Twierdzenie o resztach - Residue theorem

Analiza matematyczna → Analiza złożona
Kompleksowa analiza
Liczby zespolone
Prawdziwy numer Liczba urojona Złożona płaszczyzna Złożony koniugat Liczba zespolona jednostki
Złożone funkcje
Funkcja o wartościach zespolonych Funkcja analityczna Funkcja holomorficzna równania Cauchy'ego-Riemanna Formalne serie mocy
Teoria podstawowa
Zera i bieguny Twierdzenie całkowe Cauchy'ego Lokalny prymityw Całka Cauchy'ego Numer uzwojenia Seria Laurenta Izolowana osobliwość Twierdzenie o pozostałościach Mapa konformalna Lemat Schwarza Funkcja harmoniczna równanie Laplace'a
Teoria funkcji geometrycznych
Ludzie
Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernharda Riemanna Karl Weierstrass
Portal matematyczny
v T mi

W złożonej analizy The twierdzenie pozostałość , zwany twierdzenie pozostałość Cauchy'ego jest skutecznym narzędziem do oceny całki linii z funkcji analitycznych ponad krzywe zamknięte; często może być również używany do obliczania całek rzeczywistych i szeregów nieskończonych . To uogólnia integralną twierdzenie Cauchy'ego i Wzór całkowy Cauchy'ego . Z perspektywy geometrycznej można to uznać za szczególny przypadek uogólnionego twierdzenia Stokesa .

Oświadczenie

Oświadczenie brzmi następująco:

Niech u być po prostu podłączona otwarte podzestawu na płaszczyźnie zespolonej zawierającej zbiór kilku punktach do ₁ , ..., a _n , U ₀ = U \ { ₁ , ..., _n } , a funkcja f określone i holomorficzny na U ₀ . Niech γ być zamknięty naprawienia krzywej w U ₀ lub oznaczać liczbę uzwojenia z y wokół a _k o I ( γ , _K ) . Integralną linii F wokół y jest równe 2 gatunku I razy suma pozostałości z F , w miejscach, z których każdy liczy się tyle razy, ile γ nawija się wokół punktu:

${\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \ dz = 2 \ pi ja \ suma _ {k = 1} ^ {n} \ nazwa operatora {ja} (\ gamma, a_ {k}) \ nazwa operatora {Rez.} (f,a_{k}).}$

Jeśli γ jest korzystnie zorientowany prosty zamknięta krzywa , I ( γ , _k ) = 1 jeśli _K jest we wnętrzu y i 0 dla nie jest zatem

${\ Displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \ dz = 2 \ pi ja \ suma \ operatorname {Res} (f, a_ {k})}$

z sumą nad tymi a _k wewnątrz γ .

Związek twierdzenia o resztach z twierdzeniem Stokesa jest podany przez twierdzenie o krzywej Jordana . Ogólna krzywa płaska γ musi najpierw zostać zredukowana do zestawu prostych zamkniętych krzywych { γ _i }, których suma jest równa γ dla celów całkowania; redukuje to problem do znalezienia całki f dz wzdłuż krzywej Jordana γ _i z wnętrzem V . Wymóg, aby f był holomorficzny na U ₀ = U \{ a _k } jest równoważny stwierdzeniu, że pochodna zewnętrzna d ( f dz ) = 0 na U ₀ . Zatem jeśli dwa płaskie regiony V i W z U obejmują ten sam podzbiór { a _j } z { a _k } , regiony V \ W i W \ V leżą całkowicie w U ₀ , a zatem

${\ Displaystyle \ int _ {V \ smallsetminus W} d (f \ dz) - \ int _ {W \ smallsetminus V} d (f \ dz)}$

jest dobrze zdefiniowana i równa zero. W konsekwencji całka konturowa f dz wzdłuż γ _j = ∂V jest równa sumie zbioru całek wzdłuż ścieżek λ _j , z których każda obejmuje dowolnie mały obszar wokół pojedynczego a _j — reszty f (do konwencjonalnego współczynnik 2 π i ) w { a _j } . Sumując { γ _j } , uzyskujemy końcowe wyrażenie całki po obrysie w postaci liczb uzwojeń {I( γ , a _k )} .

