Współrzędne Plückera - Plücker coordinates

W geometrii , współrzędne Plucker , wprowadzone przez Julius Plücker w 19 wieku, to sposób przypisać sześć współrzędne jednorodne na każdej linii w projekcyjnej 3-przestrzeni , P ³ . Ponieważ spełniają one warunek kwadratowy, ustanawiają korelację jeden do jednego między 4-wymiarową przestrzenią prostych w P ³ i punktami na kwadracie w P ⁵ (przestrzeń rzutowa). Poprzednik i szczególny przypadek współrzędnych Grassmanna (które opisują k- wymiarowe podprzestrzenie liniowe lub mieszkania w n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej ), współrzędne Plückera powstają naturalnie w algebrze geometrycznej . Okazały się przydatne w grafice komputerowej , a także można je rozszerzyć na współrzędne śrub i kluczy w teorii kinematyki stosowanej do sterowania robotami .

Intuicja geometryczna

Linia w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej jest wyznaczona przez dwa różne punkty, które zawiera, lub przez dwie różne płaszczyzny, które ją zawierają. Rozważmy pierwszy przypadek, z punktami i . Przesunięcie wektora od do jest niezerowe, ponieważ punkty są różne i reprezentuje kierunek linii. Oznacza to, że każde przesunięcie między punktami jest skalarną wielokrotnością . Gdyby fizyczna cząstka o jednostkowej masie przemieściła się z do , miałaby chwilę o pochodzeniu. Odpowiednikiem geometrycznym jest wektor, którego kierunek jest prostopadły do ​​płaszczyzny zawierającej i początek, a długość jest równa dwukrotności pola trójkąta utworzonego przez przemieszczenie i początek. Traktując punkty jako przemieszczenia od początku, moment to m = x × y , gdzie „×” oznacza iloczyn poprzeczny wektora . W przypadku linii stałej , pole trójkąta jest proporcjonalne do długości odcinka pomiędzy i , uważanego za podstawę trójkąta; nie zmienia się poprzez przesuwanie podstawy wzdłuż linii, równolegle do siebie. Z definicji wektor momentu jest prostopadły do ​​każdego przemieszczenia wzdłuż linii, więc d ⋅ m = 0 , gdzie „⋅” oznacza iloczyn skalarny wektora . ${\ Displaystyle L}$${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle y=(rr_{1},rr_{2},rr_{3})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle d=yx}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Chociaż ani ani samotnie nie wystarcza do określenia , razem para robi to jednoznacznie, aż do wspólnej (niezerowej) wielokrotności skalarnej, która zależy od odległości między i . To znaczy współrzędne ${\displaystyle d}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

( d : m ) = ( d ₁ : d ₂ : d ₃ : m ₁ : m ₂ : m ₃ )

można uznać za jednorodne współrzędne dla L , w tym sensie, że wszystkie pary ( λ d : λ m ) dla λ  ≠ 0 mogą być wytworzone przez punkty na L i tylko L , a każda taka para wyznacza jednoznaczną linię, o ile d nie jest zero, d ⋅ m  = 0. Ponadto, takie podejście obejmuje to punkty , linie oraz płaszczyznę „w nieskończoności” , w znaczeniu geometrii rzutowej .

Przykład. Niech x  = (2,3,7) i y  = (2,1,0). Wtedy ( d : m ) = (0:-2:-7:-7:14:-4).

Alternatywnie, niech równania dla punktów x dwóch różnych płaszczyzn zawierających L będą

0 = + ⋅ x

0 = b + b ⋅ x .

Wtedy ich odpowiednie płaszczyzny są prostopadłe do wektorów a i b , a kierunek L musi być prostopadły do ​​obu. W związku z tym może się ustawić d  = x b , która jest różna od zera, ponieważ i b nie są ani równoległe ani zerowy (płaszczyzny jest różna i przecina). Jeśli punkt x spełnia oba równania płaszczyzny, to spełnia również kombinację liniową

0	= a ( b + b ⋅ x ) − b ( a + a ⋅ x )
	= ( a b − b a ) ⋅ x .

Oznacza to, że m  = a  b  −  b  a jest wektorem prostopadłym do przemieszczeń do punktów na L od początku; Jest to w rzeczywistości, moment, zgodny z d zdefiniowano poprzednio ze i b .

