Współpłaszczyznowość — Coplanarity

W geometrii zbiór punktów w przestrzeni jest współpłaszczyznowy, jeśli istnieje płaszczyzna geometryczna , która je wszystkie zawiera. Na przykład trzy punkty są zawsze współpłaszczyznowe, a jeśli punkty są różne i nie są współliniowe , określana przez nie płaszczyzna jest unikalna. Jednak zestaw czterech lub więcej odrębnych punktów nie będzie na ogół leżeć na jednej płaszczyźnie.

Dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej są współpłaszczyznowe, jeśli istnieje płaszczyzna, która obejmuje je obie. Dzieje się tak, gdy linie są równoległe lub przecinają się . Dwie linie, które nie są współpłaszczyznowe, nazywane są liniami ukośnymi .

Geometria odległości zapewnia technikę rozwiązania problemu określania, czy zbiór punktów jest współpłaszczyznowy, znając jedynie odległości między nimi.

Właściwości w trzech wymiarach

W przestrzeni trójwymiarowej dwa liniowo niezależne wektory z tym samym punktem początkowym wyznaczają płaszczyznę przechodzącą przez ten punkt. Ich iloczyn poprzeczny jest wektorem normalnym do tej płaszczyzny, a każdy wektor prostopadły do tego iloczynu poprzecznego przez punkt początkowy będzie leżeć na płaszczyźnie. Prowadzi to do następującego testu współpłaszczyznowości przy użyciu potrójnego iloczynu skalarnego :

Cztery różne punkty, $x 1, x 2, x 3$ i $x 4$ są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy,

{\ Displaystyle [(x_ {2}-x_ {1}) \ razy (x_ {4}-x_ {1})] \ cdot (x_ {3}-x_ {1}) = 0.}

co jest również równoważne

{\ Displaystyle (x_ {2}-x_ {1}) \ cdot [(x_ {4}-x_ {1}) \ razy (x_ {3}-x_ {1})] = 0.}

Jeżeli trzy wektory $,$ $b$ i $c$ są w jednej płaszczyźnie, a następnie, jeśli $\cdot$ $b$ $= 0$ (tzn i $b$ są ortogonalne), a następnie

{\ Displaystyle (\ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {\ kapelusz {a}} ) \ mathbf {\ kapelusz {a}} + (\ mathbf {c} \ cdot \ mathbf {\ kapelusz {b}}}) \ mathbf {\kapelusz {b}} =\mathbf {c} ,}

gdzie oznacza wektor jednostkowy w kierunku $a$ . Oznacza to, że występy wektor z $C$ na i $c$ o $b$ dodatku, otrzymując pierwotną $C$ . $\mathbf {\kapelusz {a}}$

Współpłaszczyznowość punktów w n wymiarach, których współrzędne są podane

Ponieważ trzy lub mniej punktów jest zawsze współpłaszczyznowych, problem ustalenia, kiedy zbiór punktów jest współpłaszczyznowy, jest generalnie interesujący tylko wtedy, gdy zaangażowane są co najmniej cztery punkty. W przypadku, gdy są dokładnie cztery punkty, można zastosować kilka metod ad hoc, ale ogólna metoda, która działa dla dowolnej liczby punktów, wykorzystuje metody wektorowe i właściwość, że płaszczyznę wyznaczają dwa liniowo niezależne wektory .

W przestrzeni $n-$ wymiarowej ( $n \geq 3$ ) zbiór $k$ punktów ${p 0, p 1, ..., p k - 1}$ jest współpłaszczyznowy wtedy i tylko wtedy, gdy macierz ich względnych różnic, czyli macierz, której kolumny (lub wiersze) są wektorami, ma rangę 2 lub mniejszą. ${\overrightarrow {p_{0}p_{1}}},{\overrightarrow {p_{0}p_{2}}},\ldots,{\overrightarrow {p_{0}p_{k-1} }}$

Na przykład, biorąc pod uwagę cztery punkty, $X = (x 1, x 2, ... , x n), Y = (y 1, y 2, ... , y n), Z = (z 1, z 2, ... , z n)$ i $W = (w 1, w 2, ... , w n)$ , jeśli macierz

{\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} x_ {1}-w_ {1} i x_ {2}-w_ {2} i \ kropki i x_ {n}-w_ {n} \ \ y_ {1}-w_ {1} &y_{2}-w_{2}&\dots &y_{n}-w_{n}\\z_{1}-w_{1}&z_{2}-w_{2}&\dots &z_{n}-w_ {n}\\\koniec{bmatrycy}}}

ma rangę 2 lub mniej, cztery punkty są współpłaszczyznowe.

W szczególnym przypadku płaszczyzny, która zawiera początek, właściwość można uprościć w następujący sposób: Zbiór $k$ punktów i początek są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy macierz współrzędnych $k$ punktów jest rzędu 2 lub mniej.

Figury geometryczne

Wielokąt skośny jest wielokąt , którego wierzchołki nie leżą w jednej płaszczyźnie. Taki wielokąt musi mieć co najmniej cztery wierzchołki; nie ma trójkątów skośnych.

Wielościan , który ma pozytywny objętość ma wierzchołki, że nie wszystkie są w jednej płaszczyźnie.

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki

Weisstein, Eric W. „Coplanar” . MatematykaŚwiat .

Languages

In other projects