Struktura matematyczna - Mathematical structure

W matematyce , A struktura jest zestaw wyposażony w kilka dodatkowych funkcji w odbiorniku (na przykład: operację , związku , metryczną lub topologii ). Często dodatkowe cechy są dołączone lub powiązane z zestawem, aby nadać mu jakieś dodatkowe znaczenie lub znaczenie.

Częściową listą możliwych struktur są miary , struktury algebraiczne ( grupy , pola itp.), topologie , struktury metryczne ( geometrie ), porządki , zdarzenia , relacje równoważności , struktury różniczkowe i kategorie .

Czasami zestaw jest wyposażony w więcej niż jedną strukturę jednocześnie, co pozwala matematykom na bogatsze badanie interakcji między różnymi strukturami. Na przykład uporządkowanie narzuca sztywną formę, kształt lub topologię na zbiór, a jeśli zbiór ma zarówno strukturę topologiczną, jak i strukturę grupy, tak że te dwie struktury są powiązane w określony sposób, to zbiór staje się topologicznym grupa .

Odwzorowania między zbiorami, które zachowują struktury (tj. struktury w domenie są odwzorowywane na równoważne struktury w przeciwdziedzinie ) są szczególnie interesujące w wielu dziedzinach matematyki. Przykładami są homomorfizmy , które zachowują struktury algebraiczne; homeomorfizmy , które zachowują struktury topologiczne; i dyfeomorfizmy , które zachowują struktury różniczkowe.

Historia

W 1939 roku francuska grupa o pseudonimie Nicolas Bourbaki postrzegała struktury jako źródło matematyki. Po raz pierwszy wspomnieli o nich w swoim „Fascykule” Teorii Zbiorów i rozszerzyli go do rozdziału IV wydania z 1957 roku. Zidentyfikowali trzy struktury macierzyste : algebraiczną, topologiczną i porządkową.

Przykład: liczby rzeczywiste

Zbiór liczb rzeczywistych ma kilka standardowych struktur:

• Kolejność: każda liczba jest mniejsza lub większa niż jakakolwiek inna liczba.
• Struktura algebraiczna: istnieją operacje mnożenia i dodawania, które przekształcają ją w ciało .
• Miara: odstępy linii rzeczywistej mają określoną długość , którą można rozszerzyć do miary Lebesgue'a na wielu jej podzbiorach .
• Metryka: istnieje pojęcie odległości między punktami.
• Geometria: jest wyposażona w metrykę i jest płaska .
• Topologia: istnieje pojęcie zbiorów otwartych .

Wśród nich są interfejsy:

• Jej kolejność i niezależnie od struktury metrycznej indukują jej topologię.
• Jego porządek i struktura algebraiczna czynią z niego ciało uporządkowane .
• Jego struktura algebraiczna i topologia czynią go grupą Liego , rodzajem grupy topologicznej .

Zobacz też

• Abstrakcyjna struktura
• Izomorfizm
• Równoważne definicje struktur matematycznych
• Teoria typów intuicjonistycznych
• Przestrzeń (matematyka)

Bibliografia

Dalsza lektura

• Fałdy, Stephan (1994). Podstawowe struktury algebry i matematyki dyskretnej . Hoboken: John Wiley i synowie. Numer ISBN 9781118031438.
• Hegedus, Szczepan Jan; Moreno-Armella, Luis (2011). „Pojawienie się struktur matematycznych”. Studia Edukacyjne z Matematyki . 77 (2): 369–388. doi : 10.1007/s10649-010-9297-7 . S2CID  119981368 .
• Kolmana, Bernarda; Busby, Robert C.; Ross, Sharon Cutler (2000). Dyskretne struktury matematyczne (wyd. 4). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. Numer ISBN 978-0-13-083143-9.
• Malika, DS; Sen, MK (2004). Dyskretne struktury matematyczne: teoria i zastosowania . Australia: Thomson/Course Technology. Numer ISBN 978-0-619-21558-3.
• Pudlák, Paweł (2013). „Struktury matematyczne”. Logiczne podstawy matematyki i złożoności obliczeniowej łagodne wprowadzenie . Cham: Springer. s. 2-24. Numer ISBN 9783319001197.
• Senechal, M. (21 maja 1993). „Struktury matematyczne”. Nauka . 260 (5111): 1170-1173. doi : 10.1126/science.260.5111.1170 . PMID  17806355 .

Zewnętrzne linki

• „Struktura” . PlanetMath . (zawiera teoretyczną definicję modelu.)
• Struktury matematyczne w informatyce (czasopisma)