Zredukowana masa - Reduced mass

W fizyce The zmniejszona masa jest „skuteczny” bezwładnościowy masy występujące w problemu dwa ciała w mechanice Newtona . Jest to wielkość, która pozwala rozwiązać problem dwóch ciał tak, jakby był to problem jednego ciała . Należy jednak pamiętać, że masa określaniu siły grawitacyjne jest nie zmniejszona. W obliczeniach jedną masę można zastąpić masą zredukowaną, jeśli zostanie to skompensowane przez zastąpienie drugiej masy sumą obu mas. Masa zredukowana jest często oznaczana przez ( mu ), chociaż standardowy parametr grawitacyjny jest również oznaczany przez (podobnie jak wiele innych wielkości fizycznych ). Ma wymiary masy i jednostki SI kg. ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ mu}$

Równanie

Biorąc pod uwagę dwa ciała, jedno o masie m ₁ i drugie o masie m ₂ , równoważny problem jednego ciała, z położeniem jednego ciała względem drugiego jako niewiadomym, dotyczy pojedynczego ciała o masie

${\ Displaystyle \ mu = {\ cfrac {1} {{\ cfrac {1} {m_ {1}}} + {\ cfrac {1} {m_ {2}}}}} = {\ cfrac {m_ {1 }m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},\!\,}$

gdzie siła na tej masie jest dana przez siłę między dwoma ciałami.

Nieruchomości

Masa zredukowana jest zawsze mniejsza lub równa masie każdego ciała:

${\ Displaystyle \ mu \ leq m_ {1}, \ quad \ mu \ leq m_ {2} \! \,}$

i ma wzajemną właściwość addycyjną:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ mu}} = {\ Frac {1} {m_ {1}}} + {\ Frac {1} {m_ {2}}} \ \!}$

co po przekształceniu odpowiada połowie średniej harmonicznej .

W szczególnym przypadku : ${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$

${\ Displaystyle {\ mu} = {\ Frac {m_ {1}} {2}} = {\ Frac {m_ {2}} {2}} \ \!}$

Jeśli , to . ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$${\ Displaystyle \ mu \ ok m_ {2}}$

Pochodzenie

Równanie można wyprowadzić w następujący sposób.

Mechanika Newtona

Korzystając z drugiego prawa Newtona , siła wywierana przez ciało (cząstka 2) na inne ciało (cząstka 1) wynosi:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = m_ {1} \ mathbf {a} _ {1}}$

Siła wywierana przez cząstkę 1 na cząstkę 2 to:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {21} = m_ {2} \ mathbf {a} _ {2}}$

Zgodnie z trzecim prawem Newtona siła, jaką cząstka 2 wywiera na cząstkę 1, jest równa i przeciwna do siły, jaką cząstka 1 wywiera na cząstkę 2:

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = - \ mathbf {F} _ {21}}$

W związku z tym:

${\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}\;\;\rightarrow \;\;\mathbf {a} _{2} =-{m_{1} \ponad m_{2}}\mathbf {a} _{1}}$

Przyspieszenie względne a _rel pomiędzy dwoma ciałami jest określone wzorem:

${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {\ rm {rel}}: = \ mathbf {a} _ {1}-\ mathbf {a} _ {2} = \ lewo (1 + {\ Frac {m_ {1 }}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1 }\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}}$

Zauważ, że (ponieważ pochodna jest operatorem liniowym), przyspieszenie względne jest równe przyspieszeniu separacji między dwiema cząstkami. ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {\ rm {rel}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {\ rm {rel}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {\ rm {rel}} = \ mathbf {a} _ {1}-\ mathbf {a} _ {2} = {\ Frac {d ^ {2} \ mathbf {x } _{1}}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{ 2}}{dt^{2}}}(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2})={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\ rm {rel}}}{dt^{2}}}}$

Upraszcza to opis układu do jednej siły (od ), jednej współrzędnej i jednej masy . W ten sposób ograniczyliśmy nasz problem do jednego stopnia swobody i możemy wywnioskować, że cząstka 1 porusza się względem położenia cząstki 2 jako pojedyncza cząstka o masie równej masie zredukowanej, . ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = - \ mathbf {F} _ {21}}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {\ rm {rel}}}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ mu}$

Mechanika Lagrange'a

Alternatywnie Lagrange'a Opis problemu dwa ciała daje Lagrange'a z

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {1 \ ponad 2} m_ {1} \ mathbf {\ kropka {r}} _ {1} ^ {2} + {1 \ ponad 2} m_ {2} \ mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)\!\,}$

gdzie jest wektorem położenia masy (cząstki ). Energia potencjalna V jest funkcją, ponieważ zależy tylko od bezwzględnej odległości między cząstkami. Jeśli zdefiniujemy ${\ Displaystyle {\ mathbf {r} } _ {i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle i}$

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {1}-\ mathbf {r} _ {2}}$

i niech środek masy pokrywa się z naszym początkiem w tym układzie odniesienia, tj.