Dowód 1 : Trzeba wykazać, że m  = a  b  −  b  a = r × d = r × ( a × b ). ^{co to jest „ r ”?}

Bez utraty ogólności , nie mówiąc o ⋅ a = b ⋅ b = 1.

Punkt B jest początkiem. Linia L przechodzi przez punkt D i jest prostopadła do płaszczyzny obrazu. Dwie płaszczyzny przechodzą przez CD i DE i obie są prostopadłe do płaszczyzny obrazu. Punkty C i E są najbliższymi punktami na tych płaszczyznach początku B , dlatego kąty BCD i BED są kątami prostymi, a więc punkty B , C , D , E leżą na okręgu (z powodu twierdzenia Thalesa ). BD to średnica tego koła.

a  := BE/ ||BE||,   b  := BC/ ||BC||， r  := BD, − a = ||BE|| = ||BF||，− b = ||BC|| = ||BG||,   m = a b − b a = FG, || d || = || a × b || = grzech(FBG)

Kąt BHF jest kątem prostym ze względu na następujący argument. Niech . Ponieważ (przez kongruencję kątowo-boczną), to . Ponieważ niech . Według twierdzenia o kątach wpisanych , , więc . ; , zatem . Wtedy DHF również musi być pod kątem prostym. ${\ Displaystyle \ epsilon: = \ kąt BEC}$${\ Displaystyle \ Delta BEC \ cong \ Delta BFG}$${\ Displaystyle \ kąt BFG = \ epsilon}$${\ Displaystyle \ kąt BEC + \ kąt CED = 90 ^ {\ okrąg}}$${\ Displaystyle \ epsilon ': = 90 ^ {\ circ} - \ epsilon = \ kąt CED}$${\ Displaystyle \ kąt DEC = \ kąt DBC}$${\ Displaystyle \ kąt DBC = \ epsilon '}$${\ Displaystyle \ kąt HBF + \ kąt BFH + \ kąt FHB = 180 ^ {\ circ}}$${\ Displaystyle \ epsilon '+ \ epsilon + \ kąt FHB = 180 ^ {\ circ}}$${\ Displaystyle \ epsilon + \ epsilon '= 90 ^ {\ circ}}$${\ Displaystyle \ kąt FHB = 90 ^ {\ circ}}$

Kąty DCF i DHF są kątami prostymi, więc cztery punkty C, D, H, F leżą na okręgu i (według twierdzenia o przecinających się siecznych )

||BF|| ||BC|| = ||BH|| ||BD||, czyli ab  sin(FBG) = ||BH|| || r || sin(FBG), 2(pole trójkąta BFG) = ab sin(FBG) = ||BH|| ||FG|| = ||BH|| || r || grzech(FBG), || m || = ||FG|| = || r || sin(FBG) = || r || || d ||, sprawdź kierunek i m = r × d . ∎

Dowód 2 :

Niech a ⋅ a = b ⋅ b = 1. Oznacza to, że

a = −||BE||,      b = −||BC||.

Zgodnie z wektorową formułą potrójnego produktu ,

r × ( a × b ) = ( r ⋅ b ) a − ( r ⋅ a ) b

Następnie

r × ( a × b )	=	a || r || || b || cos(∠DBC) − b || r || || a || cos(∠DBE)
	=	a || r || cos(∠DBC) − b || r || cos(∠DBE)
	=	a ||BC|| − b ||BE||
	=	− b a − (− a ) b
	=	a b − b a      ∎

Kiedy || r || = 0, linia L przechodzi przez początek w kierunku d . Jeżeli || r || > 0, linia ma kierunek d ; płaszczyzna zawierająca początek i prostą L ma wektor normalny m ; linia jest styczna do okręgu na tej płaszczyźnie (normalnej do mi prostopadłej do płaszczyzny obrazu) o środku w punkcie początkowym i promieniu || r ||.

Przykład. Niech a ₀  = 2, a  = (−1,0,0) i b ₀  = −7, b  = (0,7,−2). Wtedy ( d : m ) = (0:-2:-7:-7:14:-4).

Chociaż zwykle algebraiczna definicja tendencję zaciemniać związku, ( d : m ) są współrzędnymi plucker z L .

