Dynamika Newtona - Newtonian dynamics

W fizyce dynamika Newtona jest rozumiana jako dynamika cząstki lub małego ciała zgodnie z prawami ruchu Newtona .

Matematyczne uogólnienia

Zazwyczaj dynamika Newtona zachodzi w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej , która jest płaska. Jednak w matematyce prawa ruchu Newtona można uogólnić na przestrzenie wielowymiarowe i zakrzywione . Często termin dynamika Newtona jest zawężany do drugiego prawa Newtona . ${\ Displaystyle \ Displaystyle m \, \ mathbf {a} = \ mathbf {F}}$

Drugie prawo Newtona w przestrzeni wielowymiarowej

Rozważmy cząstki o masach w regularnej trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej . Niech będą ich wektory promieniowe w jakimś inercjalnym układzie współrzędnych. Wówczas ruchem tych cząstek rządzi drugie prawo Newtona zastosowane do każdej z nich ${\ Displaystyle \ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ Displaystyle m_ {1}, \, \ ldots, \, m_ {N}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathbf {r} _ {1}, \, \ ldots, \, \ mathbf {r} _ {N}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ mathbf {r} _ {i}} {dt}} = \ mathbf {v} _ {i}, \ qquad {\ Frac {d \ mathbf {v} _ {i}} {dt}} = {\ frac {\ mathbf {F} _ {i} (\ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N}, \ mathbf {v} _ {1 }, \ ldots, \ mathbf {v} _ {N}, t)} {m_ {i}}}, \ quad i = 1, \ ldots, N.}$

( 1 )

Trójwymiarowe wektory promieniowe można wbudować w jednowymiarowy wektor promieniowy. Podobnie trójwymiarowe wektory prędkości można wbudować w jednowymiarowy wektor prędkości: ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathbf {r} _ {1}, \, \ ldots, \, \ mathbf {r} _ {N}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle n = 3N}$${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \, \ ldots, \, \ mathbf {v} _ {N}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle n = 3N}$

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = {\ rozpocząć {Vmatrix} \ mathbf {r} _ {1} \\\ vdots \\\ mathbf {r} _ {N} \ koniec {Vmatrix}}, \ qquad \ qquad \ mathbf {v} = {\ begin {Vmatrix} \ mathbf {v} _ {1} \\\ vdots \\\ mathbf {v} _ {N} \ end {Vmatrix}}.}$

( 2 )

W odniesieniu do wektorów wielowymiarowych ( 2 ) równania ( 1 ) zapisujemy jako

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ mathbf {v}, \ qquad {\ Frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = \ mathbf {F} (\ mathbf {r}, \ mathbf {v}, t),}$

( 3 )

tj. przyjmują postać drugiego prawa Newtona stosowanego do pojedynczej cząstki o jednostkowej masie . ${\ Displaystyle \ Displaystyle m = 1}$

Definicja . Równania ( 3 ) nazywane są równaniami dynamicznego układu Newtona w płaskiej wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej , która jest nazywana przestrzenią konfiguracyjną tego układu. Jej punkty zaznaczone są przez wektor promienia . Przestrzeń, której punkty zaznacza para wektorów, nazywana jest przestrzenią fazową układu dynamicznego ( 3 ). ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathbf {r}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle (\ mathbf {r}, \ mathbf {v})}$

Struktura euklidesowa

Przestrzeń konfiguracji i przestrzeń fazowa układu dynamicznego ( 3 ) obie są przestrzeniami euklidesowymi, tj. Są wyposażone w strukturę euklidesową . Ich struktura euklidesowa jest tak zdefiniowana, że energia kinetyczna pojedynczej wielowymiarowej cząstki o masie jednostkowej jest równa sumie energii kinetycznych trójwymiarowych cząstek o masach : ${\ Displaystyle \ Displaystyle m = 1}$${\ Displaystyle \ Displaystyle m_ {1}, \, \ ldots, \, m_ {N}}$

${\ Displaystyle T = {\ Frac {\ Vert \ mathbf {v} \ Vert ^ {2}} {2}} = \ suma _ {i = 1} ^ {N} m_ {i} \, {\ Frac { \ Vert \ mathbf {v} _ {i} \ Vert ^ {2}} {2}}}$.

( 4 )

Ograniczenia i współrzędne wewnętrzne

W niektórych przypadkach można ograniczyć ruch cząstek wraz z masami . Typowe ograniczenia wyglądają jak równania skalarne postaci ${\ Displaystyle \ Displaystyle m_ {1}, \, \ ldots, \, m_ {N}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ varphi _ {i} (\ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N}) = 0 \ quad i = 1 \ \ ldots \ , K}$.

