Funkcja zliczania premier - Prime-counting function

W matematyce , funkcja prime-liczenie jest funkcja zliczania liczby liczb pierwszych mniejsza lub równa w pewnym liczby rzeczywistej x . Jest oznaczony przez π ( x ) (niezwiązany z liczbą π ).

Wartości π ( n ) dla pierwszych 60 dodatnich liczb całkowitych

Historia

Dużym zainteresowaniem w teorii liczb jest tempo wzrostu funkcji zliczania liczb pierwszych. Pod koniec XVIII wieku Gauss i Legendre przypuszczali, że wynosi około

${\displaystyle {\frac {x}{\log(x)}}}$

w tym sensie, że

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} {\ Frac {\ pi (x)} {x/\ log (x)}} = 1.}$

To stwierdzenie jest twierdzeniem o liczbach pierwszych . Równoważnym stwierdzeniem jest

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} \ pi (x) / \ operatorname {li} (x) = 1}$

gdzie li jest logarytmiczną funkcją całki . Twierdzenie o liczbach pierwszych zostało po raz pierwszy udowodnione w 1896 r. przez Jacquesa Hadamarda i Charlesa de la Vallée Poussina niezależnie, wykorzystując własności funkcji zeta Riemanna wprowadzonej przez Riemanna w 1859 r. Znaleziono dowody twierdzenia o liczbach pierwszych nie wykorzystujących funkcji zeta ani analizy zespolonej około 1948 przez Atle Selberga i Paula Erdősa (w większości niezależnie).

W 1899 de la Vallée Poussin udowodnił, że (patrz także Twierdzenie 23 z)

${\ Displaystyle \ pi (x) = \ operatorname {li} (x) + O \ lewo (xe ^ {-a {\ sqrt {\ log x}}} \ prawej) \ quad {\ tekst {jako}} x \do \infty }$

dla pewnej dodatniej stałej a . Tutaj O (...) jest dużym oznaczeniem O .

Obecnie znane są dokładniejsze szacunki . Na przykład w 2002 roku Kevin Ford udowodnił, że ${\ Displaystyle \ pi (x) \!}$

${\ Displaystyle \ pi (x) = \ operatorname {li} (x) + O \ lewo (x \ exp \ lewo (-0,2098 (\ log x) ^ {\ Frac {3} {5}}) (\ log \ log x)^{-{\frac {1}{5}}}\right)\right).}$

Mossinghoff i Trudgian udowodnili wyraźnie górną granicę różnicy między a : ${\ Displaystyle \ pi (x)}$${\ Displaystyle \ operatorname {li} (x)}$

${\ Displaystyle {\ duży |} \ pi (x) - \ nazwa operatora {li} (x) {\ duży |} \ leq 0,2593 {\ Frac {x} {(\ log x) ^ {3/4}}} \exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.315}}}\right)}$

dla . ${\displaystyle x\geq 229}$

Dla większości interesujących nas wartości (tzn. kiedy nie jest bezzasadnie duża) jest większa niż . Wiadomo jednak, że zmienia znak nieskończenie wiele razy. Aby zapoznać się z dyskusją na ten temat, zobacz numer Skewesa . ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle \ operatorname {li} (x)}$${\ Displaystyle \ pi (x)}$${\ Displaystyle \ pi (x) - \ nazwa operatora {li} (x)}$

Dokładna forma

Bo niech when jest liczbą pierwszą, a inaczej. Niezwykle ważne, Bernhard Riemann udowodnił, że równa się ${\displaystyle x>1}$${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ pi (x) -1 / 2}$${\displaystyle x}$${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ pi (x)}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x)}$

${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ nazwa operatora {R} (x) - \ suma _ {\ rho} \ nazwa operatora {R} (x ^ {\ rho})}$

gdzie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {R} (x) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ mu (n)} {n}} \ nazwa operatora {li} (x ^ {1} n}),}$

μ ( n ) to funkcja Möbiusa , li( x ) to logarytmiczna funkcja całkująca , ρ indeksuje każde zero funkcji zeta Riemanna , a li( x ^ρ/n ) nie jest oceniane z odcięciem rozgałęzienia, ale zamiast tego uważane za Ei( ρ/nlog x ) gdzie Ei( x ) jest całką wykładniczą . Jeśli trywialne zera są gromadzone, a suma jest podejmowane tylko na nieoczywiste zerami p w funkcji zeta Riemanna , a następnie mogą być aproksymowane ${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x)}$

${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) \ około \ nazwa operatora {R} (x) - \ suma _ {\ rho} \ nazwa operatora {R} (x ^ {\ rho}) - {\ Frac {1} {\log {x}}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log {x}}}.}$

Hipoteza Riemanna sugeruje, że każde takie nie trywialne zerowe leży wzdłuż Re ( s ) =1/2.

