Model Hubbarda - Hubbard model

Model Hubbarda jest przybliżonym modelem stosowanym, zwłaszcza w fizyce ciała stałego , do opisu przejścia między układami przewodzącymi i izolującymi . Model Hubbarda, nazwany na cześć Johna Hubbarda , jest prostym modelem oddziałujących cząstek w sieci, z tylko dwoma terminami w hamiltonianie (patrz przykład poniżej): terminem kinetycznym pozwalającym na tunelowanie („przeskakiwanie”) cząstek pomiędzy miejscami sieć i potencjalny termin składający się z interakcji na miejscu. Cząstki mogą być albo fermionami , jak w oryginalnej pracy Hubbarda, lub bozonami , w którym to przypadku model jest określany jako „ model Bose-Hubbard ”.

Model Hubbarda jest użytecznym przybliżeniem dla cząstek o potencjale okresowym w wystarczająco niskich temperaturach, gdzie można założyć, że wszystkie cząstki znajdują się w najniższym paśmie Blocha , a oddziaływania między cząstkami o dużym zasięgu można pominąć. Jeśli uwzględnione są interakcje między cząstkami w różnych miejscach sieci, model jest często określany jako „rozszerzony model Hubbarda”. W szczególności termin Hubbarda, najczęściej oznaczany przez U , jest stosowany w symulacjach opartych na pierwszych zasadach przy użyciu teorii funkcji gęstości , DFT. Włączenie terminu Hubbarda do symulacji DFT jest ważne, ponieważ poprawia przewidywanie lokalizacji elektronów, a tym samym zapobiega nieprawidłowemu przewidywaniu przewodnictwa metalicznego w układach izolacyjnych. Model został pierwotnie zaproponowany w 1963 roku do opisu elektronów w ciałach stałych. Od tego czasu jest stosowany do badania nadprzewodnictwa wysokotemperaturowego , magnetyzmu kwantowego i fal gęstości ładunku. Model Hubbarda wprowadza krótkozasięgowe oddziaływania między elektronami do modelu ciasnego wiązania , który obejmuje tylko energię kinetyczną (termin „przeskakiwania”) i oddziaływania z atomami sieci (potencjał „atomowy”). Gdy interakcja między elektronami jest silna, zachowanie modelu Hubbarda może różnić się jakościowo od modelu ciasnego wiązania. Na przykład model Hubbarda poprawnie przewiduje istnienie izolatorów Motta : materiałów, które izolują z powodu silnego odpychania między elektronami, nawet jeśli spełniają zwykłe kryteria dla przewodników, takie jak nieparzysta liczba elektronów na komórkę elementarną.

Teoria wąskiego pasma energii

Model Hubbarda oparty jest na ciasno wiążącym przybliżeniu z fizyki ciała stałego, która opisuje cząstki poruszające się w potencjale okresowym, czasami określanym jako sieć. W przypadku prawdziwych materiałów każde miejsce tej sieci może odpowiadać rdzeniowi jonowemu, a cząstki byłyby elektronami walencyjnymi tych jonów. W przybliżeniu ciasno wiążącym hamiltonian jest zapisany w postaci stanów Wanniera , które są stanami zlokalizowanymi wyśrodkowanymi w każdym miejscu sieci. Stany Wanniera w sąsiednich miejscach sieci są sprzężone, co pozwala cząstkom z jednego miejsca „przeskakiwać” do drugiego. Matematycznie siła tego sprzężenia jest dana przez „całkę przeskokową” lub „całkę transferową” między pobliskimi miejscami. Mówi się, że system znajduje się w granicy ścisłego wiązania, gdy siła całek przeskokowych gwałtownie spada wraz z odległością. To sprzężenie umożliwia hybrydyzację stanów związanych z każdym miejscem sieci, a stany własne takiego układu krystalicznego są funkcjami Blocha , przy czym poziomy energii są podzielone na oddzielne pasma energii . Szerokość pasm zależy od wartości całki przeskoku.

Model Hubbarda wprowadza interakcję kontaktową między cząstkami o przeciwnym spinie w każdym miejscu sieci. Gdy do opisu układów elektronowych stosuje się model Hubbarda, oczekuje się, że interakcje te będą odpychające, wynikające z ekranowanej interakcji kulombowskiej . Często jednak brano pod uwagę również atrakcyjne interakcje. Fizyka modelu Hubbarda jest zdeterminowana przez rywalizację między siłą całki przeskokowej, która charakteryzuje energię kinetyczną układu , a siłą członu interakcji. Model Hubbarda może zatem wyjaśnić przejście od metalu do izolatora w pewnych wzajemnie oddziałujących systemach. Na przykład, jest on używany do opisu tlenków metali podczas ich podgrzewania, gdzie odpowiedni wzrost odległości między najbliższymi sąsiadami zmniejsza całkę przeskoku do punktu, w którym dominuje potencjał na miejscu. Podobnie, model Hubbard może wyjaśnić przejście od przewodu do izolatora w systemach takich jak ziem rzadkich pyrochlores jak liczbie atomowej z metalu wzrasta ziem rzadkich, ponieważ parametr sieci krystalicznej zwiększa (lub kąt między atomami może zmieniać - patrz Kryształ struktura ) wraz ze wzrostem liczby atomowej pierwiastka ziem rzadkich, zmieniając w ten sposób względne znaczenie całki przeskoku w porównaniu z odpychaniem na miejscu.

