Trójkąt równoramienny - Isosceles triangle

Trójkąt równoramienny
Trójkąt równoramienny z pionową osią symetrii
Rodzaj	trójkąt
Krawędzie i wierzchołki	3
Symbol Schläfli	( ) { }
Grupa symetrii	Dih 2 , [ ], (*), rząd 2
Podwójny wielokąt	Samodzielność
Nieruchomości	wypukły , cykliczny

W geometrii An trójkąta równoramiennego jest trójkąt , który ma dwa boki o jednakowej długości. Czasami jest określany jako mający dokładnie dwa boki równej długości, a czasami jako mający co najmniej dwa boki równej długości, przy czym ta ostatnia wersja zawiera trójkąt równoboczny jako przypadek szczególny . Przykłady trójkątów równoramiennych obejmują równoramienny trójkąt prostokątny , złoty trójkąt oraz ściany bipiramid i niektórych katalońskich brył .

Matematyczne badania trójkątów równoramiennych sięgają starożytnej matematyki egipskiej i matematyki babilońskiej . Trójkąty równoramienne były używane jako dekoracja już w dawnych czasach i często pojawiają się w architekturze i designie, na przykład na frontonach i szczytach budynków.

Dwa równe boki nazywane są nogami, a trzeci bok nazywany jest podstawą trójkąta. Pozostałe wymiary trójkąta, takie jak wysokość, powierzchnia i obwód, można obliczyć za pomocą prostych wzorów na podstawie długości ramion i podstawy. Każdy trójkąt równoramienny ma oś symetrii wzdłuż prostopadłej dwusiecznej jego podstawy. Dwa kąty przeciwległe do ramion są równe i zawsze są ostre , więc klasyfikacja trójkąta jako ostrego, prostego lub rozwartego zależy tylko od kąta między jego dwoma ramionami.

Terminologia, klasyfikacja i przykłady

Euclid zdefiniował trójkąt równoramienny jako trójkąt o dokładnie dwóch równych bokach, ale współczesne metody leczenia wolą definiować trójkąty równoramienne jako mające co najmniej dwa równe boki. Różnica między tymi dwiema definicjami polega na tym, że współczesna wersja czyni trójkąty równoboczne (o trzech równych bokach) specjalnym przypadkiem trójkątów równoramiennych. Trójkąt, który nie jest równoramienny (mający trzy nierówne boki) nazywa się skalą . „Isosceles” składa się z greckich korzeni „isos” (równy) i „skelos” (noga). To samo słowo jest używane na przykład dla trapezów równoramiennych , trapezów o dwóch równych bokach, a dla zestawów równoramiennych , zbiorów punktów, z których co trzy tworzą trójkąt równoramienny.

W trójkącie równoramiennym, który ma dokładnie dwa równe boki, równe boki nazywamy nogami, a trzeci bok nazywamy podstawą . Kąt zawarty przez nogi nazywa się kątem wierzchołkowym, a kąty, które mają podstawę jako jeden ze swoich boków, nazywane są kątami podstawowymi . Wierzchołek naprzeciw podstawy nazywany jest wierzchołkiem . W przypadku trójkąta równobocznego, ponieważ wszystkie boki są równe, każdy bok można nazwać podstawą.

Specjalne trójkąty równoramienne

Trójkąt równoramienny

Trzy przystające wpisane kwadraty w trójkącie Calabi

Złoty trójkąt podzielony na mniejsze złotego trójkąta i złoty gnomon

Triakis trójkątny Dachówka

Katalońskie bryły z równoramiennymi trójkątami twarzami

Czworościan triakisa

Triakis ośmiościan

Sześcian czworokątny

Dwunastościan Pentakis

Dwudziestościan triakis

To, czy trójkąt równoramienny jest ostry, prawy czy rozwarty, zależy tylko od kąta jego wierzchołka. W geometrii euklidesowej kąty bazowe nie mogą być rozwarte (większe niż 90°) ani prawe (równe 90°), ponieważ ich miary sumują się do co najmniej 180°, sumy wszystkich kątów w dowolnym trójkącie euklidesowym. Ponieważ trójkąt jest rozwarty lub prawy wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z jego kątów jest odpowiednio rozwarty lub prawy, trójkąt równoramienny jest rozwarty, prawy lub ostry wtedy i tylko wtedy, gdy jego kąt wierzchołkowy jest odpowiednio rozwarty, prawy lub ostry. W książce Flatland Edwina Abbotta ta klasyfikacja kształtów została wykorzystana jako satyra na hierarchię społeczną : trójkąty równoramienne reprezentowały klasę robotniczą , z ostrymi trójkątami równoramiennymi wyżej w hierarchii niż prawe lub rozwarte trójkąty równoramienne.

