Kręgi Malfattiego - Malfatti circles

Kręgi Malfatti

W geometrii , na Malfatti koła trzy koła wewnątrz danego trójkąta tak, że każde koło jest styczna do dwóch pozostałych, a do dwóch boków trójkąta. Zostały nazwane na cześć Gian Francesco Malfattiego , który dokonał wczesnych badań nad problemem konstruowania tych kręgów w błędnym przekonaniu, że będą miały największą możliwą całkowitą powierzchnię z dowolnych trzech rozłącznych okręgów w trójkącie.

Problem Malfattiego był używany w odniesieniu zarówno do problemu konstrukcji okręgów Malfattiego, jak i do problemu znalezienia trzech okręgów maksymalizujących powierzchnię w trójkącie. Prostą konstrukcję kręgów Malfattiego podał Steiner (1826) i od tego czasu wielu matematyków badało ten problem. Sam Malfatti dostarczył wzór na promienie trzech okręgów, a także można je wykorzystać do określenia dwóch centrów trójkąta , punktów Ajima-Malfatti trójkąta.

Problem maksymalizacji całkowitej powierzchni trzech okręgów w trójkącie nigdy nie jest rozwiązywany przez okręgi Malfattiego. Zamiast tego optymalne rozwiązanie można zawsze znaleźć za pomocą zachłannego algorytmu, który znajduje największy okrąg w danym trójkącie, największy okrąg w trzech połączonych podzbiorach trójkąta poza pierwszym okręgiem i największy okrąg w pięciu połączonych podzbiorach trójkąta. trójkąt poza pierwszymi dwoma okręgami. Chociaż procedura ta została sformułowana po raz pierwszy w 1930 roku, jej poprawność została udowodniona dopiero w 1994 roku.

Problem Malfattiego

W trójkącie równobocznym powierzchnia okręgów Malfatti (po lewej) jest w przybliżeniu o 1% mniejsza niż trzy okręgi maksymalizujące pole (po prawej).

Gian Francesco Malfatti  ( 1803 ) postawił problem wycięcia trzech cylindrycznych kolumn z trójkątnego pryzmatu marmuru, maksymalizując całkowitą objętość kolumn. Przyjął, że rozwiązanie tego problemu dają trzy okręgi styczne w trójkątnym przekroju klina. To znaczy, bardziej abstrakcyjnie, przypuszczał, że trzy koła Malfattiego mają maksymalną całkowitą powierzchnię dowolnych trzech rozłącznych okręgów w danym trójkącie. Dzieło Malfattiego spopularyzował wśród szerszej publiczności po francusku Joseph Diaz Gergonne w pierwszym tomie jego Annales ( 1811 ), z dalszymi dyskusjami w drugim i dziesiątym. Jednak Gergonne określił tylko problem okręgu i styczności, a nie problem maksymalizacji pola.

W trójkącie równoramiennym z ostrym wierzchołkiem koła Malfattiego (u góry) zajmują mniej więcej połowę obszaru trzech kół ułożonych algorytmem zachłannym (poniżej).

Założenie Malfattiego, że te dwa problemy są równoważne, jest błędne. Lob i Richmond ( 1930 ), którzy wrócili do oryginalnego tekstu włoskiego, zaobserwowali, że w przypadku niektórych trójkątów większy obszar można osiągnąć za pomocą zachłannego algorytmu, który wpisuje pojedynczy okrąg o maksymalnym promieniu w trójkącie, wpisuje drugi okrąg w jednym z trzy pozostałe rogi trójkąta, ten o najmniejszym kącie, i wpisuje trzeci okrąg w największym z pięciu pozostałych elementów. Różnica pola dla trójkąta równobocznego jest niewielka, nieco ponad 1%, ale jak wskazał Howard Eves  ( 1946 ), dla trójkąta równoramiennego z bardzo ostrym wierzchołkiem okręgi optymalne (ułożone jeden nad drugim nad podstawą trójkąta) mają prawie dwukrotnie większą powierzchnię niż koła Malfatti.