Definicja algebraiczna

Pierwotne współrzędne

W trójwymiarowej przestrzeni rzutowej , niech będzie linią przechodzącą przez różne punkty i o jednorodnych współrzędnych i . ${\ Displaystyle P ^ {3}}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ ${\styl wyświetlania (x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})}$${\displaystyle (y_{0}:y_{1}:y_{2}:y_{3})}$

Współrzędne Plückera są zdefiniowane w następujący sposób: ${\displaystyle p_{ij}}$

${\displaystyle p_{ij}}$

${\ Displaystyle {} = {\ zacząć {vmatrix} x_ {i} i y_ {i} \ \ x_ {j} i y_ {j} \ koniec {vmatrix}} = x_ {i} y_ {j}-x_ {j} y_{i}.}$

(macierz skośno-symetryczna, której elementami są p _ij, nazywana jest również macierzą Plückera )
To implikuje p _ii  = 0 i p _ij  = − p _ji , redukując możliwości tylko do sześciu (4 wybierz 2) niezależnych wielkości. Sześcioro

${\ Displaystyle (p_ {01}: p_ {02}: p_ {03}: p_ {23}: p_ {31}: p_ {12})}$

jest jednoznacznie określony przez L aż do wspólnego niezerowego współczynnika skali. Co więcej, nie wszystkie sześć składników może wynosić zero. Zatem współrzędne Plückera L mogą być uważane za jednorodne współrzędne punktu w 5-wymiarowej przestrzeni rzutowej, jak sugeruje notacja dwukropka.

Aby zobaczyć te fakty, niech M będzie macierzą 4×2 ze współrzędnymi punktów w kolumnach.

${\ Displaystyle M = {\ zacząć {bmatrix} x_ {0} i y_ {0} \ \ x_ {1} i y_ {1} \ \ x_ {2} i y_ {2} \ \ x_ {3} i y_ {3} \ koniec{bmatryca}}}$

Plucker współrzędnych p _ij jest wyznacznikiem rzędów I i J o M . Ponieważ x i y są różnymi punktami, kolumny M są liniowo niezależne ; M ma rangę 2. Niech M′ będzie drugą macierzą, z kolumnami x′ i y′ inną parą różnych punktów na L . Wtedy kolumny M′ są liniowymi kombinacjami kolumn M ; więc dla jakiejś nieosobliwej macierzy 2×2 Λ,

${\ Displaystyle M' = M \ Lambda.}$

W szczególności, rzędy I i J z M ' i M są powiązane

${\ Displaystyle {\ zacznij {bmatrix} x'_ {i} i y'_ {i} \ \ x'_ {j} i y _ {j} \ koniec {bmatrix}} = {\ zacznij {bmatrix} x_ { i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{00}&\lambda _{01}\\\lambda _{10}& \lambda _{11}\koniec{bmatrycy}}.}$

Zatem wyznacznik macierzy lewej strony 2×2 jest równy iloczynowi wyznaczników macierzy prawej strony 2×2, z których ta ostatnia jest skalarem stałym, det Λ. Co więcej, wszystkie sześć poddeterminantów 2 × 2 w M nie może wynosić zero, ponieważ ranga M wynosi 2.

Mapa Plückera

Oznaczmy zbiór wszystkich linii (liniowych obrazów P ¹ ) w P ³ przez G _1,3 . Mamy więc mapę:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ alfa \ dwukropek \ operatorname {G} _ {1,3} i \ rightarrow \ mathbf {P} ^ {5} \ \ L i \ mapsto L ^ {\ alfa} \ koniec {wyrównany}}}$

gdzie

${\ Displaystyle L ^ {\ alfa} = (p_ {01}: p_ {02}: p_ {03}: p_ {23}: p_ {31}: p_ {12}).}$

Podwójne współrzędne

Alternatywnie linię można opisać jako przecięcie dwóch płaszczyzn. Niech L być linii zawarty w różnych płaszczyznach i b o współczynnikach jednorodnych ( ⁰ : ¹ : ² : ³ ) i ( b ⁰ : b ¹ : b ² : b ³ ), odpowiednio. (Na przykład równanie pierwszej płaszczyzny to Σ _k a ^k x _k = 0.) Podwójna współrzędna Plückera p ^ij to  