Jak również równoramienny trójkąt prostokątny , kilka innych kształtów specyficzna trójkątów równoramiennych badano. Należą do trójkąta Calabi (trójkąta o trzech zbieżnych wpisane kwadraty) na złote trójkąta i złoty Gnomon (dwa równoramienne trójkąty, których boki oraz podstawa w złotego ), przy czym 80-80-20 trójkąta, które pojawiają się w Langley Uboczne Kąty puzzle , a trójkąt 30-30-120 trójkątnej płytki triakis . Pięć ciał stałych Kataloński , tym triakis czworościan , ośmiościan potrójny , sześcian poczwórny , pentakis dwunastościan i triakis dwudziestościan , każdy ma twarze równoramienny trójkąt, jak zrobić nieskończenie wiele piramid i bipyramids .

Formuły

Wzrost

W przypadku dowolnego trójkąta równoramiennego następujące sześć odcinków linii pokrywa się:

• wysokość segment linii prostopadłej od wierzchołka do podstawy,
• dwusieczna kąta od wierzchołka do podstawy,
• mediana z wierzchołkiem do punktu środkowego podstawy,
• symetralnej podstawy w trójkącie
• odcinek w trójkącie o niepowtarzalnej osi symetrii trójkąta, oraz
• segment w trójkącie linii Eulera trójkąta, z wyjątkiem sytuacji, gdy trójkąt jest równoboczny .

Ich wspólna długość to wysokość trójkąta. Jeśli trójkąt ma równe boki długości i podstawę długości , ogólne wzory trójkąta na długości tych odcinków upraszczają się do ${\ Displaystyle h}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\ Displaystyle h = {\ Frac {1} {2}} {\ sqrt {4a ^ {2}-b ^ {2}}}.}$

Wzór ten można również wyprowadzić z twierdzenia Pitagorasa, wykorzystując fakt, że wysokość przecina podstawę i dzieli trójkąt równoramienny na dwa przystające trójkąty prostokątne.

Linia Eulera dowolnego trójkąta przechodzi trójkąta orthocenter (przecięcie trzech wysokości), jego ciężkości (punkt przecięcia się trzech mediany), a jego circumcenter (przecięcia prostopadłej dwusiecznych jej trzech stron, który jest również środek okręgu opisanego, który przechodzi przez trzy wierzchołki). W trójkącie równoramiennym o dokładnie dwóch równych bokach te trzy punkty są różne i (przez symetrię) wszystkie leżą na osi symetrii trójkąta, z czego wynika, że ​​linia Eulera pokrywa się z osią symetrii. Incenter trójkąta leży również na linii Euler, coś, co nie jest prawdą dla innych trójkątów. Jeśli dowolne dwie z dwusiecznej kąta, mediany lub wysokości pokrywają się w danym trójkącie, ten trójkąt musi być równoramienny.

Powierzchnia

Pole trójkąta równoramiennego można wyprowadzić ze wzoru na jego wysokość oraz z ogólnego wzoru na pole trójkąta jako połowę iloczynu podstawy i wysokości: ${\ Displaystyle T}$

${\ Displaystyle T = {\ Frac {b} {4}}{\ sqrt {4a ^ {2}-b ^ {2}}}.}$

Ten sam wzór na pole można również wyprowadzić ze wzoru Herona na pole trójkąta z jego trzech boków. Jednak bezpośrednie zastosowanie wzoru Herona może być numerycznie niestabilne dla trójkątów równoramiennych o bardzo ostrych kątach, ze względu na prawie anulowanie między półobwodem a długością boku w tych trójkątach.