Przykład: łańcuch 1D atomów wodoru

Atom wodoru ma tylko jeden elektron, w tak zwanym s orbitalnej, który może być albo wirowania w górę ( ) lub obraca w dół ( ). Orbital ten może być zajęty przez co najwyżej dwa elektrony, jeden ze spinem w górę, a drugi w dół (patrz zasada wykluczania Pauliego ). ${\ Displaystyle \ uparrow}$ $\downarrow$

Rozważmy teraz jednowymiarowy łańcuch atomów wodoru. Zgodnie z teorią pasmową spodziewalibyśmy się, że orbital 1s utworzy ciągłe pasmo, które byłoby dokładnie w połowie pełne. Przewiduje się zatem, że łańcuch jednowymiarowy atomów wodoru będzie przewodnikiem w konwencjonalnej teorii pasmowej.

Ale teraz rozważmy przypadek, w którym odstępy między atomami wodoru są stopniowo zwiększane. W pewnym momencie spodziewamy się, że łańcuch musi stać się izolatorem.

Z drugiej strony, wyrażony w kategoriach modelu Hubbarda, hamiltonian składa się teraz z dwóch członów. Pierwszy termin opisuje energię kinetyczną układu, sparametryzowaną przez całkę przeskokową, . Drugi termin to oddziaływanie siły w miejscu, które reprezentuje odpychanie elektronów. Zapisany w drugiej notacji kwantyzacji , hamiltonian Hubbarda przyjmuje postać $t$ ${\ Displaystyle U}$

{\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = - t \ suma _ {i \ sigma} \ lewo ({\ kapelusz {c}} _ {i \ sigma} ^ {\ sztylet} {\ kapelusz {c} }_{i+1,\sigma }+{\hat {c}}_{i+1,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i,\sigma }\right)+ U\sum _{i}{\kapelusz {n}}_{i\uparrow }{\kapelusz {n}}_{i\downarrow },}

gdzie jest operatorem gęstości spinu dla spinu w -tym miejscu. Operator gęstości całkowitej to i zajęcie -tego miejsca funkcji falowej to . Zazwyczaj przyjmuje się, że t jest dodatnie, a U może być ogólnie dodatnie lub ujemne, ale zakłada się, że jest dodatnie, gdy rozważamy systemy elektroniczne, takie jak tutaj. ${\ Displaystyle {\ kapelusz {n}} _ {i \ sigma} = {\ kapelusz {c}} _ {i \ sigma} ^ {\ sztylet} {\ kapelusz {c}} _ {i \ sigma}}$ $\sigma$ $i$ ${\ Displaystyle {\ kapelusz {n}} _ {i} = {\ kapelusz {n}} _ {i \ uparrow} + {\ kapelusz {n}} _ {i \ downarrow}}$ $i$ ${\ Displaystyle \ Phi}$ ${\ Displaystyle n_ {i} = \ langle \ Phi \ vert {\ kapelusz {n}} _ {i} \ vert \ Phi \ rangle}$

Jeśli weźmiemy pod uwagę hamiltonian bez udziału drugiego członu, pozostajemy po prostu z formułą ciasnego wiązania z regularnej teorii pasmowej.

Kiedy jednak uwzględnimy drugi składnik, otrzymujemy bardziej realistyczny model, który również przewiduje przejście od przewodnika do izolatora, ponieważ stosunek interakcji do przeskoków jest zróżnicowany. Ten stosunek można modyfikować, na przykład, zwiększając odstępy międzyatomowe, co zmniejszyłoby wielkość bez wpływu na . W granicy, gdzie łańcuch po prostu rozkłada się na zestaw izolowanych momentów magnetycznych . Jeśli nie jest zbyt duża, całka nakładania zapewnia oddziaływania nadwymienne między sąsiednimi momentami magnetycznymi, co może prowadzić do różnych interesujących korelacji magnetycznych, takich jak ferromagnetyczne, antyferromagnetyczne itp., w zależności od parametrów modelu. Jednowymiarowy model Hubbarda został rozwiązany przez Lieba i Wu za pomocą ansatz Bethe . W latach 90. dokonano istotnego postępu: odkryto ukrytą symetrię i oceniono macierz rozpraszania , funkcje korelacji , termodynamikę i splątanie kwantowe . ${\ Displaystyle U/t}$ $t$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle U/t \ gg 1}$ ${\ Displaystyle U/t}$

Bardziej złożone systemy

Chociaż model Hubbarda jest przydatny w opisywaniu układów, takich jak jednowymiarowy łańcuch atomów wodoru, należy zauważyć, że w bardziej złożonych układach mogą wystąpić inne efekty, których model Hubbarda nie uwzględnia. Ogólnie rzecz biorąc, izolatory można podzielić na izolatory typu Mott-Hubbard (patrz izolator Motta ) i izolatory z przenoszeniem ładunku .