( 5 )

Więzy postaci ( 5 ) nazywane są holonomicznymi i skleronomicznymi . W kategoriach promienia-wektora dynamicznego układu Newtona ( 3 ) są one zapisane jako ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathbf {r}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ varphi _ {i} (\ mathbf {r}) = 0, \ quad i = 1, \, \ ldots, \, K}$.

( 6 )

Każde takie ograniczenie zmniejsza o jeden liczbę stopni swobody dynamicznego układu Newtona ( 3 ). Dlatego ograniczony system ma stopnie swobody. ${\ Displaystyle \ Displaystyle n = 3 \, NK}$

Definicja . Równania więzów ( 6 ) definiują rozmaitość- wymiarową w przestrzeni konfiguracyjnej dynamicznego układu Newtona ( 3 ). Ta rozmaitość nazywana jest przestrzenią konfiguracyjną systemu ograniczonego. Jego wiązka styczna nazywana jest przestrzenią fazową układu ograniczonego. ${\ Displaystyle \ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ Displaystyle TM}$

Niech będą współrzędnymi wewnętrznymi punktu . Ich użycie jest typowe dla mechaniki Lagrange'a . Wektor promienia jest wyrażony jako pewna określona funkcja : ${\ Displaystyle \ Displaystyle q ^ {1}, \, \ ldots, \, q ^ {n}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathbf {r}}$${\ Displaystyle \ Displaystyle q ^ {1}, \, \ ldots, \, q ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (q ^ {1}, \, \ ldots, \, q ^ {n})}$.

( 7 )

Funkcja wektorowa ( 7 ) rozwiązuje równania więzów ( 6 ) w tym sensie, że po podstawieniu ( 7 ) do ( 6 ) równania ( 6 ) są identyczne . ${\ Displaystyle \ Displaystyle q ^ {1}, \, \ ldots, \, q ^ {n}}$

Prezentacja wewnętrzna wektora prędkości

Wektor prędkości ograniczonego układu dynamicznego Newtona wyraża się w postaci pochodnych cząstkowych funkcji wektorowej ( 7 ):

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathbf {v} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {r}} {\ częściowe q ^ {i}}} \, {\ kropka {q}} ^ {i}}$.

( 8 )

Wielkości nazywane są składowymi wewnętrznymi wektora prędkości. Czasami są one oznaczane oddzielnym symbolem ${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ kropka {q}} ^ {1}, \, \ ldots, \, {\ kropka {q}} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ kropka {q}} ^ {i} = w ^ {i}, \ qquad i = 1, \, \ ldots, \, n}$

( 9 )

a następnie traktowane jako zmienne niezależne. Ilości

${\ Displaystyle \ Displaystyle q ^ {1}, \, \ ldots, \, q ^ {n}, \, w ^ {1}, \, \ ldots, \, w ^ {n}}$

( 10 )

są używane jako wewnętrzne współrzędne punktu w przestrzeni fazowej ograniczonego układu dynamicznego Newtona. ${\ Displaystyle \ Displaystyle TM}$

Osadzanie i indukowana metryka riemannowska

Geometrycznie, funkcja wektorowa ( 7 ) implementuje osadzanie przestrzeni konfiguracyjnej ograniczonego układu dynamicznego Newtona w wielowymiarowej płaskiej przestrzeni konfiguracyjnej nieograniczonego systemu dynamicznego Newtona ( 3 ). W wyniku tego osadzenia struktury euklidesowej otaczającej przestrzeni indukuje metrykę Riemanniana na rozmaitości . Składowe tensora metrycznego tej metryki indukowanej są określone wzorem ${\ Displaystyle \ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ Displaystyle 3 \ N}$${\ Displaystyle \ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle g_ {ij} = \ lewo ({\ Frac {\ częściowe \ mathbf {r}} {\ częściowe q ^ {i}}}, {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {r}} {\ częściowe q ^ {j}}} \ right)}$,

( 11 )

gdzie jest iloczyn skalarny związany ze strukturą euklidesową ( 4 ). ${\ Displaystyle \ Displaystyle (\, \)}$

Energia kinetyczna wymuszonego newtonowskiego układu dynamicznego

Ponieważ struktura euklidesowa nieograniczonego układu cząstek jest wprowadzana poprzez ich energię kinetyczną, indukowana struktura Riemannowska w przestrzeni konfiguracyjnej układu ograniczonego zachowuje ten związek z energią kinetyczną: ${\ Displaystyle \ Displaystyle N}$${\ Displaystyle \ Displaystyle N}$

${\ Displaystyle T = {\ Frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} g_ {ij} \, w ^ {i} \, w ^ {j}}$.