Jeżeli znany jest kąt wierzchołkowy i długości ramion trójkąta równoramiennego, to pole tego trójkąta wynosi: ${\displaystyle (\theta)}$${\ Displaystyle (a)}$

${\ Displaystyle T = {\ Frac {1} {2}} a ^ {2} \ sin \ theta.}$

Jest to szczególny przypadek wzoru ogólnego na pole trójkąta jako połowę iloczynu dwóch boków razy sinus kąta zawartego.

Obwód

Obwód trójkąta równoramiennego o równych bokach i podstawie wynosi tylko ${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle p=2a+b.}$

Jak w każdym trójkącie, pole i obwód są powiązane nierównością izoperymetryczną${\ Displaystyle T}$${\displaystyle p}$

${\ Displaystyle p ^ {2}> 12 {\ sqrt {3}} T.}$

Jest to ścisła nierówność dla trójkątów równoramiennych o bokach nierównych podstawie i staje się równością dla trójkąta równobocznego. Pole, obwód i podstawę można również powiązać ze sobą równaniem

${\ Displaystyle 2pb ^ {3}-p ^ {2} b ^ {2} + 16 T ^ {2} = 0.}$

Jeśli podstawa i obwód są stałe, to ten wzór określa pole wynikowego trójkąta równoramiennego, który jest maksymalnym możliwym spośród wszystkich trójkątów o tej samej podstawie i obwodzie. Z drugiej strony, jeśli powierzchnia i obwód są ustalone, wzór ten może być użyty do odzyskania długości podstawy, ale nie w wyjątkowy sposób: na ogół istnieją dwa różne trójkąty równoramienne o danej powierzchni i obwodzie . Kiedy nierówność izoperimetryczna staje się równością, istnieje tylko jeden taki trójkąt, który jest równoboczny. ${\ Displaystyle T}$${\displaystyle p}$

Długość dwusiecznej kąta

Jeśli dwa równe boki mają długość, a druga strona ma długość , wówczas wewnętrzna dwusieczna kąta z jednego z dwóch równokątnych wierzchołków spełnia ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {2ab}{a+b}}>t>{\frac {ab{\sqrt {2}}}{a+b}}}$

jak również

${\displaystyle t<{\frac {4a}{3}};}$

i odwrotnie, jeśli ten ostatni warunek jest spełniony, trójkąt równoramienny sparametryzowany przez i istnieje. ${\displaystyle a}$${\displaystyle t}$

Twierdzenie Steinera-Lehmusa mówi, że każdy trójkąt z dwiema dwusiecznymi kąta o równych długościach jest równoramienny. Sformułował ją w 1840 roku CL Lehmus . Jego drugi imiennik, Jakob Steiner , był jednym z pierwszych, którzy dostarczyli rozwiązanie. Chociaż pierwotnie sformułowany tylko dla wewnętrznych dwusiecznych kąta, działa w wielu (ale nie we wszystkich) przypadkach, gdy zamiast tego dwie zewnętrzne dwusieczne kąta są równe. Trójkąt równoramienny 30-30-120 stanowi przypadek brzegowy dla tej odmiany twierdzenia, ponieważ ma cztery dwusieczne równego kąta (dwie wewnętrzne, dwie zewnętrzne).

Promień

Trójkąt równoramienny pokazujący środek obwodu (niebieski), środek ciężkości (czerwony), środek (zielony) i oś symetrii (fioletowy)

Wzory promieniowe i promieniowe dla trójkąta równoramiennego można wyprowadzić z ich wzorów dla dowolnych trójkątów. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o długości boku , podstawie i wysokości wynosi: ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\ Displaystyle h}$

${\ Displaystyle {\ Frac {2ab-b ^ {2}} {4h}}.}$

Środek koła leży na osi symetrii trójkąta, ta odległość nad podstawą. Trójkąt równoramienny ma największe możliwe wpisane koło spośród trójkątów o tym samym kącie podstawy i wierzchołka, a także ma największą powierzchnię i obwód wśród trójkątów tej samej klasy.