Goldberg ( 1967 ) przedstawił przekonującą demonstrację numeryczną, że dla każdego trójkąta procedura Loba-Richmonda daje trzy koła o większej powierzchni niż koła Malfattiego, więc koła Malfattiego nigdy nie są optymalne. Gabai i Liban ( 1968 ) przedstawili rygorystyczny matematyczny dowód tego faktu. Zalgaller i Los ( 1994 ) sklasyfikowali wszystkie różne sposoby, w jakie zestaw maksymalnych okręgów może być upakowany w trójkącie; stosując swoją klasyfikację wykazali, że algorytm zachłanny zawsze znajduje trzy okręgi maksymalizujące powierzchnię, i podali wzór na określenie, które upakowanie jest optymalne dla danego trójkąta. Melissen (1997) przypuszczał bardziej ogólnie, że dla dowolnej liczby całkowitej n algorytm zachłanny znajduje zbiór maksymalizujący obszar n okręgów w danym trójkącie; wiadomo, że przypuszczenie jest prawdziwe dla n ≤ 3 .

Historia

Problem zbudowania trzech okręgów stycznych do siebie w trójkącie został postawiony przez XVIII-wiecznego matematyka japońskiego Ajimę Naonobu przed pracą Malfattiego i włączony do niepublikowanego zbioru prac Ajimy, wykonanego rok po śmierci Ajimy przez jego ucznia Kusakę. Makoto. Nawet wcześniej, ten sam problem został uznany w 1384 rękopisu Gilio di Montepulciano da Cecco, teraz w Miejskiej Bibliotece w Siena , Włochy . Jacob Bernoulli  ( 1744 ) badał szczególny przypadek problemu, dla określonego trójkąta równoramiennego .

Od czasu pracy Malfattiego było dużo pracy nad metodami konstruowania trzech kręgów stycznych Malfattiego; Richard K. Guy pisze, że literatura na ten temat jest „rozległa, szeroko rozrzucona i nie zawsze świadoma siebie”. Warto zauważyć, że Jakob Steiner  ( 1826 ) przedstawił prostą konstrukcję geometryczną opartą na bitangentach ; inni autorzy od tamtego czasu twierdzili, że prezentacji Steinera brakowało dowodu, który później dostarczył Andrew Hart  ( 1856 ), ale Guy wskazuje na dowód rozproszony w dwóch własnych pracach Steinera z tamtych czasów. Rozwiązania oparte na sformułowaniach algebraicznych problemu obejmują rozwiązania autorstwa CL Lehmusa  ( 1819 ), EC Catalana  ( 1846 ), C. Adamsa  ( 1846 , 1849 ), J. Derousseau ( 1895 ) i Andreasa Pampucha ( 1904 ). Rozwiązania algebraiczne nie rozróżniają stycznych wewnętrznych i zewnętrznych między okręgami i danym trójkątem; jeśli problem jest uogólniony tak, aby pozwalał na styczne dowolnego rodzaju, to dany trójkąt będzie miał 32 różne rozwiązania i odwrotnie, trójka wzajemnie stycznych okręgów będzie rozwiązaniem dla ośmiu różnych trójkątów. Bottema (2001) przypisuje wyliczenie tych rozwiązań Pampuchowi (1904) , ale Cajori (1893) zauważa, że ​​ta liczba rozwiązań została już podana w uwadze Steinera (1826) . Problem i jego uogólnienia były przedmiotem wielu innych XIX-wiecznych publikacji matematycznych, a jego historia i matematyka są od tego czasu przedmiotem ciągłych badań. Był również częstym tematem w książkach o geometrii.

Gatto (2000) i Mazzotti (1998) opowiadają o epizodzie w XIX-wiecznej matematyce neapolitańskiej, związanym ze środowiskiem Malfattich. W 1839 roku Vincenzo Flauti , geometr syntetyczny , postawił wyzwanie polegające na rozwiązaniu trzech problemów geometrycznych, z których jednym była konstrukcja kręgów Malfattiego; jego zamiarem było wykazanie wyższości technik syntetycznych nad analitycznymi. Pomimo rozwiązania podanego przez Fortunato Padulę, ucznia konkurencyjnej szkoły geometrii analitycznej , Flauti przyznał nagrodę swojemu własnemu uczniowi, Nicola Trudi, którego rozwiązania znał Flauti, gdy rzucił wyzwanie. Ostatnio problem konstruowania okręgów Malfattiego został wykorzystany jako problem testowy dla systemów algebry komputerowej .

Konstrukcja Steinera

Steiner budowlanego „S o Malfatti kręgów za pomocą bitangents

Chociaż większość wczesnych prac nad kręgami Malfatti wykorzystywała geometrię analityczną , Steiner (1826) przedstawił następującą prostą konstrukcję syntetyczną .