Aby obliczyć całki rzeczywiste, twierdzenie o resztach jest używane w następujący sposób: całka jest rozciągana do płaszczyzny zespolonej i obliczane są jej reszty (co zwykle jest łatwe), a część osi rzeczywistej jest rozciągana do krzywej zamkniętej mocując półkole w górnej lub dolnej półpłaszczyźnie, tworząc półkole. Całkę po tej krzywej można następnie obliczyć przy użyciu twierdzenia o resztkach. Często część całki w postaci półokręgu będzie dążyć do zera w miarę wzrostu promienia półokręgu, pozostawiając tylko część całki o osi rzeczywistej, którą początkowo interesowaliśmy.

Przykłady

Całka wzdłuż osi rzeczywistej

Całka

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {e ^ {itx}} {x ^ {2} + 1}} \ dx}$

Powstaje w teorii prawdopodobieństwa przy obliczaniu funkcji charakterystycznej z rozkładu Cauchy'ego . Opiera się ona technikom rachunku elementarnego, ale można ją ocenić, wyrażając ją jako granicę całek konturowych .

Załóżmy, że t > 0 i zdefiniuj kontur C, który biegnie wzdłuż rzeczywistej linii od - a do a , a następnie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wzdłuż półokręgu o środku w punkcie 0 od a do - a . Przyjmij, że a jest większe od 1, tak aby jednostka urojona i była zamknięta w krzywej. Rozważmy teraz całkę konturową

${\ Displaystyle \ int _ {C} {f (z)} \, dz = \ int _ {C} {\ Frac {e ^ {itz}} {z ^ {2}+1}} \ dz.}$

Ponieważ e ^Itz znajduje się całą funkcję (nieposiadającego osobliwości w dowolnym momencie w płaszczyźnie zespolonej) osobliwości tej funkcji tylko wtedy, gdy mianownik z ² + 1 jest równe zero. Ponieważ z ² + 1 = ( z + i )( z − i ) , dzieje się tak tylko wtedy, gdy z = i lub z = − i . Tylko jeden z tych punktów znajduje się w obszarze ograniczonym tym konturem. Ponieważ f ( z ) to

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ Frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} + 1}} i = {\ Frac {e ^ {itz}} {2i}} \ lewo ({\ frac {1}{zi}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\\&={\frac {e^{itz}}{2i(zi)}}-{\frac { e^{itz}}{2i(z+i)}},\end{wyrównany}}}$

pozostałość z F ( oo ) na Z = I jest

${\ Displaystyle \ Operatorname {Res} _ {z = i} f (z) = {\ Frac {e ^ {-t}} {2i}}.}$

Zgodnie z twierdzeniem o pozostałościach mamy zatem

${\ Displaystyle \ int _ {C} f (z) \, dz = 2 \ pi ja \ cdot \ operatorname {Res} \ limity _ {z = i} f (z) = 2 \ pi ja {\ Frac {e ^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}$

Kontur C można podzielić na część prostą i łuk zakrzywiony, dzięki czemu

${\ Displaystyle \ int _ {\ operatorname {prosto} } f (z) \ dz + \ int _ {\ operatorname {łuk}} f (z) \ dz = \ pi e ^ {-t} \}$

a zatem

${\ Displaystyle \ int _ {-a} ^ {a} f (z) \ dz = \ pi e ^ {-t} - \ int _ {\ operatorname {łuk}} f (z) \ dz.}$

Korzystając z niektórych szacunków , mamy

${\ Displaystyle \ lewo | \ int _ {\ operatorname {łuk}} {\ Frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} + 1}} \ dz \ po prawej | \ leq \ pi \ cdot \ sup _{\text{arc}}\left|{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc }}{\frac {1}{|z^{2}+1|}}\leq {\frac {\pi a}{a^{2}-1}},}$

oraz

${\ Displaystyle \ lim _ {a \ do \ infty} {\ Frac {\ pi a} {a ^ {2}-1}} = 0.}$

Oszacowanie licznika następuje, ponieważ t > 0 , a dla liczb zespolonych z wzdłuż łuku (który leży w górnej półpłaszczyźnie), argument φ z z leży między 0 a π . Więc,

${\ Displaystyle \ lewo | e ^ {itz} \ po prawej | = \ po lewej | e ^ {it | z | (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)} \ po prawej | = \ po lewej | e ^ {-t |z|\sin \varphi +it|z|\cos \varphi }\right|=e^{-t|z|\sin \varphi }\leq 1.}$

W związku z tym,

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} + 1}} \ dz = \ pi e ^ {-t}.}$

Jeśli t < 0 to podobny argument z łukiem C ′, który owija się wokół − i zamiast i pokazuje, że

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} + 1}} \ dz = \ pi e ^ {t}}$

i wreszcie mamy

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} + 1}} \ dz = \ pi e ^ {- \ lewo | t \prawo|}.}$

(Jeżeli t = 0, to całka poddaje się natychmiast elementarnym metodom rachunku różniczkowego, a jej wartość wynosi π .)