Tabela π ( x ), x / log x i li( x )

Tabela pokazuje porównanie trzech funkcji π ( x ), x / log x i li( x ) przy potęgach 10. Zobacz także i

x	π ( x )	π ( x ) − x / log x	li( x ) − π ( x )	x / π ( x )	x / log x  % błędu
10	4	-0,3	2.2	2.500	-7,5%
10 2	25	3,3	5.1	4.000	13,20%
10 3	168	23	10	5,952	13,69%
10 4	1,229	143	17	8.137	11,64%
10 5	9 592	906	38	10.425	9,45%
10 6	78,498	6 116	130	12,740	7,79%
10 7	664,579	44,158	339	15.047	6,64%
10 8	5 761 455	332 774	754	17,357	5,78%
10 9	50 847 534	2 592 592	1,701	19.667	5,10%
10 10	455,052,511	20 758 029	3104	21,975	4,56%
10 11	4 118 054 813	169 923 159	11 588	24.283	4,13%
10 12	37 607 912 18	1 416 705 193	38,263	26,590	3,77%
10 13	346 065 536 839	11 992 858 452	108 971	28,896	3,47%
10 14	3 204 941 750 802	102 838 308 636	314,890	31.202	3,21%
10 15	29 844 570 422 669	891,604,962,452	1 052 619	33,507	2,99%
10 16	279 238 341 033 925	7 804 289 844 393	3 214 632	35.812	2,79%
10 17	2 623 557 157 654 233	68 883 734 693 281	7 956 589	38,116	2,63%
10 18	24 739 954 287 740 860	612 483 070 893 536	21 949 555	40.420	2,48%
10 19	234 057 667 276 344 607	5 481 624 169 369 960	99 877 775	42,725	2,34%
10 20	2 220 819 602 560 918 840	49 347 193 044 659 701	222 744 644	45.028	2,22%
10 21	21 127 269 486 018 731 928	446 579 871 578 168 707	597 394 254	47,332	2,11%
10 22	201 467 286 689 315 906 290	4 060 704 006 019 620 994	1 932 355 208	49,636	2,02%
10 23	1 925 320 391 606 803 968 923	37 083 513 766 578 631 309	7 250 186 216	51,939	1,93%
10 24	18 435 599 767 349 200 867 866	339 996 354 713 708 049 069	17 146 907 278	54.243	1,84%
10 25	176 846 309 399 143 769 411 680	3 128 516 637 843 038 351228	55 160 980 939	56,546	1,77%
10 26	1 699 246 750 872 437 141 327 603	28 883 358 936 853 188 823 261	155 891 678 121	58,850	1,70%
10 27	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267 479 615 610 131 274 163 365	508 666 658 006	61,153	1,64%

Wykres przedstawiający stosunek funkcji zliczania liczb pierwszych π ( x ) do dwóch jej przybliżeń, x /log x i Li( x ). Wraz ze wzrostem x (zauważ, że oś x jest logarytmiczna), oba stosunki dążą do 1. Stosunek x /log x zbiega się z góry bardzo powoli, podczas gdy stosunek dla Li( x ) zbiega się szybciej od dołu.

W on-line z Encyklopedii Integer sekwencji The π ( x kolumna) jest sekwencja OEIS :  A006880 , π ( x ) - x / log x jest sekwencja OEIS :  A057835 , a Li ( x ) - π ( x ) jest sekwencja OEIS :  A057752 .

Wartość π (10 ²⁴ ) została pierwotnie obliczona przez J. Buethego, J. Franke , A. Josta i T. Kleinjunga przy założeniu hipotezy Riemanna . Zostało to później zweryfikowane bezwarunkowo w obliczeniach przez DJ Platta. Wartość π (10 ²⁵ ) zawdzięczamy J. Buethe, J. Franke , A. Jost i T. Kleinjung. Wartość π (10 ²⁶ ) została obliczona przez DB Staple. Wszystkie inne wcześniejsze wpisy w tej tabeli zostały również zweryfikowane w ramach tej pracy.

Wartość 10 ²⁷ ogłosili w 2015 roku David Baugh i Kim Walisch.