${\ Displaystyle m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {r} _ {2} = 0}$,

następnie

${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {1} = {\ Frac {m_ {2} \ mathbf {r} {m_ {1} + m_ {2}}} \; \ mathbf {r} _ {2 }=-{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}$

Następnie zastąpienie powyższego daje nowy Lagranżian

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {1 \ ponad 2} \ mu \ mathbf {\ kropka {r}} ^ {2}-V (r)}$

gdzie

${\ Displaystyle \ mu = {\ Frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

to zmniejszona masa. W ten sposób zredukowaliśmy problem dwóch ciał do problemu jednego ciała.

Aplikacje

Zredukowana masa może być stosowana w wielu problemach dwuciałowych, gdzie ma zastosowanie mechanika klasyczna.

Moment bezwładności dwóch mas punktowych w linii

W układzie z dwoma masami punktowymi i takimi, które są współliniowe, dwie odległości i do osi obrotu można znaleźć za pomocą ${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

gdzie jest sumą obu odległości . ${\ Displaystyle R}$${\displaystyle R=r_{1}+r_{2}}$

Dotyczy to obrotu wokół środka masy. Moment bezwładności wokół tej osi mogą być uproszczone do

Zderzenia cząstek

W zderzeniu ze współczynnikiem restytucji e zmianę energii kinetycznej można zapisać jako

${\ Displaystyle \ Delta K = {\ Frac {1} {2}} \ mu v_ {\ rm {rel}} ^ {2} (e ^ {2}-1)}$,

gdzie v _rel jest względną prędkością ciał przed zderzeniem .

W typowych zastosowaniach w fizyce jądrowej, gdzie masa jednej cząstki jest znacznie większa od drugiej, zmniejszoną masę można aproksymować jako mniejszą masę układu. Granicą wzoru na zredukowaną masę, gdy jedna masa zbliża się do nieskończoności, jest mniejsza masa, dlatego to przybliżenie służy do ułatwienia obliczeń, zwłaszcza gdy dokładna masa większej cząstki nie jest znana.

Ruch dwóch masywnych ciał pod ich przyciąganiem grawitacyjnym

W przypadku grawitacyjnej energii potencjalnej

${\ Displaystyle V (| \ mathbf {R} _ {1} - \ mathbf {R} _ {2} |) = - {\ Frac {Gm_ {1} m_ {2}} {| \ mathbf {R} _ {1}-\mathbf {r} _{2}|}}\,,}$

stwierdzamy, że położeniem pierwszego ciała w stosunku do drugiego rządzi to samo równanie różniczkowe, co położeniem ciała o zmniejszonej masie krążącego wokół ciała o masie równej sumie dwóch mas, ponieważ

${\displaystyle m_{1}m_{2}=(m_{1}+m_{2})\mu \!\,}$

Nierelatywistyczna mechanika kwantowa

Rozważmy elektron (masa m _e ) i proton (masa m _p ) w atomie wodoru . Okrążają się wokół wspólnego środka masy, problem dwóch ciał. Aby przeanalizować ruch elektronu, problem jednego ciała, zredukowana masa zastępuje masę elektronu

${\displaystyle m_{e}\rightarrow {\frac {m_{e}m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}}$

a masa protonu staje się sumą dwóch mas

${\displaystyle m_{p}\rightarrow m_{e}+m_{p}}$

Ten pomysł jest używany do ustalenia równania Schrödingera dla atomu wodoru.

Inne zastosowania

„Masa zredukowana” może również odnosić się bardziej ogólnie do algebraicznego terminu postaci

${\ Displaystyle x ^ {*} = {1 \ nad {1 \ nad x_ {1}} + {1 \ nad x_ {2}}} = {x_ {1} x_ {2} \ nad x_ {1} + x_{2}}\!\,}$

co upraszcza równanie postaci

${\ Displaystyle \ {1 \ nad x ^ {*}} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {1 \ nad x_ {i}} = {1 \ nad x_ {1}} + {1 \ ponad x_{2}}+\cdots +{1 \ponad x_{n}}.\!\,}$

Zredukowana masa jest zwykle używana jako relacja między dwoma równoległymi elementami systemu, takimi jak rezystory ; czy to w dziedzinie elektrycznej, termicznej, hydraulicznej czy mechanicznej. Podobne wyrażenie pojawia się w drganiach poprzecznych belek dla modułów sprężystości. Ta zależność jest określona przez fizyczne właściwości elementów, a także łączące je równanie ciągłości .

Zobacz też

• Rama środka pędu
• Zachowanie pędu
• Definiowanie równania (fizyka)
• Oscylator harmoniczny
• Masa Chirpa , relatywistyczny odpowiednik używany w ekspansji post-newtonowskiej

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Zredukowana masa w HyperPhysics