${\ Displaystyle p ^ {ij}}$

${\ Displaystyle {} = {\ zacząć {vmatrix} a ^ {i} i a ^ {j} \ \ b ^ {i} i b ^ {j} \ koniec {vmatrix}} = a ^ {i} b ^ {j }-a^{j}b^{i}.}$

Współrzędne podwójne są wygodne w niektórych obliczeniach i są równoważne współrzędnym podstawowym:

${\ Displaystyle (p_ {01}: p_ {02}: p_ {03}: p_ {23}: p_ {31}: p_ {12}) = (p ^ {23}: p ^ {31}: p ^ {12}:p^{01}:p^{02}:p^{03})}$

Tutaj równość między dwoma wektorami we współrzędnych jednorodnych oznacza, że ​​liczby po prawej stronie są równe liczbom po lewej stronie aż do pewnego wspólnego współczynnika skalowania . W szczególności niech ( i , j , k , ℓ ) będzie parzystą permutacją (0,1,2,3); następnie ${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle p_ {ij} = \ lambda p ^ {k \ ell}.}$

Geometria

Aby odnieść się z powrotem do intuicji geometrycznej, weź x ₀  = 0 jako płaszczyznę w nieskończoności; zatem współrzędne punktów nie w nieskończoności mogą być znormalizowane tak, że x ₀  = 1. Wtedy M staje się

${\ Displaystyle M = {\ zacząć {bmatrix} 1 i 1 \ \ x_ {1} i y_ {1} \ \ x_ {2} i y {2} \ \ x {3} i y _ {3} \ koniec {bmatrix}}},}$

i ustawienie i , mamy i . ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle y=(rr_{1},rr_{2},rr_{3})}$${\ Displaystyle d = (p_ {01}, p_ {02}, p_ {03})}$${\ Displaystyle m = (p_ {23}, p_ {31}, p_ {12})}$

Podwójnie mamy i . ${\ Displaystyle d = (p ^ {23}, p ^ {31}, p ^ {12})}$${\ Displaystyle m = (p ^ {01}, p ^ {02}, p ^ {03})}$

Bijection między liniami i kwadryką Kleina

Równania płaszczyzny

Jeżeli punkt z  = ( z ₀ : z ₁ : z ₂ : z ₃ ) leży na L , to kolumny

${\displaystyle {\zaczynać{bmatrix}x_{0}&y_{0}&z_{0}\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\ \x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{bmacierz}}}$

są liniowo zależne , tak że rząd tej większej macierzy nadal wynosi 2. Oznacza to, że wszystkie podmacierze 3×3 mają wyznacznik zero, generując cztery (4 wybierz 3) równania płaszczyzn, takie jak

${\ Displaystyle {\ zacznij {wyrównany} 0 i = {\ zacznij {vmatrix} x_ {0} i y_ {0} i z_ {0} \ \ x_ {1} i y_ {1} i z_ {1} \ \ x_ {2} i y_ {2}&z_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}} z_{0}-{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}z_{1}+{\begin{vmatrix}x_{0} &y_{0}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}z_{2}\\[5pt]&=p_{12}z_{0}-p_{02}z_{1}+p_ {01}z_{2}.\\[5pt]&=p^{03}z_{0}+p^{13}z_{1}+p^{23}z_{2}.\end{wyrównany} }}$

Otrzymane cztery możliwe płaszczyzny są następujące.

${\ Displaystyle {\ zacząć {macierz} 0 i = i {} + p_ {12} z_ {0} i {}-p_ {02} z_ {1} i {} + p_ {01} z_ {2} i \\ 0&=&{}-p_{31}z_{0}&{}-p_{03}z_{1}&&{}+p_{01}z_{3}\\0&=&{}+p_{23} z_{0}&&{}-p_{03}z_{2}&{}+p_{02}z_{3}\\0&=&&{}+p_{23}z_{1}&{}+p_{ 31}z_{2}&{}+p_{12}z_{3}\end{macierz}}}$

Używając podwójnych współrzędnych i pozwalając ( a ⁰ : a ¹ : a ² : a ³ ) być współczynnikami linii, każdy z nich to po prostu a ⁱ  = p ^ij , lub

${\ Displaystyle 0 = \ suma _ {i = 0} ^ {3} p ^ {ij} z_ {i}, \ qquad j = 0, \ ldots, 3.}$

Każda współrzędna Plückera pojawia się w dwóch z czterech równań, za każdym razem mnożąc inną zmienną; a ponieważ co najmniej jedna ze współrzędnych jest niezerowa, gwarantujemy niepuste równania dla dwóch różnych płaszczyzn przecinających się w L . W ten sposób współrzędne Plückera linii określają tę linię jednoznacznie, a odwzorowanie α jest wstrzyknięciem .