Promień opisanego okręgu wynosi:

${\ Displaystyle {\ Frac {a ^ {2}} {2h}}.}$

Środek koła leży na osi symetrii trójkąta, ta odległość poniżej wierzchołka.

Wpisany kwadrat

Dla każdego trójkąta równoramiennego istnieje unikalny kwadrat z jednym bokiem współliniowym z podstawą trójkąta i dwoma przeciwległymi rogami po bokach. Calabiego trójkąt jest specjalny kształt trójkąta równoramiennego z właściwością że dwa kwadratów wpisanych z boków współliniowa z bokami trójkąta są tego samego rozmiaru, jak kwadrat bazowej. Znacznie starsze twierdzenie, zachowane w pracach Heroa z Aleksandrii , mówi, że dla trójkąta równoramiennego o podstawie i wysokości długość boku kwadratu wpisanego na podstawie trójkąta wynosi ${\displaystyle b}$${\ Displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {bh}{b+h}}.}$

Podział równoramienny o innych kształtach

Podział cyklicznego pięciokąta na trójkąty równoramienne promieniami jego okręgu opisanego

Dla dowolnej liczby całkowitej dowolny trójkąt można podzielić na trójkąty równoramienne. W trójkącie prostokątnym mediana od przeciwprostokątnej (czyli odcinek linii od punktu środkowego przeciwprostokątnej do wierzchołka prostokątnego) dzieli prawy trójkąt na dwa trójkąty równoramienne. Dzieje się tak, ponieważ środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, a każdy z dwóch trójkątów utworzonych przez przegrodę ma dwa równe promienie jako dwa jego boki. Podobnie trójkąt ostry można podzielić na trzy trójkąty równoramienne segmentami od jego środka opisanego, ale ta metoda nie działa w przypadku trójkątów rozwartych, ponieważ środek opisany jest poza trójkątem. ${\displaystyle n\geq 4}$${\ Displaystyle n}$

Uogólniając podział trójkąta ostrego, każdy wielokąt cykliczny, który zawiera środek opisanego okręgu, może zostać podzielony na trójkąty równoramienne przez promienie tego okręgu przechodzące przez jego wierzchołki. Fakt, że wszystkie promienie koła mają jednakową długość, implikuje, że wszystkie te trójkąty są równoramienne. Podział ten może być wykorzystany do wyprowadzenia wzoru na pole powierzchni wielokąta w funkcji długości jego boków, nawet w przypadku wielokątów cyklicznych, które nie zawierają swoich okręgów. Ten wzór uogólnia wzór Herona dla trójkątów i wzór Brahmagupty dla cyklicznych czworokątów .

Albo przekątna tematyce rombu dzieli go na dwa przystającej trójkątów równoramiennych. Podobnie, jedna z dwóch przekątnych latawca dzieli go na dwa trójkąty równoramienne, które nie są przystające, chyba że latawiec jest rombem.

Aplikacje

W architekturze i designie

Rozwarty równoramienny fronton Panteonu, Rzym

Ostry szczyt równoramienny nad portalem Saint-Etienne, Notre-Dame de Paris

Trójkąty równoramienne pojawiają się powszechnie w architekturze jako kształty szczytów i frontonów . W starożytnej architekturze greckiej i jej późniejszych imitacjach stosowano trójkąt równoramienny rozwarty; w architekturze gotyckiej zastąpiono go ostrym trójkątem równoramiennym.

W architekturze średniowiecza popularny stał się inny kształt trójkąta równoramiennego: egipski trójkąt równoramienny. Jest to trójkąt równoramienny, który jest ostry, ale mniej ostry niż trójkąt równoboczny; jego wysokość jest proporcjonalna do 5/8 podstawy. Egipski trójkąt równoramienny został ponownie wykorzystany w nowoczesnej architekturze przez holenderskiego architekta Hendrika Petrusa Berlage .