Algorytmy obliczania π ( x )

Prostym sposobem na znalezienie , jeśli nie jest zbyt duże, jest użycie sita Eratostenesa do wytworzenia liczb pierwszych mniejszych lub równych, a następnie ich policzenia. ${\ Displaystyle \ pi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Bardziej wymyślny sposób znajdowania wynika z Legendre'a (z wykorzystaniem zasady włączania i wykluczania ): jeśli są to odrębne liczby pierwsze, to liczba liczb całkowitych mniejszych lub równych, które są podzielne przez nie, jest ${\ Displaystyle \ pi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p_{i}}$

${\ Displaystyle \ l piętro x \ r piętro - \ suma _ {i} \ lewo \ l piętro {\ frac {x} p_ {i}}} \ prawo \ r piętro + \ suma _ {i <j} \ lewo \ l piętro { \frac {x}{p_{i}p_{j}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j} p_{k}}}\prawo\rpodłoga +\cdots }$

(gdzie oznacza funkcję podłogi ). Liczba ta jest zatem równa ${\displaystyle \lpodłoga {x}\rpodłoga}$

${\ Displaystyle \ pi (x) - \ pi \ lewo ({\ sqrt {x}} \ prawej) + 1}$

gdy liczby są liczbami pierwszymi mniejszymi lub równymi pierwiastkowi kwadratowemu z . ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}}$${\displaystyle x}$

Algorytm Meissel-Lehmer

W serii artykułów opublikowanych w latach 1870-1885 Ernst Meissel opisał (i zastosował) praktyczny kombinatoryczny sposób ewaluacji . Niech będą pierwszymi liczbami pierwszymi i oznacz przez liczbę liczb naturalnych nie większych niż podzielne przez nie . Następnie ${\ Displaystyle \ pi (x)}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots,p_{n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ Phi (m, n)}$${\ Displaystyle m}$${\displaystyle p_{i}}$

${\ Displaystyle \ Phi (m, n) = \ Phi (m, n-1) - \ Phi \ lewo ({\ Frac {m} {p_ {n}}}, n-1 \ prawej).}$

Biorąc pod uwagę liczbę naturalną , jeśli i jeśli , to ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n = \ pi \ lewo ({\ sqrt [{3}] {m}} \ po prawej)}$${\ Displaystyle \ mu = \ pi \ lewo ({\ sqrt {m}} \ po prawej) -n}$

${\ Displaystyle \ pi (m) = \ Phi (m, n) + n (\ mu + 1) + {\ Frac {\ mu ^ {2} - \ mu} {2}} -1 - \ suma _ { k=1}^{\mu }\pi \lewo({\frac {m}{p_{n+k}}}\prawo).}$

Stosując to podejście, Meissel obliczane na równe 5 x 10 ⁵ , 10 ⁶ , 10, ⁷ i 10 ⁸ . ${\ Displaystyle \ pi (x)}$${\displaystyle x}$

W 1959 Derrick Henry Lehmer rozszerzył i uprościł metodę Meissela. Zdefiniuj, dla liczb rzeczywistych i naturalnych oraz , jako liczbę liczb nie większych niż m z dokładnie k czynnikami pierwszymi, wszystkie większe niż . Ponadto ustaw . Następnie ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle P_ {k} (m, n)}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle P_{0}(m,n)=1}$

${\ Displaystyle \ Phi (m, n) = \ suma _ {k = 0} ^ {+ \ infty} P_ {k} (m, n)}$

gdzie suma faktycznie ma tylko skończenie wiele niezerowych wyrazów. Pozwolić oznaczają liczbę całkowitą takie, że i ustaw . Wtedy i kiedy . W związku z tym, ${\displaystyle y}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{m}}\leq r\leq {\sqrt {m}}}$${\ Displaystyle n = \ pi (y)}$${\ Displaystyle P_ {1} (m, n) = \ pi (m)-n}$${\ Displaystyle P_ {k} (m, n) = 0}$${\displaystyle k\geq 3}$

${\ Displaystyle \ pi (m) = \ Phi (m, n) + n-1-P_ {2} (m, n)}$

Obliczenie można uzyskać w ten sposób: ${\displaystyle P_{2}(m,n)}$

${\ Displaystyle P_ {2} (m, n) = \ suma _ {y<p \ leq {\ sqrt {m}}} \ lewo (\ pi \ lewo ({\ Frac {m} {p}} \ prawo )-\pi (p)+1\prawo),}$

gdzie suma jest powyżej liczb pierwszych.

