Mapa metryczna - Metric map

W matematycznej teorii przestrzeni metrycznych , o metrykę mapa jest funkcja między przestrzeniami metrycznymi, które nie zwiększają dowolną odległość (takie funkcje są zawsze ciągła ). Mapy te to morfizmy z kategorii przestrzeni metrycznych , Met (Isbell 1964). Nazywane są również funkcje Lipschitza z Lipschitz stałą 1, nonexpansive map , nonexpanding map , słabych skurczów lub krótkich mapach .

W szczególności, załóżmy, że X i Y są przestrzeniami metrycznych i ƒ jest funkcja od X do Y . Mamy więc mapę metryczną, gdy dla dowolnych punktów x i y w X ,

{\ Displaystyle d_ {Y} (f (x), f (r)) \ równoważnik d_ {X} (x, y). \!}

Tutaj d _X a d _Y oznaczają dane dotyczące X i Y odpowiednio.

Przykłady

Rozważmy przestrzeń metryczną z metryką euklidesową . Następnie funkcja jest metryka map, ponieważ dla , . ${\ displaystyle [0,1 / 2]}$ ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ ${\ Displaystyle x \ neq y}$ ${\ Displaystyle | f (x) -f (y) | = | x + y || xy | <| xy |}$

Kategoria map metrycznych

Kompozyt map metrycznych jest również metryką map, a tożsamość map id _M : M → M na przestrzeni metrycznej M jest metryka map. Zatem przestrzenie metryczne wraz z mapami metrycznymi tworzą kategorię Met . Met jest podkategorią kategorii przestrzeni metrycznych i funkcji Lipschitza. Mapa ƒ między przestrzeniami metrycznymi jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijektywną mapą metryczną, której odwrotność jest również mapą metryczną. Zatem izomorfizmy w Met są dokładnie izometriami.

Mapy ściśle metryczne

Można powiedzieć, że ƒ jest ściśle metryczny, jeśli nierówność jest ścisła dla każdych dwóch różnych punktów. Tak więc mapowanie kontrakcji jest ściśle metryczne, ale niekoniecznie na odwrót. Zauważ, że izometria nigdy nie jest ściśle metryczna, z wyjątkiem zdegenerowanego przypadku pustej przestrzeni lub przestrzeni jednopunktowej.

Wersja wielowartościowa

Mapowanie z przestrzeni metrycznej X do rodziny niepustych podzbiorów X jest określane jako Lipschitz, jeśli istnieje takie, że ${\ Displaystyle T: X \ do {\ mathcal {N}} (X)}$ ${\ displaystyle L \ geq 0}$

{\ Displaystyle H (Tx, Ty) \ równoważnik Ld (x, y),}

dla wszystkich , gdzie H to odległość Hausdorffa . Kiedy , T nazywa nonexpansive i kiedy , T nazywany jest skurcz . ${\ Displaystyle x, y \ w X}$ ${\ displaystyle L = 1}$ ${\ displaystyle L <1}$