Relacja kwadratowa

Obraz α nie jest kompletnym zbiorem punktów w P ⁵ ; współrzędne Plückera linii L spełniają kwadratową relację Plückera

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} 0 i = p_ {01} p ^ {01} + p_ {02} p ^ {02} + p_ {03} p ^ {03} \ \ & = p_ {01} p_ { 23}+p_{02}p_{31}+p_{03}p_{12}.\end{wyrównany}}}$

Jako dowód zapisz ten wielomian jednorodny jako wyznaczniki i użyj rozwinięcia Laplace'a (w odwrotnej kolejności).

${\ Displaystyle {\ zacznij {wyrównany} 0 i = {\ zacznij {vmatrix} x_ {0} i y_{0} \ \ x_ {1} i y_ {1} \ koniec {vmatrix}} {\ zacznij {vmatrix} x_ {2 }&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix }}{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_ {3}&y_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&= (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1}){\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}- (x_{0}y_{2}-y_{0}x_{2}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+ (x_{0}y_{3}-y_{0}x_{3}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\ \[5pt]&=x_{0}\left(y_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{ 2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+y_{3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1 }\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\right)-y_{0}\left(x_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{ 3}&y_{3}\end{vmatrix}}-x_{2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+x_{ 3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\ po prawej)\\[5pt]&=x_{0}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}&y_{2}\\x_{3 }&y_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{0}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}&x_{2}&y_{ 2}\\x_{3}&x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}\end{wyrównany}}}$

Ponieważ oba wyznaczniki 3 × 3 mają zduplikowane kolumny, prawa strona ma identyczne zero.

Inny dowód można zrobić tak: Ponieważ wektor

${\ Displaystyle d = \ lewo (p_ {01}, p_ {02}, p_ {03} \ po prawej)}$

jest prostopadła do wektora

${\ Displaystyle m = \ lewo (p_ {23}, p_ {31}, p_ {12} \ prawej)}$

(patrz wyżej), iloczyn skalarny d i m musi wynosić zero! co było do okazania

Równania punktowe

Niech ( x ₀ : x ₁ : x ₂ : x ₃ ) będą współrzędnymi punktu, każdy z czterech możliwych punktów na prostej ma współrzędne x _i  = p _ij , dla j  = 0...3. Niektóre z tych możliwych punktów mogą być niedopuszczalne, ponieważ wszystkie współrzędne są zerowe, ale ponieważ co najmniej jedna współrzędna Plückera jest niezerowa, gwarantowane są co najmniej dwa różne punkty.

Bijektywność

Jeżeli ( q ₀₁ : q ₀₂ : q ₀₃ : q ₂₃ : q ₃₁ : q ₁₂ ) są jednorodnymi współrzędnymi punktu w P ⁵ , bez utraty ogólności załóżmy, że q ₀₁ jest niezerowe. Następnie macierz

${\ Displaystyle M = {\ zacząć {bmatrix} q_ {01} i 0 \ \ 0 i q_ {01} \ \-q_ {12} i q_ {02} \ \ q_ {31} i q_ {03} \ koniec {bmatrix}}}$

ma rangę 2, a więc jej kolumny są odrębnymi punktami definiującymi linię L . Gdy współrzędne P ⁵ , q _ij , spełniają kwadratową relację Plückera, są to współrzędne Plückera L . Aby to zobaczyć, najpierw znormalizuj q ₀₁ do 1. Następnie od razu mamy, że dla współrzędnych Plückera obliczonych z M , p _ij  = q _ij , z wyjątkiem

${\ Displaystyle p_ {23} = -q_ {03} q_ {12}-q_ {02} q_ {31}.}$

Ale jeśli q _ij spełnia relację Plückera q ₂₃ + q ₀₂ q ₃₁ + q ₀₃ q ₁₂  = 0, to p ₂₃  = q ₂₃ , uzupełniając zbiór tożsamości.