Z drugiej strony, obliczenia można wykonać za pomocą następujących zasad: ${\ Displaystyle \ Phi (m, n)}$

1. ${\ Displaystyle \ Phi (m, 0) = \ l piętro m \ r piętro}$
2. ${\ Displaystyle \ Phi (m, b) = \ Phi (m, b-1) - \ Phi \ lewo ({\ Frac {m} {p_ {b}}}, b-1 \ prawej)}$

Używając swojej metody i IBM 701 , Lehmer był w stanie obliczyć . ${\ Displaystyle \ pi \ lewo (10 ^ {10} \ prawo)}$

Dalsze ulepszenia tej metody zostały wprowadzone przez Lagarias, Miller, Odlyzko, Deléglise i Rivat.

Inne funkcje zliczania liczb pierwszych

Używane są również inne funkcje zliczania liczb pierwszych, ponieważ są one wygodniejsze w użyciu. Jedną z nich jest funkcja zliczania liczb pierwszych Riemanna, zwykle oznaczana jako lub . Ma to skoki o 1/ n dla potęg pierwszych p ⁿ , przy czym przy nieciągłościach przyjmuje wartość w połowie odległości między dwiema stronami. Ten dodatkowy szczegół jest używany, ponieważ wtedy funkcja może być zdefiniowana przez odwrotną transformację Mellina . Formalnie możemy zdefiniować przez ${\ Displaystyle \ Pi _ {0} (x)}$${\displaystyle J_{0}(x)}$${\ Displaystyle \ Pi _ {0} (x)}$

${\ Displaystyle \ Pi _ {0} (x) = {\ Frac {1} {2}} \ lewo (\ suma _ {p ^ {n} <x} {\ Frac {1} {n}} \ + \sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}\right)}$

gdzie p jest liczbą pierwszą.

Możemy też pisać

${\ Displaystyle \ Pi _ {0} (x) = \ suma _ {n = 2} ^ {x} {\ Frac {\ Lambda (n)} {\ log n}} - {\ Frac {1} {2 }}{\frac {\Lambda (x)}{\log x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}{\ bigl (}x^{1/n}{\duży )}}$

gdzie jest funkcja von Mangoldta i ${\ Displaystyle \ Lambda (n)}$

${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ do 0} {\ frac {\ pi (x-\ varepsilon) + \ pi (x + \ varepsilon)} {2}}.}$

Wzór inwersji Möbiusa następnie podaje

${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ mu (n)} {n}} \ pi _ {0}{ \ duży ( }x^{1/n}{\duży )}}$

Znając zależność między logarytmem funkcji zeta Riemanna a funkcją von Mangoldta i korzystając ze wzoru Perrona mamy ${\ Displaystyle \ Lambda}$

${\ Displaystyle \ log \ zeta (s) = s \ int _ {0} ^ {\ infty} \ pi _ {0} (x) x ^ {-s-1} \ dx}$

Funkcja Czebyszewa waży liczby pierwsze lub potęgi pierwsze p ⁿ przez log( p ):

${\ Displaystyle \ theta (x) = \ suma _ {p \ leq x} \ log p}$

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ suma _ {p ^ {n} \ równoważnik x} \ log p = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ theta {\ bigl (} x ^ {1 /n}{\duży )}=\suma _{n\leq x}\Lambda (n).}$

Wzory dla funkcji liczących liczby pierwsze

Istnieją dwa rodzaje formuł funkcji liczących liczby pierwsze: formuły arytmetyczne i formuły analityczne. Wzory analityczne na liczenie pierwszych były pierwszymi używanymi do udowodnienia twierdzenia o liczbach pierwszych . Wywodzą się one z prac Riemanna i von Mangoldta i są powszechnie znane jako formuły jawne .

Mamy następujące wyrażenie na ψ :

${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x) = x- \ suma _ {\ rho} {\ Frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} - \ log 2 \ pi - {\ Frac {1 }{2}}\log \left(1-x^{-2}\right),}$

gdzie

${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ do 0} {\ Frac {\ psi (x-\ varepsilon) + \ psi (x + \ varepsilon)} {2}}.}$

Tutaj ρ są zerami funkcji zeta Riemanna w krytycznym pasku, gdzie rzeczywista część ρ zawiera się między zerem a jedynką. Formuła obowiązuje dla wartości x większych niż jeden, czyli obszaru zainteresowania. Suma nad pierwiastkami jest warunkowo zbieżna i powinna być brana w kolejności rosnącej wartości bezwzględnej części urojonej. Zauważ, że ta sama suma nad trywialnymi pierwiastkami daje ostatnią odcinkę we wzorze.

