Homeomorfizm - Homeomorphism
W matematycznej dziedzinie topologii , w homeomorfizmu , topologicznej izomorfizmie lub funkcji biciągła jest funkcją ciągłą między przestrzenie topologiczne , które ma ciągłą funkcję odwrotną . Homeomorfizmy to izomorfizmy w kategorii przestrzeni topologicznych — czyli odwzorowania, które zachowują wszystkie właściwości topologiczne danej przestrzeni. Dwie przestrzenie z homeomorfizmem pomiędzy nimi nazywane są homeomorficznymi i z topologicznego punktu widzenia są takie same. Słowo homeomorfizm pochodzi od greckich słów ὅμοιος ( homoios ) = podobny lub taki sam oraz μορφή ( morphē ) = kształt, forma, wprowadzonych do matematyki przez Henri Poincarégo w 1895 roku.
Mówiąc z grubsza, przestrzeń topologiczna to obiekt geometryczny , a homeomorfizm to ciągłe rozciąganie i zginanie obiektu do nowego kształtu. Tak więc kwadrat i koło są homeomorficzne względem siebie, ale kula i torus nie. Jednak ten opis może być mylący. Niektóre deformacje ciągłe nie są homeomorfizmami, jak na przykład deformacja prostej w punkt. Niektóre homeomorfizmy nie są deformacjami ciągłymi, tak jak homeomorfizm między węzłem koniczyny a kołem.
Często powtarzanym matematycznym żartem jest to, że topolodzy nie potrafią odróżnić filiżanki od kawy od pączka, ponieważ wystarczająco giętki pączek można przekształcić w filiżankę kawy, tworząc wgłębienie i stopniowo go powiększając, zachowując jednocześnie otwór w pączku w uchwycie kubka.
Definicja
Funkcji dwóch przestrzeni topologicznych jest homeomorfizm jeśli ma następujące właściwości:
- jest bijekcją ( jeden do jednego i na ),
- jest ciągły ,
- odwrotną funkcję w sposób ciągły ( to przekształcenie otwarte ).
Homeomorfizm jest czasami nazywany funkcją dwuciągłą . Jeśli taka funkcja istnieje i są homeomorficzne . Self-homeomorfizm jest homeomorfizm z przestrzeni topologicznej na siebie. „Bycie homeomorficznym” to relacja równoważności na przestrzeniach topologicznych. Jego klasy równoważności nazywane są klasami homeomorfizmu .
Przykłady
- Przedział otwarty jest homeomorficzny z liczbami rzeczywistymi dla dowolnego . (W tym przypadku dwuciągłe mapowanie do przodu jest podawane przez, podczas gdy inne takie mapowania są podawane przez przeskalowane i przetłumaczone wersje funkcji tan lub arg tanh ).
- Jednostka 2- dysk i kwadrat jednostki w R 2 są homeomorficzne; ponieważ dysk jednostki może zostać zdeformowany w kwadrat jednostki. Przykładem dwuciągłego odwzorowania z kwadratu na dysk jest we współrzędnych biegunowych , .
- Wykres z różniczkowej funkcją jest homeomorficzny do kategorii funkcji.
- Różniczkowalną komunikującym się z krzywej jest homeomorfizm pomiędzy domeną parametryzacji i krzywej.
- Wykres z kolektora jest homeomorfizm pomiędzy otwartym podzbioru kolektora i otwartym podzbiór przestrzeni euklidesowej .
- Stereograficzny występ jest homeomorfizm pomiędzy sferą jednostkowy R 3 z jednego punktu usunięto i zbiór wszystkich punktów, w R 2, (2-wymiarowe płaszczyźnie ).
- Jeśli jest grupą topologiczną , jej mapa inwersji jest homeomorfizmem. Również dla każdego , lewe tłumaczenie , prawe tłumaczenie i wewnętrzny automorfizm są homeomorfizmami.
Nieprzykłady
- R m i R n nie są homeomorficzne dla m ≠ n .
- Rzeczywista prosta euklidesowa nie jest homeomorficzna z jednostkowym okręgiem jako podprzestrzeń R 2 , ponieważ jednostkowe okrąg jest zwarte jako podprzestrzeń euklidesowa R 2 , ale rzeczywista prosta nie jest zwarta.
- Interwały jednowymiarowe i nie są homeomorficzne, ponieważ nie można było dokonać ciągłej bijekcji.
Uwagi
Trzeci wymóg, który jest ciągły, jest niezbędny. Rozważmy na przykład funkcję ( okrąg jednostkowy w ) zdefiniowaną przez . Ta funkcja jest bijektywna i ciągła, ale nie jest homeomorfizmem ( jest zwarta, ale nie jest). Funkcja nie jest ciągła w punkcie , ponieważ chociaż mapuje do , każde sąsiedztwo tego punktu zawiera również punkty, do których funkcja mapuje blisko, ale punkty, które mapuje na liczby pomiędzy, leżą poza sąsiedztwem.
