Powierzchnia rzymska - Roman surface

Powierzchnia rzymska lub powierzchnia Steinera to samoprzecinające się odwzorowanie rzeczywistej płaszczyzny rzutowej w trójwymiarową przestrzeń o niezwykle wysokim stopniu symetrii . To odwzorowanie nie jest zanurzeniem w płaszczyźnie rzutowej; jednak liczba wynikająca z usunięcia sześciu punktów osobliwych to jeden. Jego nazwa powstała, ponieważ odkrył ją Jakob Steiner, gdy był w Rzymie w 1844 roku.

Najprostsza konstrukcja to obraz kuli wyśrodkowanej na początku pod mapą . W ten sposób niejawny wzoru z ${\displaystyle f(x,y,z)=(yz,xz,xy)}$

${\ Displaystyle x ^ {2} r ^ {2} + r ^ {2} z ^ {2} + z ^ {2} x ^ {2} - r ^ {2} xyz = 0. \,}$

Ponadto, biorąc parametryzację sfery pod względem długości (θ) i szerokości geograficznej (φ), otrzymujemy równania parametryczne dla powierzchni rzymskiej w następujący sposób:

${\ Displaystyle x = r ^ {2} \ cos \ theta \ cos \ varphi \ sin \ varphi}$

${\ Displaystyle y = r ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ varphi \ sin \ varphi}$

${\ Displaystyle z = r ^ {2} \ cos \ theta \ sin \ theta \ cos ^ {2} \ varphi}$

Początek jest punktem potrójnym, a każda z płaszczyzn xy -, yz - i xz - jest styczna do znajdującej się tam powierzchni. Inne miejsca samoprzecięcia są punktami podwójnymi, definiującymi segmenty wzdłuż każdej osi współrzędnych, które kończą się sześcioma punktami uszczypnięcia. Cała powierzchnia ma symetrię czworościenną . Jest to szczególny typ (typ 1) Steiner powierzchni, to jest 3-wymiarowej liniowy występ z powierzchnią Veronese .

Wyprowadzenie niejawnej formuły

Dla uproszczenia rozważamy tylko przypadek r = 1. Mając sferę określoną przez punkty ( x , y , z ) taką, że

${\ Displaystyle x ^ {2} + ^ {2} + z ^ {2} = 1, \,}$

stosujemy do tych punktów transformację T zdefiniowaną przez powiedzmy. ${\displaystyle T(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),\,}$

Ale potem mamy

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} U ^ {2} V ^ {2} + V ^ {2} W ^ {2} + W ^ {2} U ^ {2} i = z ^ {2} x ^ {2}y^{4}+x^{2}y^{2}z^{4}+y^{2}z^{2}x^{4}=(x^{2}+y^ {2}+z^{2})(x^{2}y^{2}z^{2})\\[8pt]&=(1)(x^{2}y^{2}z^ {2})=(xy)(yz)(zx)=UVW,\end{wyrównany}}}$

i tak jak chcesz. ${\ Displaystyle U ^ {2} V ^ {2} + V ^ {2} W ^ {2} + W ^ {2} U ^ {2} - UVW = 0 \,}$

I odwrotnie , załóżmy , że dane ( U , V , W ) spełniające

(*) ${\ Displaystyle U ^ {2} V ^ {2} + V ^ {2} W ^ {2} + W ^ {2} U ^ {2} - UVW = 0. \,}$

Udowadniamy, że istnieje ( x , y , z ) takie, że

(**) ${\ Displaystyle x ^ {2} + ^ {2} + z ^ {2} = 1, \,}$

dla którego ${\displaystyle U=xy,V=yz,W=zx,\,}$

z jednym wyjątkiem: W przypadku 3.b. poniżej pokazujemy, że nie można tego udowodnić.

1. W przypadku, gdy żadne z U , V , W nie jest równe 0, możemy ustawić

${\ Displaystyle x = {\ sqrt {\ Frac {WU} {V}}}, \ y = {\ sqrt {\ Frac {UV} {W}}}, \ z = {\ sqrt {\ Frac {VW} {U}}}.\,}$

(Zauważ, że (*) gwarantuje, że albo wszystkie trzy z U, V, W są dodatnie, albo dokładnie dwa są ujemne. Zatem te pierwiastki kwadratowe są liczbami dodatnimi.)

Łatwo jest użyć (*) do potwierdzenia, że ​​(**) obowiązuje dla x , y , z zdefiniowanych w ten sposób.

2. Załóżmy, że W wynosi 0. Z (*) to implikuje${\ Displaystyle U ^ {2} V ^ {2} = 0 \,}$

a zatem co najmniej jeden z U , V musi również wynosić 0. To pokazuje, że nie jest możliwe, aby dokładnie jeden z U , V , W był równy 0.