W konsekwencji α jest sujekcją na rozmaitość algebraiczną składającą się ze zbioru zer wielomianu kwadratowego

${\ Displaystyle p_ {01} p_ {23} + p_ {02} p_ {31} + p_ {03} p_ {12}.}$

A ponieważ α jest również wstrzyknięciem, proste w P ³ są zatem w bijektywnej korespondencji z punktami tej kwadryki w P ⁵ , zwanej kwadryką Plückera lub kwadryką Kleina .

Zastosowania

Współrzędne Plückera umożliwiają zwięzłe rozwiązania problemów geometrii linii w przestrzeni trójwymiarowej, zwłaszcza tych, które dotyczą padania .

Skrzyżowanie linia-linia

Dwie linie w P ³ są skośne lub współpłaszczyznowe , aw tym drugim przypadku pokrywają się lub przecinają w jednym punkcie. Jeśli p _ij i p ′ _ij są współrzędnymi Plückera dwóch prostych, to są one dokładnie współpłaszczyznowe, gdy d • m ′+ m • d ′ = 0, jak pokazano

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} 0 & = p_ {01} p'_ {23} + p_ {02} p'_ {31} + p_ {03} p'_ {12} + p_ {23} p' _{01}+p_{31}p'_{02}+p_{12}p'_{03}\\[5pt]&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&x'_ {0}&y'_{0}\\x_{1}&y_{1}&x'_{1}&y'_{1}\\x_{2}&y_{2}&x'_{2}&y'_ {2}\\x_{3}&y_{3}&x'_{3}&y'_{3}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

Kiedy linie są pochylać, znak wyniku wskazuje na poczucie skrzyżowania: dodatnia jeżeli śruba praworęczny bierze L do L ', inny negatywny.

Kwadratowa relacja Plückera zasadniczo stwierdza, że ​​prosta jest ze sobą współpłaszczyznowa.

Połączenie linia-linia

W przypadku, gdy dwie linie są współpłaszczyznowe, ale nie równoległe, ich wspólna płaszczyzna ma równanie

0 = ( m • d ) x ₀ + ( d × d ′) • x ,

gdzie ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})}$

Najmniejsza perturbacja zniszczy istnienie wspólnej płaszczyzny, a prawie równoległość linii spowoduje liczbowe trudności w znalezieniu takiej płaszczyzny, nawet jeśli ona istnieje.

Spotkanie linii-linia

Podwójnie dwie współpłaszczyznowe linie, z których żadna nie zawiera początku, mają wspólny punkt

( x ₀  : x ) = ( d • m : m × m ′ ) .

Aby obsłużyć wiersze, które nie spełniają tego ograniczenia, zobacz odniesienia.

Spotkanie linii samolotu

Biorąc pod uwagę samolot z równaniem

${\displaystyle 0=a^{0}x_{0}+a^{1}x_{1}+a^{2}x_{2}+a^{3}x_{3},}$

lub bardziej zwięźle 0 = a ⁰ x ₀ + a • x ; i biorąc pod uwagę, że nie ma w niej prostej o współrzędnych Plückera ( d : m ), to ich punkt przecięcia jest

( x ₀  : x ) = ( a • d  : a × m − a ₀ d ) .

Współrzędne punktu ( x ₀ : x ₁ : x ₂ : x ₃ ) mogą być również wyrażone we współrzędnych Plückera jako

${\ Displaystyle x_ {i} = \ suma _ {j \ neq ja} a ^ {j} p_ {ij} \ qquad i = 0 \ ldots 3.}$

Połączenie punkt-linia

Podwójnie, mając punkt ( y ₀ : y ) i prostą go nie zawierającą, ich wspólna płaszczyzna ma równanie

0 = ( y • m ) x ₀ + ( y × d − y ₀ m ) • x .

Współrzędne płaszczyzny ( a ⁰ : a ¹ : a ² : a ³ ) mogą być również wyrażone w postaci podwójnych współrzędnych Plückera jako

${\ Displaystyle a ^ {i} = \ suma _ {j \ neq i} y_ {j} p ^ {ij} \ qquad i = 0 \ ldots 3.}$

Rodziny linii

Ponieważ kwadryka Kleina znajduje się w P ⁵ , zawiera podprzestrzenie liniowe o wymiarze pierwszym i drugim (ale nie wyższym). Odpowiadają one jedno- i dwuparametrowym rodzinom linii w P ³ .