Bo mamy bardziej skomplikowaną formułę ${\ Displaystyle \ Pi _ {0} (x)}$

${\ Displaystyle \ Pi _ {0} (x) = \ nazwa operatora {li} (x) - \ suma _ {\ rho} \ nazwa operatora {li} (x ^ {\ rho}) - \ log 2+ \ int _ {x}^{\infty }{\frac {dt}{t\lewo(t^{2}-1\prawo)\log t}}.}$

Wyraźna formuła Riemanna wykorzystująca pierwsze 200 nietrywialnych zer funkcji zeta

Ponownie, wzór jest ważny dla x > 1, podczas gdy ρ są nietrywialnymi zerami funkcji zeta uporządkowanymi zgodnie z ich wartością bezwzględną. Całka jest równa szeregowi po trywialnych zerach:

${\ Displaystyle \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ Frac {\ operatorname {d} t} {t \ lewo (t ^ {2}-1 \ po prawej) \ log t}} = \ int _ { x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}(\suma _{m}t^{-2m})\,\mathrm {d} t=\suma _{m}\ int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {(u=t^{ -2m})}{=}}-\sum _{m}\nazwa operatora {li} (x^{-2m})}$

Pierwszy wyraz li( x ) jest zwykłą logarytmiczną funkcją całki ; Li wyrażenie ( x ^ρ ) w drugim okresie powinno być traktowane jako Ei ( ρ  log  x ), w którym Ei jest analityczny kontynuacją w wykładniczej integralną funkcji z ujemnym liczb rzeczywistych na płaszczyźnie zespolonej z cięciu wzdłuż dodatnich liczb rzeczywistych.

Zatem formuła inwersji Möbiusa daje nam

${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ nazwa operatora {R} (x) - \ suma _ {\ rho} \ nazwa operatora {R} (x ^ {\ rho}) - \ suma _ {m} \ nazwa operatora {R} (x^{-2m})}$

ważne dla x > 1, gdzie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {R} (x) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ mu (n)} {n}} \ nazwa operatora {li} (x ^ {1} n})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\log x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}}$

jest funkcją R Riemanna i μ ( n ) jest funkcją Möbiusa . Ta ostatnia seria jest znana jako seria Gram . Ponieważ dla wszystkich , ten szereg jest zbieżny dla wszystkich dodatnich x w porównaniu z szeregiem dla . Logarytm w szeregach gramów sumy nad nietrywialnym wkładem zerowym należy oszacować jako i nie . ${\displaystyle \log(x)<x}$${\displaystyle x>0}$${\ Displaystyle e ^ {x}}$${\ Displaystyle \ rho \ log x}$${\ Displaystyle \ log x ^ {\ rho}}$

Δ-funkcja (czerwona linia) na skali logarytmicznej

Suma nad nietrywialnymi zerami zeta we wzorze na opisuje fluktuacje, podczas gdy pozostałe wyrazy dają „gładką” część funkcji liczenia liczb pierwszych, więc można użyć ${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x)}$${\displaystyle \pi_{0}(x)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {R} (x) - \ suma _ {m = 1} ^ {\ infty} \ operatorname {R} (x ^ {-2 m})}$

jako dobry estymator dla x > 1. W rzeczywistości, ponieważ drugi składnik zbiega się do 0, podczas gdy amplituda części „zaszumionej” jest heurystycznie oszacowaniem przez ${\ Displaystyle \ pi (x)}$${\displaystyle {\sqrt {x}}/\log x}$${\ Displaystyle \ pi (x)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {R} (x)}$

sam jest tak samo dobry, a fluktuacje rozkładu liczb pierwszych można wyraźnie przedstawić za pomocą funkcji

${\ Displaystyle {\ bigl (} \ pi _ {0} (x) - \ nazwa operatora {R} (x) {\ bigr )} {\ Frac {\ log x} {\ sqrt {x}}}.}$

Dostępna jest obszerna tabela wartości praktycznie identycznej funkcji . Tutaj dodatkowe warunki pochodzą z aproksymacji ze względu na Riesela i Göhla. ${\ Displaystyle \ Delta (x) = \ lewo (\ pi _ {0} (x) - \ nazwa operatora {R} (x) + {\ tfrac {1} {\ log x}} - {\ tfrac {1} {\pi }}\arctan {\tfrac {\pi }{\log x}}\right){\tfrac {\log x}{\sqrt {x}}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\log x}}-{\tfrac {1}{\pi}}\arctan {\tfrac {\pi}{\log x}}=O{\bigl (}( \log x)^{-3}{\duży )}}$${\ Displaystyle \ suma _ {m} \ nazwa operatora {R} (x ^ {-2 m})}$

Nierówności

Oto kilka przydatnych nierówności dla π ( x ).