3. Załóżmy, że dokładnie dwa z U , V , W są równe 0. Bez utraty ogólności zakładamy

(***)${\displaystyle U\neq 0,V=W=0.\,}$

Wynika, że ${\displaystyle z=0,\,}$

(ponieważ oznacza to, a zatem sprzeczne (***).) ${\displaystyle z\neq 0,\,}$${\displaystyle x=y=0,\,}$${\displaystyle U=0,\,}$

a. W podprzypadku gdzie

${\displaystyle |U|\leq {\frac {1}{2}},}$

jeśli wyznaczymy x i y przez

${\ Displaystyle x ^ {2} = {\ Frac {1 + {\ sqrt {1-4U ^ {2}}}} {2}}}$

oraz ${\ Displaystyle y ^ {2} = {\ Frac {1-{\ sqrt {1-4U ^ {2}}}} {2}},}$

zapewnia to, że (*) się trzyma. Łatwo to zweryfikować${\ Displaystyle x ^ {2} y ^ {2} = U ^ {2}, \,}$

a zatem odpowiedni wybór znaków x i y zagwarantuje${\displaystyle xy=U.\,}$

Ponieważ również ${\ Displaystyle yz = 0 = V {\ tekst { i }} zx = 0 = W \,}$

pokazuje to, że ten podprzypadek prowadzi do pożądanej odwrotności.

b. W tym pozostałym podprzypadku przypadku 3. mamy${\ Displaystyle | U | > {\ Frac {1} {2}}.}$

Od ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,\,}$

łatwo to sprawdzić ${\displaystyle xy\leq {\frac {1}{2}},}$

a więc w tym przypadku, gdzie ${\ Displaystyle | U |> 1/2 \ V = W = 0}$

nie ma ( x , y , z ) spełniających${\ Displaystyle U = xy \ V = yz \ W = zx.}$

Stąd rozwiązania ( U , 0, 0) równania (*) z ${\displaystyle |U|>{\frac {1}{2}}}$

i podobnie (0, V , 0) z ${\ Displaystyle | V | > {\ Frac {1} {2}}}$

oraz (0, 0, W ) z${\ Displaystyle | W | > {\ Frac {1} {2}}}$

(z których każdy jest niezwartą częścią osi współrzędnych, w dwóch częściach) nie odpowiadają żadnemu punktowi na rzymskiej powierzchni .

4. Jeśli ( U , V , W ) jest punktem (0, 0, 0), to jeśli dowolne dwa z x , y , z są równe zeru, a trzeci ma wartość bezwzględną 1, co jest oczywiście pożądane. ${\displaystyle (xy,yz,zx)=(0,0,0)=(U,V,W)\,}$

Obejmuje to wszystkie możliwe przypadki.

Wyprowadzenie równań parametrycznych

Niech kula ma promień R , długości cp i Latitude θ . Wtedy jego równania parametryczne to

${\displaystyle x=r\,\cos \theta \,\cos \phi,}$

${\displaystyle y=r\,\cos \theta\,\sin \phi,}$

${\displaystyle z=r\,\sin \theta.}$

Następnie zastosowanie transformacji T do wszystkich punktów na tej sferze daje

${\displaystyle x'=yz=r^{2}\\cos \theta\\sin \theta\\sin \phi}$

${\ Displaystyle y' = zx = r ^ {2} \ \ cos \ theta \ \ sin \ theta \ \ cos \ phi ,}$

${\displaystyle Z'=xy=r^{2}\\cos ^{2}\theta \\cos \phi \\sin \phi}$

które są punktami na rzymskiej powierzchni. Niech φ będzie wynosić od 0 do 2π, a θ od 0 do π/2 .

Stosunek do rzeczywistej płaszczyzny rzutowej

Sfera przed transformacją nie jest homeomorficzna z rzeczywistą płaszczyzną rzutową RP ² . Ale kula wyśrodkowana na początku ma tę właściwość, że jeśli punkt (x,y,z) należy do kuli, to również punkt antypodalny (-x,-y,-z) i te dwa punkty są różne: leżeć po przeciwnych stronach środka kuli.

Transformacja T przekształca oba te antypody w ten sam punkt,

${\displaystyle T:(x,y,z)\rightarrow (yz,zx,xy)}$

${\ Displaystyle T: (-x, -y, -z)\rightarrow ((-y) (-z), (-z) (-x), (-x) (-y)) = (yz, zx ,xy).}$

Ponieważ dotyczy to wszystkich punktów S ² , jasne jest, że powierzchnia rzymska jest ciągłym obrazem „sfery modulo antypodów”. Ponieważ niektóre odrębne pary antypodów są wszystkie doprowadzone do identycznych punktów na rzymskiej powierzchni, nie jest to homeomorficzne z RP ² , ale jest ilorazem rzeczywistej płaszczyzny rzutowej RP ² = S ² / (x~-x) . Co więcej, mapa T (powyżej) od S ² do tego ilorazu ma tę szczególną właściwość, że jest lokalnie iniektywna z dala od sześciu par antypodów. Lub z RP ² wynikowa mapa sprawia, że ​​jest to zanurzenie RP ² — minus sześć punktów — w 3-przestrzeni.