Na przykład załóżmy, że L i L są różnymi liniami w P ³ wyznaczonymi odpowiednio przez punkty x , y i x ′, y ′. Kombinacje liniowe ich wyznaczających punktów dają kombinacje liniowe ich współrzędnych Plückera, generując jednoparametrową rodzinę linii zawierających L i L ′. Odpowiada to jednowymiarowej liniowej podprzestrzeni należącej do kwadryki Kleina.

Linie w samolocie

Jeśli trzy różne i nierównoległe linie są współpłaszczyznowe; ich kombinacje liniowe generują dwuparametrową rodzinę linii, wszystkie linie w płaszczyźnie. Odpowiada to dwuwymiarowej liniowej podprzestrzeni należącej do kwadryki Kleina.

Linie przechodzące przez punkt

Jeśli trzy różne i niewspółpłaszczyznowe linie przecinają się w punkcie, ich kombinacje liniowe generują dwuparametrową rodzinę linii, wszystkie linie przechodzące przez punkt. Odpowiada to również dwuwymiarowej liniowej podprzestrzeni należącej do kwadryki Kleina.

Rządzona powierzchnia

Wykluczyć powierzchnia to rodzina linii, które niekoniecznie jest liniowa. Odpowiada to krzywej na kwadrze Kleina. Na przykład hiperboloid jednego arkusza jest powierzchnią kwadratową w P ³ rządzoną przez dwie różne rodziny linii, z których każda przechodzi przez każdy punkt powierzchni; każda rodzina odpowiada pod mapą Plückera do przekroju stożkowego w kwadrze Kleina w P ⁵ .

Geometria linii

W XIX wieku intensywnie badano geometrię liniową . W kategoriach bijekcji podanej powyżej, jest to opis wewnętrznej geometrii kwadryki Kleina.

Śledzenie promieni

Geometria linii jest szeroko stosowana w aplikacji do śledzenia promieni , gdzie geometria i przecięcia promieni muszą być obliczane w 3D. Implementacja jest opisana we Wstępie do współrzędnych Plückera napisanym dla forum Ray Tracing przez Thouisa Jonesa.

Zobacz też

• Płaska płaszczyzna rzutowa
• Matryca plückera

Bibliografia

• Hodge'a, WVD ; D. Pedoe (1994) [1947]. Metody geometrii algebraicznej, tom I (księga II) . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 978-0-521-46900-5.
• Behnke, H.; F. Bachmanna; K. Fladt; H. Kunle, wyd. (1984). Podstawy Matematyki, Tom II: Geometria . przeł. SH Gould. MIT Naciśnij . Numer ISBN 978-0-262-52094-2.
  Z niemieckiego: Grundzüge der Mathematik, Band II: Geometrie . Vandenhoecka i Ruprechta.
• Guilfoyle, B.; W. Klingenberga (2004). „Na przestrzeni zorientowanych linii afinicznych w R^3”. Archiwum Matematyki . Birkhäuser . 82 (1): 81-84. arXiv : matematyka/0405189 . doi : 10.1007/s00013-003-4861-3 . ISSN  0003-889X .
• Kuptsov, LP (2001) [1994], "Współrzędne Plückera" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• Mason, Mateusz T.; J. Kennetha Salisbury'ego (1985). Ręce robota i mechanika manipulacji . MIT Naciśnij . Numer ISBN 978-0-262-13205-3.
• Hartley, R.~I.; Zisserman A. (2004). Geometria wielu widoków w widzeniu komputerowym . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . Numer ISBN 0521540518.
• Hohmeyer, M.; S. Tellera (1999). „Określanie linii za pomocą czterech linii” (PDF) . Dziennik narzędzi graficznych . AK Petersa . 4 (3): 11–22. doi : 10.1080/10867651.1999.10487506 . ISSN  1086-7651 .
• Szafarewicz, IR ; AO Remizow (2012). Algebra liniowa i geometria . Springer . Numer ISBN 978-3-642-30993-9.
• Jia, Yan-Bin (2017). Współrzędne Plückera dla linii w przestrzeni (PDF) (raport).
• Szewc, Ken (1998). "Samouczek dotyczący współrzędnych Plückera" . Aktualności dotyczące śledzenia promieni . Źródło 4 lipca 2018 .