Rozważ następujący opis izolatora Mott-Hubbard:

{\ Displaystyle (\ operatorname {Ni} ^ {2+} \ operatorname {O} ^ {2-}) _ {2} \ longrightarrow \ operatorname {Ni} ^ {3+} \ operatorname {O} ^ {2- }+\mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{2-}.}

Można to postrzegać jako analogiczne do modelu Hubbarda dla łańcuchów wodorowych, w którym przewodzenie między komórkami elementarnymi można opisać całką przeniesienia.

Możliwe jest jednak, że elektrony wykażą inny rodzaj zachowania:

{\ Displaystyle \ operatorname {Ni} ^ {2+} \ operatorname {O} ^ {2-} \ longrightarrow \ operatorname {Ni} ^ {1+} \ operatorname {O} ^ {1-}.}

Jest to znane jako przenoszenie ładunku i skutkuje powstaniem izolatorów przenoszących ładunek . Zauważ, że jest to zupełnie inne niż model izolatora Mott-Hubbard, ponieważ nie ma transferu elektronów między komórkami elementarnymi, tylko w obrębie komórki elementarnej.

Oba te efekty mogą występować i konkurować w złożonych układach jonowych.

Obróbka numeryczna

Fakt, że model Hubbarda nie został rozwiązany analitycznie w dowolnych wymiarach, doprowadził do intensywnych badań metod numerycznych dla tych silnie skorelowanych układów elektronowych. Jednym z głównych celów tych badań jest wyznaczenie niskotemperaturowego diagramu fazowego tego modelu, szczególnie w dwóch wymiarach. Przybliżona obróbka numeryczna modelu Hubbarda na układach skończonych jest możliwa za pomocą wielu metod.

Jedna z takich metod, algorytm Lanczosa , może wytworzyć statyczne i dynamiczne właściwości układu. Obliczenia stanów podstawowych tą metodą wymagają przechowywania trzech wektorów wielkości liczby stanów. Liczba stanów rośnie wykładniczo wraz z rozmiarem systemu, co ogranicza liczbę lokalizacji w sieci do około 20 na aktualnie dostępnym sprzęcie. W przypadku rzutnika i pola pomocniczego o skończonej temperaturze Monte Carlo istnieją dwie metody statystyczne, które również pozwalają uzyskać pewne właściwości układu. W przypadku niskich temperatur pojawiają się problemy zbieżności, które prowadzą do wykładniczego wzrostu wysiłku obliczeniowego wraz ze spadkiem temperatury ze względu na tzw. problem znaku fermionowego .

Model Hubbarda można również badać w ramach dynamicznej teorii średniego pola (DMFT). Schemat ten odwzorowuje hamiltonian Hubbarda na model zanieczyszczenia jednomiejscowego , mapowanie, które jest formalnie dokładne tylko w nieskończonych wymiarach i w skończonych wymiarach, odpowiada dokładnemu traktowaniu wszystkich czysto lokalnych korelacji. DMFT pozwala obliczyć lokalną funkcję Greena modelu Hubbarda dla danej i danej temperatury. W ramach DMFT można obliczyć ewolucję funkcji spektralnej i obserwować pojawianie się górnych i dolnych pasm Hubbarda w miarę wzrostu korelacji. ${\ Displaystyle U}$

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Hubbard, J. (1963). „Korelacje elektronowe w wąskich pasmach energetycznych”. Postępowanie Royal Society of London . 276 (1365): 238-257. Kod Bib : 1963RSPSA.276..238H . doi : 10.1098/rspa.1963.0204 . JSTOR 2414761 . S2CID 35439962 .
Bacha, V.; Lieb, EH; Solovej, JP (1994). „Uogólniona teoria Hartree-Focka i model Hubbarda”. Czasopismo Fizyki Statystycznej . 76 (1–2): 3. arXiv : cond-mat/9312044 . Kod Bibcode : 1994JSP....76....3B . doi : 10.1007/BF02188656 . S2CID 207143 .
Lieb, EH (1995). „Model Hubbarda: pewne rygorystyczne wyniki i otwarte problemy”. Xi wewn. Kong. Posłan., wewn. Naciśnij (?) . 1995 : przew.-mata/9311033. arXiv : cond-mat/9311033 . Kod Bibcode : 1993cond.mat.11033L .
Gebhard, F. (1997). „Przejście metal-izolator”. Przejście Mott Metal – Izolator: Modele i Metody . Springer Tracts we współczesnej fizyce. 137 . Springer . s. 1–48. Numer ISBN 9783540614814.
Lieb, EH; Wu, rok finansowy (2003). „Jednowymiarowy model Hubbarda: wspomnienie”. Fizyka A . 321 (1): 1-27. arXiv : cond-mat/0207529 . Kod Bibcode : 2003PhyA..321..1L . doi : 10.1016/S0378-4371(02)01785-5 . S2CID 44758937 .

Languages

In other projects