Szczegółowy widok zmodyfikowanej kratownicy Warrena z pionami

Konstrukcje kratownicowe Warrena , takie jak mosty, są zwykle ułożone w trójkąty równoramienne, chociaż czasami stosuje się również pionowe belki dla dodatkowej wytrzymałości. Powierzchnie mozaikowane przez trójkąty równoramienne rozwarte mogą być używane do tworzenia rozkładanych struktur, które mają dwa stabilne stany: stan rozłożony, w którym powierzchnia rozszerza się do cylindrycznej kolumny, oraz stan złożony, w którym składa się w bardziej zwarty kształt pryzmatu, który może być bardziej łatwo transportować. Ten sam wzór teselacji stanowi podstawę wyboczenia Yoshimura , wzoru utworzonego podczas osiowego ściskania powierzchni cylindrycznych, oraz latarni Schwarza , przykładu używanego w matematyce, aby pokazać, że obszar gładkiej powierzchni nie zawsze może być dokładnie przybliżony przez wielościany zbieżne do powierzchnia.

Flaga Gujany

Flaga św. Łucji

W projektowaniu graficznym i sztukach dekoracyjnych trójkąty równoramienne były częstym elementem projektowania w kulturach na całym świecie od co najmniej wczesnego neolitu do czasów współczesnych. Są powszechnym elementem wzornictwa we flagach i heraldykach , pojawiają się wyraźnie z pionową podstawą, na przykład we fladze Gujany , lub z poziomą podstawą we fladze Saint Lucia , gdzie tworzą stylizowany wizerunek górskiej wyspy.

Oni również zostały wykorzystane w projektach o znaczeniu religijnym lub mistyczną, na przykład w Sri Yantra z hinduskiej praktyce medytacyjnej .

W innych dziedzinach matematyki

Jeśli równanie sześcienne ze współczynnikami rzeczywistymi ma trzy pierwiastki, które nie są liczbami rzeczywistymi , to gdy pierwiastki te wykreślone na płaszczyźnie zespolonej jako diagram Arganda tworzą wierzchołki trójkąta równoramiennego, którego oś symetrii pokrywa się z osią poziomą (rzeczywistą) . Dzieje się tak, ponieważ złożone korzenie są złożonymi koniugatami, a zatem są symetryczne względem osi rzeczywistej.

W mechanice niebieskich The problem trzy ciała badano w szczególnym przypadku, trzy korpusy tworzą trójkąt równoramienny, ponieważ przy założeniu, że korpusy są ustawione w ten sposób zmniejsza się liczba stopni swobody systemu bez ograniczania go do rozwiązany przypadek punktu Lagrange'a, gdy ciała tworzą trójkąt równoboczny. Pierwsze przypadki, w których wykazano nieograniczone oscylacje problemu trzech ciał, dotyczyły równoramiennego problemu trzech ciał.

Historia i błędy

Na długo przed badaniem trójkątów równoramiennych przez starożytnych matematyków greckich , praktycy matematyki starożytnego Egiptu i matematyki babilońskiej wiedzieli, jak obliczyć ich powierzchnię. Problemy tego typu zawarte są w Moskiewskim Papirusie Matematycznym i Papirusie Matematycznym Rhinda .

Twierdzenie, że kąty podstawowe trójkąta równoramiennego są równe, pojawia się jako Stwierdzenie I.5 w Euklidesie. Wynik ten nazwano twierdzeniem pons asinorum (most osłów) lub twierdzeniem o trójkącie równoramiennym. Konkurencyjne wyjaśnienia tej nazwy obejmują teorię, że dzieje się tak dlatego, że diagram użyty przez Euklidesa w jego demonstracji wyniku przypomina most, lub dlatego, że jest to pierwszy trudny wynik Euklidesa i działa w celu oddzielenia tych, którzy mogą zrozumieć geometrię Euklidesa od tych kto nie może.

Dobrze znany błąd jest fałszywym dowodem na stwierdzenie, że wszystkie trójkąty są równoramienne . Robin Wilson przypisuje ten argument Lewisowi Carrollowi , który opublikował go w 1899 roku, ale WW Rouse Ball opublikował go w 1892 roku, a później napisał, że Carroll uzyskał od niego argument. Błąd jest zakorzeniony w braku rozpoznania przez Euklidesa pojęcia pomiędzy i wynikającej z tego niejednoznaczności wnętrza i zewnętrza figur.

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Weisstein, Eric W. , „Trójkąt równoramienny” , MathWorld