Moduł zbieżności - Modulus of convergence

W prawdziwej analizie , gałąź matematyki , moduł zbieżności jest funkcją, która mówi, jak szybko zbieżna sekwencja jest zbieżna. Te moduły są często wykorzystywane w badaniach nad analizą obliczeniową i matematyką konstruktywną .

Jeśli ciąg liczb rzeczywistych ( x i ) zbiega się do liczby rzeczywistej x , to z definicji dla każdego rzeczywistego ε > 0 istnieje liczba naturalna N taka, że ​​jeśli i > N to | x - x i | < ε . Moduł zbieżności jest zasadniczo funkcją, ponieważ ε powraca odpowiadającej wartości N .

Definicja

Załóżmy, że ( x i ) jest zbieżną sekwencją liczb rzeczywistych z granicą x . Istnieją dwa sposoby zdefiniowania modułu zbieżności jako funkcji od liczb naturalnych do liczb naturalnych:

  • Jako funkcja f ( n ) taka, że ​​dla wszystkich n , jeśli i > f ( n ) to | x - x i | <1 / n
  • Jako funkcja g ( n ) taka, że ​​dla wszystkich n , jeśli i ≥ j > g ( n ) to | x i - x j | <1 / n

Ta ostatnia definicja jest często stosowana w konstruktywnych sytuacjach, w których granica x może być faktycznie utożsamiana z sekwencją zbieżną. Niektórzy autorzy używają alternatywnej definicji, która zamienia 1 / n na 2 - n .

Zobacz też

Bibliografia

  • Klaus Weihrauch (2000), Analiza obliczeniowa .