( 12 )

Wzór ( 12 ) wyprowadza się przez podstawienie ( 8 ) do ( 4 ) i uwzględnienie ( 11 ).

Siły ograniczające

W przypadku dynamicznego systemu z ograniczeniami Newtona, ograniczenia opisane równaniami ( 6 ) są zwykle implementowane przez pewne ramy mechaniczne. Ta struktura wytwarza pewne siły pomocnicze, w tym siłę, która utrzymuje system w jego różnorodnej konfiguracji . Taka siła utrzymująca jest prostopadła do . Nazywa się to siłą normalną . Siła z ( 6 ) jest podzielona na dwie składowe ${\ Displaystyle \ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathbf {F}}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {F} _ {\ parallel} + \ mathbf {F} _ {\ perp}}$.

( 13 )

Pierwszy komponent w ( 13 ) jest styczny do kolektora konfiguracyjnego . Drugi składnik jest prostopadły do . Zbiega się z siłą normalną . Podobnie jak wektor prędkości ( 8 ), siła styczna ma swoją wewnętrzną prezentację ${\ Displaystyle \ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathbf {N}}$
${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathbf {F} _ {\ parallel}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathbf {F} _ {\ parallel} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {r}} {\ częściowe q ^ {i}}} \, F ^ {i}}$.

( 14 )

Wielkości w ( 14 ) nazywane są składowymi wewnętrznymi wektora siły. ${\ Displaystyle F ^ {1}, \, \ ldots, \, F ^ {n}}$

Drugie prawo Newtona w zakrzywionej przestrzeni

System dynamiczny Newtona ( 3 ) ograniczony do konfiguracji rozmaitej równaniami więzów ( 6 ) jest opisany równaniami różniczkowymi ${\ Displaystyle \ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle {\ Frac {dq ^ {s}} {dt}} = w ^ {s}, \ qquad {\ Frac {dw ^ {s}} {dt}} + \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ Gamma _ {ij} ^ {s} \, w ^ {i} \, w ^ {j} = F ^ {s}, \ qquad s = 1, \, \ ldots, \, n}$,

( 15 )

gdzie są Christoffel symbole o metryki połączenia wytwarzanego przez Riemanna danych ( 11 ). ${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {s}}$

Związek z równaniami Lagrange'a

Układy mechaniczne z ograniczeniami są zwykle opisywane równaniami Lagrange'a :

${\ Displaystyle {\ Frac {dq ^ {s}} {dt}} = w ^ {s}, \ qquad {\ Frac {d} {dt}} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe T} {\ częściowe w ^ {s}}} \ right) - {\ frac {\ częściowe T} {\ częściowe q ^ {s}}} = Q_ {s}, \ qquad s = 1, \, \ ldots, \, n}$,

( 16 )

gdzie jest energią kinetyczną ograniczonym układem dynamicznym określonym wzorem ( 12 ). Wielkości w ( 16 ) są wewnętrznymi składowymi kowariantnymi wektora siły stycznej (patrz ( 13 ) i ( 14 )). Są one tworzone z wewnętrznych kontrawariantnych składowych wektora za pomocą standardowej procedury obniżania indeksu z wykorzystaniem metryki ( 11 ): ${\ Displaystyle T = T (q ^ {1}, \ ldots, q ^ {n}, w ^ {1}, \ ldots, w ^ {n})}$${\ Displaystyle Q_ {1}, \, \ ldots, \, Q_ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ parallel}}$ ${\ Displaystyle F ^ {1}, \, \ ldots, \, F ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ parallel}}$

${\ Displaystyle Q_ {s} = \ suma _ {r = 1} ^ {n} g_ {sr} \, F ^ {r}, \ qquad s = 1, \, \ ldots, \, n}$,

( 17 )

Równania ( 16 ) są równoważne równaniom ( 15 ). Jednak metryka ( 11 ) i inne cechy geometryczne rozmaitości konfiguracyjnej nie są jednoznaczne w ( 16 ). Metrykę ( 11 ) można odzyskać z energii kinetycznej za pomocą wzoru ${\ Displaystyle \ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ Displaystyle T}$

${\ Displaystyle g_ {ij} = {\ Frac {\ częściowy ^ {2} T} {\ częściowy w ^ {i} \, \ częściowy w ^ {j}}}}$.

( 18 )

Zobacz też

• Zmodyfikowana dynamika Newtona