujący iloczynu bezpośredniego.

Mówiąc bardziej ogólnie, grupa quasi- prosta (doskonałe centralne rozszerzenie prostej grupy), która jest nietrywialnym rozszerzeniem (a zatem sama nie jest prostą grupą) jest doskonała, ale nie prosta; obejmuje to wszystkie nierozpuszczalne nieproste skończone specjalne grupy liniowe SL( n , q ) jako rozszerzenia rzutowej specjalnej grupy liniowej PSL( n , q ) (SL(2,5) jest rozszerzeniem PSL(2,5), który jest izomorficzny z A ₅ ). Podobnie, specjalna grupa liniowa nad liczbami rzeczywistymi i zespolonymi jest doskonała, ale ogólna grupa liniowa GL nigdy nie jest doskonała (z wyjątkiem trywialnej lub ponad , gdzie równa się specjalnej grupie liniowej), ponieważ wyznacznik daje nietrywialną abelianizację i w rzeczywistości podgrupą komutatora jest SL. ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$

Jednak nietrywialna grupa doskonała nie jest z konieczności rozwiązywalna ; a 4 dzieli swój porządek (jeśli jest skończony), ponadto, jeśli 8 nie dzieli porządku, to 3 tak.

Każda grupa acykliczna jest doskonała, ale nie jest odwrotnie: A ₅ jest doskonała, ale nie acykliczna (w rzeczywistości nawet nie superdoskonała ), patrz ( Berrick & Hillman 2003 ). W rzeczywistości, dla grupy naprzemiennej jest doskonały, ale nie super doskonały, z for . ${\displaystyle n\geq 5}$${\ Displaystyle A_ {n}}$${\ Displaystyle H_ {2} (A_ {n}, \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z} /2}$${\displaystyle n\geq 8}$

Każdy iloraz idealnej grupy jest doskonały. Nietrywialna skończona grupa doskonała, która nie jest prosta, musi być zatem rozszerzeniem przynajmniej jednej mniejszej, prostej grupy nieabelowej. Ale może być rozszerzeniem więcej niż jednej prostej grupy. W rzeczywistości, bezpośredni produkt doskonałych grup jest również doskonały.

Każda doskonała grupa G wyznacza inną doskonałą grupę E (jej uniwersalne rozszerzenie centralne ) wraz z odrzuceniem f : E → G, którego jądro znajduje się w centrum E, tak że f jest uniwersalne z tą własnością. Jądro f jest nazywane mnożnikiem Schura przez G, ponieważ zostało po raz pierwszy zbadane przez Issai Schura w 1904 roku; jest izomorficzny z grupą homologiczną . ${\ Displaystyle H_ {2}(G)}$

W konstrukcji wraz z algebraicznej K-teorii , jeśli wziąć pod uwagę grupę dla pierścienia przemiennego , wówczas podgrupy elementarnych matryce tworzy doskonałe podgrupy. ${\ Displaystyle \ operatorname {GL} (A) = {\ tekst {colim}} \ operatorname {GL} _ {n} (A)}$ ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle E (R)}$

Przypuszczenie Rudy

Ponieważ podgrupa komutatora jest generowana przez komutatory, doskonała grupa może zawierać elementy, które są produktami komutatorów, ale same nie są komutatorami. Ore Øystein udowodnił w 1951, że grupy przemienne na pięciu lub więcej pierwiastkach zawierały tylko komutatory i przypuszczał, że tak jest w przypadku wszystkich skończonych nieabelowych grup prostych. Przypuszczenie Ore'a zostało ostatecznie udowodnione w 2008 roku. Dowód opiera się na twierdzeniu klasyfikacyjnym .

lemat Grüna

Podstawowym faktem o grupach doskonałych jest lemat Grüna z ( Grün 1935 , Satz 4, s. 3): iloraz grupy doskonałej według jej środka jest bezśrodkowy (ma środek trywialny).

Dowód: Jeśli G jest doskonałym zbiorowego, Z ₁ i Z ₂ oznaczają dwie pierwsze warunki w górnej środkowej szeregowo z G (to znaczy, Z ₁ jest środkiem G i Z ₂ / Z ₁ jest środkiem G / Z ₁ ). Jeśli H i K są podgrupami G , oznaczają komutatora z H i K według [ H , K ] i zauważ, że [ Z ₁ , G ] = 1 i [ Z ₂ , G ] ⊆ Z ₁ , a w związku z tym (konwencja, która [ X , Y , Z ] = [[ X , Y ], Z ]:

${\ Displaystyle [Z_ {2}, G, G] = [[ Z_ {2}, G], G] \ podseteq [Z_ {1}, G] = 1}$

${\displaystyle [G,Z_{2},G]=[[G,Z_{2}],G]=[[Z_{2},G]G]\subseteq [Z_{1},G]= 1.}$

Z lematu trzech podgrup (lub równoważnie przez tożsamość Halla-Witta ) wynika, że ​​[ G , Z ₂ ] = [[ G , G ], Z ₂ ] = [ G , G , Z ₂ ] = {1} . Zatem Z ₂ ⊆ Z ₁ = Z ( G ), a środek grupy ilorazowej G / Z ( G ) jest grupą trywialną .

W konsekwencji wszystkie wyższe centra (to znaczy wyższe człony w wyższym centralnym szeregu ) doskonałej grupy są równe centrum.

Homologia grupowa

Pod względem homologii grupowej , idealna grupa to dokładnie taka, której pierwsza grupa homologii zanika: H ₁ ( G , Z ) = 0, ponieważ pierwsza grupa homologii grupy jest dokładnie abelianizacją grupy, a doskonała oznacza trywialną abelianizację. Zaletą tej definicji jest to, że przyznaje wzmocnienie:

• Grupa superdoskonała to taka, której pierwsze dwie grupy homologii zanikają: .${\ Displaystyle H_ {1} (G \ mathbb {Z} ) = H_ {2} (G \ mathbb {Z} ) = 0}$
• Grupa acykliczna to taka, której wszystkie (zredukowane) grupy homologii zanikają (jest to równoważne wszystkim grupom homologii innym niż zanikanie).${\ Displaystyle {\ tylda {H}} _ {i} (G; \ mathbb {Z}) = 0.}$${\displaystyle H_{0}}$

Grupa quasi-idealna

Szczególnie w dziedzinie algebraicznej K-teorii mówi się , że grupa jest quasi-doskonała, jeśli jej podgrupa komutatora jest doskonała; w symbolach grupa quasi-doskonała to taka, że G ⁽¹⁾ = G ⁽²⁾ (komutatorem podgrupy komutatora jest podgrupa komutatora), podczas gdy grupa doskonała to taka, że G ⁽¹⁾ = G ( podgrupa komutatora to cała grupa). Zob. ( Karoubi 1973 , s. 301-411) oraz ( Inassaridze 1995 , s. 76).

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. „Doskonała grupa” . MatematykaŚwiat .
• Weisstein, Eric W. "Lemat Grüna" . MatematykaŚwiat .