Okrąg, który jest styczny do dwóch boków trójkąta, tak jak koła Malfattiego, musi być wyśrodkowany na jednej z dwusiecznych kąta trójkąta (zielona na rysunku). Te dwusieczne dzielą trójkąt na trzy mniejsze trójkąty, a konstruowanie kręgów Malfattiego przez Steinera rozpoczyna się od narysowania innej trójki okręgów (pokazanej linią przerywaną na rysunku) wpisanej w każdy z tych trzech mniejszych trójkątów. Na ogół okręgi te są rozłączne, więc każda para dwóch okręgów ma cztery bitangenty (linie stykające się z obydwoma). Dwa z tych bitangentów przechodzą między ich okręgami: jeden jest dwusieczną kąta, a drugi jest pokazany jako czerwona przerywana linia na rysunku. Oznacz trzy boki danego trójkąta jako a , b i c , a trzy bitangenty, które nie są dwusiecznymi kąta, oznacz jako x , y i z , gdzie x jest bitangentem dwóch okręgów, które nie stykają się z bokiem a , y jest tangensem bitowym do dwóch okręgów, które nie stykają się ze stroną b , a z jest tangensem bitowym do dwóch okręgów, które nie dotykają strony c . Następnie trzy koła Malfattiego są kołami wpisanymi w trzy styczne czworoboki, abyx , aczx i bczy . W przypadku symetrii dwa z przerywanych okręgów mogą stykać się w punkcie na dwusiecznej, przez co dwa bitangenty pokrywają się tam, ale nadal tworzą odpowiednie czworoboki dla okręgów Malfattiego.

Trzy bitangenty x , y i z przecinają boki trójkąta w punkcie styczności z trzecim wpisanym okręgiem i można je również znaleźć jako odbicia dwusiecznych kątów w poprzek linii łączących pary środków tych okręgów.

Wzór na promień

Promień każdego z trzech Malfatti kół można określić jako wzoru obejmującego trzy odcinki boczne , b i c do trójkąta, inradius R , w semiperimeter i trzy odległości d , e , i f z incenter trójkąta do wierzchołków po przeciwnych stronach odpowiednio a , b i c . Wzory dla trzech promieni to: ${\displaystyle s=(a+b+c)/2}$

$${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} r_ {1} i = {\ Frac {r} {2 (sa)}} (s-r + def), \ \ r_ {2} i = {\ Frac {r} {2(sb)}}(sr-d+ef),\\r_{3}&={\frac {r}{2(sc)}}(srd-e+f).\\\end{wyrównany }}}$$

Pokrewnych wzorów można użyć do znalezienia przykładów trójkątów, których długości boków, promienie i promienie Malfattiego są liczbami wymiernymi lub wszystkimi liczbami całkowitymi. Na przykład trójkąt o długościach boków 28392, 21000 i 25872 ma promień 6930 i promień Malfatti 3969, 4900 i 4356. Jako inny przykład, trójkąt o długościach boków 152460, 165000 i 190740 ma promień 47520 i promień Malfatti 27225, 30976 i 32400.

Punkty Ajima-Malfatti

Pierwszy punkt Ajima-Malfatti

Mając trójkąt ABC i jego trzy okręgi Malfattiego, niech D , E i F będą punktami, w których dwa z okręgów stykają się ze sobą, odpowiednio przeciwległymi wierzchołkami A , B i C . Następnie trzy linie AD , BE i CF spotykają się w jednym środku trójkąta znanym jako pierwszy punkt Ajimy-Malfattiego po wkładzie Ajimy i Malfattiego w problem okręgu. Drugi punkt Ajima-Malfatti to miejsce spotkania trzech linii łączących styczność kręgów Malfatti ze środkami eksokręgów trójkąta. Inne centra trójkątów również związane z okręgami Malfattiego obejmują punkt Yff-Malfatti, utworzony w taki sam sposób jak pierwszy punkt Malfattiego z trzech wzajemnie stycznych okręgów, które są wszystkie styczne do linii przechodzących przez boki danego trójkąta, ale które leżą częściowo na zewnątrz trójkąta i radykalny środek trzech kręgów Malfattiego (punkt, w którym spotykają się trzy bitangenty użyte w ich konstrukcji).

Zobacz też

• Pakowanie w okrąg w trójkącie równobocznym
• Pakowanie koła w równoramienny trójkąt prostokątny
• Twierdzenie o sześciu okręgach

Uwagi

Bibliografia

Linki zewnętrzne

• Eric W. Weisstein , Malfatti Circles ( Problem Malfatti za ) w MathWorld .
• Malfatti za problem w cut-the-węzeł