Homeomorfizmy to izomorfizmy w kategorii przestrzeni topologicznych . Jako taka, kompozycja dwóch homeomorfizmów jest ponownie homeomorfizm i zestaw do samoobsługi homeomorfizmów tworzy grupę o nazwie, grupa homeomorfizm z X , często oznaczone . Grupie tej można nadać topologię, np. topologię zwarto-otwartą , co przy pewnych założeniach czyni ją grupą topologiczną .
Dla niektórych celów grupa homeomorfizmu jest zbyt duża, ale za pomocą relacji izotopowej można zredukować tę grupę do grupy klas odwzorowania .
Podobnie, jak zwykle w teorii kategorii, przy danych dwóch przestrzeniach, które są homeomorficzne, przestrzeń homeomorfizmów między nimi jest torsorem dla grup homeomorficznych i , a przy danym homeomorfizmie między i , wszystkie trzy zbiory są identyfikowane.
Nieruchomości
- Dwie przestrzenie homeomorficzne mają te same własności topologiczne . Na przykład, jeśli jeden z nich jest kompaktowy , to drugi również jest; jeśli jeden z nich jest połączony , to drugi również; jeśli jeden z nich to Hausdorff , to drugi również; ich grupy homotopii i homologii będą się pokrywać. Zauważ jednak, że nie obejmuje to właściwości zdefiniowanych za pomocą metryki ; istnieją przestrzenie metryczne, które są homeomorficzne, mimo że jedna z nich jest kompletna, a druga nie.
- Homeomorfizm jest jednocześnie odwzorowaniem otwartym i odwzorowaniem zamkniętym ; to znaczy odwzorowuje zbiory otwarte na zbiory otwarte i zbiory zamknięte na zbiory zamknięte.
- Każdy autohomeomorfizm w może być rozszerzony na autohomeomorfizm całego dysku ( sztuczka Aleksandra ).
Nieformalna dyskusja
Intuicyjne kryterium rozciągania, gięcia, cięcia i ponownego sklejania wymaga pewnej dozy praktyki, aby zastosować je poprawnie — z powyższego opisu może nie wynikać, że na przykład deformacja odcinka linii do punktu jest niedopuszczalna. Dlatego ważne jest, aby zdać sobie sprawę, że liczy się formalna definicja podana powyżej. W tym przypadku np. odcinek posiada nieskończenie wiele punktów i dlatego nie może być wprowadzony w bijekcję ze zbiorem zawierającym tylko skończoną liczbę punktów, w tym jeden punkt.
Ta charakterystyka homeomorfizmu często prowadzi do pomylenia z pojęciem homotopii , które w rzeczywistości definiuje się jako ciągłą deformację, ale z jednej funkcji do drugiej, a nie z jednej przestrzeni do drugiej. W przypadku homeomorfizmu wyobrażenie sobie ciągłej deformacji jest mentalnym narzędziem do śledzenia, które punkty w przestrzeni X odpowiadają którym punktom na Y — podąża się za nimi, gdy X się deformuje. W przypadku homotopii ciągła deformacja z jednej mapy do drugiej jest istotna, a także mniej restrykcyjna, ponieważ żadna z map nie musi być jeden do jednego ani na. Homotopia prowadzi do relacji na przestrzeniach: równoważność homotopii .
Istnieje nazwa dla rodzaju deformacji zaangażowanej w wizualizację homeomorfizmu. Jest to (z wyjątkiem sytuacji, gdy wymagane jest cięcie i ponowne sklejanie) izotopą między mapą tożsamości na X a homeomorfizmem od X do Y .
Zobacz też
- Lokalny homeomorfizm – Ciągła otwarta mapa, która wokół każdego punktu w swojej domenie ma sąsiedztwo, na którym ogranicza się do homomorfizmu
- dyfeomorfizm – izomorfizm rozmaitości gładkich; gładka bijection z gładką odwrotnością
- Izomorfizm jednostajny – jednostajnie ciągły homeomorfizm to izomorfizm między jednorodnymi przestrzeniami
- Izomorfizm izometryczny to izomorfizm między przestrzeniami metrycznymi
- Grupa homeomorfizmu
- Skręt Dehna
- Homeomorfizm (teoria grafów) – Pojęcie w teorii grafów (ściśle związane z podziałem grafów)
- Homotopy#Isotopy – Ciągła deformacja pomiędzy dwiema funkcjami ciągłymi
- Grupa klas mapowania – Grupa klas izotopów grupy automorfizmu topologicznego
- Hipoteza Poincarégo – twierdzenie o topologii geometrycznej wysnute przez Henri Poincarégo i udowodnione przez Grigori Perelmana
- Uniwersalny homeomorfizm
Bibliografia
Zewnętrzne linki
- „Homeomorfizm” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]