Nieskończona suma

Fakt, że π cot( πz ) ma proste bieguny z resztą 1 na każdej liczbie całkowitej można wykorzystać do obliczenia sumy

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (n).}$

Rozważmy na przykład f ( z ) = z ^-2 . Niech Γ _N będzie prostokątem, który jest granicą [− N − 1/2, N +1/2] ² z orientacją dodatnią, z liczbą całkowitą N . Według wzoru pozostałości,

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ Gamma _ {N}} f (z) \ pi \ cot (\ pi z) \ dz = \ nazwa operatora {Res} \ granice _{z=0}+\sum _{n=-N \atop n\neq 0}^{N}n^{-2}.}$

Lewa strona przechodzi do zera jako N → ∞ ponieważ podcałka ma porządek . Z drugiej strony, ${\ Displaystyle O (n ^ {-2})}$

${\ Displaystyle {\ Frac {Z} {2}} \ łóżeczko \ lewo ({\ Frac {Z} {2}} \ prawej) = 1-B_ {2} {\ Frac {Z ^ {2}} {2 !}}+\cdots \qquad }$gdzie liczba Bernoulliego ${\ Displaystyle B_ {2} = {\ Frac {1} {6}}.}$

(W rzeczywistości, z/2 łóżko składane(z/2) = iz/1 − e ^{− iz} − iz/2.) Zatem reszta Res _{z =0} to −π ²/3. Wnioskujemy:

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {2}}} = {\ Frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$

co jest dowodem problemu z Bazylei .

Ta sama sztuczka może być użyta do ustalenia sumy szeregu Eisensteina :

${\ Displaystyle \ pi \ łóżeczko (\ pi z) = \ lim _ {N \ do \ infty} \ suma _ {n = - N} ^ {N} (ZN) ^ {-1}}.$

Bierzemy f ( z ) = ( w − z ) ⁻¹ gdzie w nie jest liczbą całkowitą i pokażemy powyższe dla w . Trudność w tym przypadku polega na wykazaniu zanikania całki konturowej w nieskończoności. Mamy:

${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma _ {N}} {\ Frac {\ pi \ łóżeczko (\ pi z)} {z}} \ dz = 0}$

ponieważ całka jest funkcją parzystą, a zatem wkłady konturu w lewej połowie płaszczyzny i konturu w prawej płaszczyźnie wzajemnie się znoszą. Zatem,

${\ Displaystyle \ int _ {\ Gamma _ {N}} f (z) \ pi \ cot (\ pi z) \ dz = \ int _ {\ Gamma _ {N}} \ lewo ({\ Frac {1 }{wz}}+{\frac {1}{z}}\prawo)\pi \cot(\pi z)\,dz}$

idzie do zera jako N → ∞ .

Zobacz też

• Całka Cauchy'ego
• Główne twierdzenie Glassera
• Lemat Jordana
• Metody całkowania konturów
• Twierdzenie Morery
• Twierdzenie Nachbina
• Pozostań w nieskończoności
• Forma logarytmiczna

Uwagi

Bibliografia

• Ahlfors, Lars (1979). Analiza złożona . Wzgórze McGrawa. Numer ISBN 0-07-085008-9.
• Lindelöf, Ernst L. (1905). Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions (w języku francuskim). Wydania Jacques Gabay (opublikowane 1989). Numer ISBN 2-87647-060-8.
• Mitrinović, Dragoslav; Kečkić, Jovan (1984). Metoda Cauchy'ego reszt: Teoria i zastosowania . D. Wydawnictwo Reidel. Numer ISBN 90-277-1623-4.
• Whittakera, ET ; Watson, GN (1920). Kurs współczesnej analizy (3rd ed.). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge.

Zewnętrzne linki

• „Twierdzenie całkowe Cauchy'ego” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Twierdzenie o resztach w MathWorld