${\ Displaystyle {\ Frac {x} {\ log x}} <\ pi (x) <1.25506 {\ Frac {x} {\ log x}}}$

dla x ≥ 17.

Lewa nierówność obowiązuje dla x ≥ 17, a prawa nierówność dla x > 1. Stała 1,25506 ma wartość do 5 miejsc po przecinku, a jej maksymalna wartość wynosi x = 113. ${\textstyle {\frac {30\log 113}{113}}}$${\textstyle {\frac {\pi (x)\log x}{x}}}$

Pierre Dusart udowodnił w 2010 roku:

${\ Displaystyle {\ Frac {x} {\ log x-1}} <\ pi (x)}$dla , i${\displaystyle x\geq 5393}$

${\ Displaystyle \ pi (x) < {\ Frac {x} {\ log x-1,1}}}$dla .${\displaystyle x\geq 60184}$

Oto kilka nierówności dla n- tej liczby pierwszej, p _n . Górna granica należy do Rossera (1941), dolna do Dusarta (1999):

${\ Displaystyle n (\ log (n \ log n) -1) < p_ {n} < n {\ log (n \ log n)}}$dla n ≥ 6.

Lewa nierówność obowiązuje dla n ≥ 2, a prawa nierówność dla n ≥ 6.

Przybliżenie n- tej liczby pierwszej to

${\ Displaystyle p_ {n} = n (\ log (n \ log n) -1) + {\ Frac {n (\ log \ log n-2)} {\ log n}} + O \ lewo ({\ frac {n(\log \log n)^{2}}{(\log n)^{2}}}\right).}$

Ramanujan udowodnił, że nierówności

${\ Displaystyle \ pi (x) ^ {2} < {\ Frac {ex} {\ log x}} \ pi \ lewo ({\ Frac {x} {e}} \ prawej)}$

obowiązuje dla wszystkich wystarczająco dużych wartości . ${\displaystyle x}$

W Dusart udowodnił (stwierdzenie 6.6), że dla , ${\displaystyle n\geq 688383}$

${\ Displaystyle p_ {n} \ leq n \ lewo (\ log n + \ log \ log n-1 + {\ Frac {\ log \ log n-2} {\ log n}} \ prawej),}$

oraz (Propozycja 6.7), że dla , ${\displaystyle n\geq 3}$

${\ Displaystyle p_ {n} \ geq n \ lewo (\ log n + \ log \ log n-1 + {\ Frac {\ log \ log n-2,1} {\ log n}} \ prawej).}$

Niedawno Dusart udowodnił (Twierdzenie 5.1), że dla , ${\displaystyle x>1}$

${\ Displaystyle \ pi (x) \ leq {\ Frac {x} {\ log x}} \ lewo (1 + {\ Frac {1} {\ log x}} + {\ Frac {2} {\ log ^ {2}x}}+{\frac {7.59}{\log ^{3}x}}\right)}$ ,

i że dla , ${\displaystyle x\geq 88789}$

${\ Displaystyle \ pi (x)> {\ Frac {x} {\ log x}} \ lewo (1+ {\ Frac {1} {\ log x}} + {\ Frac {2} {\ log ^ { 2}x}}\prawo).}$

Hipoteza Riemanna

Hipoteza Riemanna jest równoważna znacznie mocniej związany od błędu w oszacowaniu za , a co za tym idzie do bardziej regularnego rozkładu liczb pierwszych, ${\ Displaystyle \ pi (x)}$

${\ Displaystyle \ pi (x) = \ operatorname {li} (x) + O ({\ sqrt {x}} \ log {x}).}$

Konkretnie,

${\ Displaystyle | \ pi (x) - \ operatorname {li} (x) | < {\ Frac {\ sqrt {x}} {8 \ pi}} \ \ log {x} \ qquad {\ tekst { dla wszystkich }}x\geq 2657.}$

Zobacz też

• Stała Foia
• Postulat Bertranda
• przypuszczenie Oppermanna
• Liczba pierwsza Ramanujan

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Chris Caldwell, Nth Prime Page w The Prime Pages .
• Tomás Oliveira e Silva, Tablice funkcji liczenia liczb pierwszych .