(Wcześniej stwierdzono, że powierzchnia rzymska jest homeomorficzna z RP ² , ale było to błędne. Później stwierdzono, że powierzchnia rzymska jest zanurzeniem RP ² w R ³ , ale to również było błędne.)

Struktura powierzchni rzymskiej

Powierzchnia rzymska ma cztery bulwiaste „płatki”, każdy na innym rogu czworościanu.

Powierzchnię rzymską można skonstruować, łącząc ze sobą trzy paraboloidy hiperboliczne, a następnie w razie potrzeby wygładzając krawędzie, tak aby pasowała do pożądanego kształtu (np. parametryzacja).

Niech będą te trzy paraboloidy hiperboliczne:

• x = yz ,
• y = zx ,
• z = xy .

Te trzy paraboloidy hiperboliczne przecinają się zewnętrznie wzdłuż sześciu krawędzi czworościanu i wewnętrznie wzdłuż trzech osi. Wewnętrzne przecięcia są miejscami podwójnych punktów. Trzy loci punktów podwójnych: x = 0, y = 0 i z = 0 przecinają się w punkcie potrójnym w punkcie początkowym .

Na przykład, biorąc pod uwagę x = yz i y = zx , druga paraboloida jest równoważna x = y / z . Następnie

${\displaystyle yz={y \nad z}}$

i albo y = 0 albo z ² = 1, tak że z = ±1. Ich dwa zewnętrzne skrzyżowania to

• x = y , z = 1;
• x = − y , z = −1.

Podobnie inne zewnętrzne skrzyżowania to

• x = z , y = 1;
• x = − z , y = −1;
• y = z , x = 1;
• y = − z , x = −1.

Zobaczmy, jak składają się elementy. Dołącz do paraboloidów y = xz i x = yz . Wynik pokazano na rysunku 1.

Paraboloida y = xz jest pokazana na niebiesko i pomarańczowo. Paraboloida x = yz jest pokazana na niebiesko i fioletowo. Na obrazie widać, że paraboloidy przecinają się wzdłuż osi z = 0 . Jeśli paraboloidy są wysunięte, powinny być widoczne, że przecinają się wzdłuż linii

• z = 1, y = x ;
• z = −1, y = − x .

Oba paraboloidy razem wyglądają jak para storczyków połączonych plecami do siebie.

Teraz przeprowadź przez nie trzeci paraboloidę hiperboliczną, z = xy . Wynik pokazano na rysunku 2.

Na rycinie 2 w kierunkach zachód-południowy zachód i wschód-północny wschód znajduje się para otworów. Te otwory są płatami i muszą być zamknięte. Gdy otwory są zamknięte, wynikiem jest powierzchnia rzymska pokazana na rysunku 3.

Na rysunku 3 widać parę płatów w kierunkach zachodnim i wschodnim. Kolejna para płatów jest ukryta pod trzecim paraboloidem ( z = xy ) i leżą w kierunkach północnym i południowym.

Jeśli trzy przecinające się paraboloidy hiperboliczne są narysowane na tyle daleko, że przecinają się wzdłuż krawędzi czworościanu, wynik jest taki, jak pokazano na rysunku 4.

Jeden z płatów jest widoczny z przodu — z przodu — na rycinie 4. Płat może być jednym z czterech rogów czworościanu.

Jeśli ciągła powierzchnia na rysunku 4 ma zaokrąglone ostre krawędzie — wygładzone — wynikiem jest powierzchnia rzymska na rysunku 5.

Jeden z płatów rzymskiej powierzchni jest widoczny z przodu na rycinie 5, a jego bulwiasty – przypominający balon – kształt jest widoczny.

Jeśli powierzchnia na rysunku 5 zostanie obrócona o 180 stopni, a następnie odwrócona do góry nogami, wynik jest taki, jak pokazano na rysunku 6.

Rysunek 6 przedstawia trzy płaty widziane z boku. Pomiędzy każdą parą płatów znajduje się locus podwójnych punktów odpowiadających osi współrzędnych. Trzy loci przecinają się w potrójnym punkcie na początku. Czwarty płat jest ukryty i wskazuje w kierunku przeciwnym do widza. Powierzchnia rzymska pokazana na górze tego artykułu ma również trzy płaty w widoku z boku.

Jednostronność

Powierzchnia rzymska jest nieorientowalna , czyli jednostronna. Nie jest to całkiem oczywiste. Aby to zobaczyć, spójrz ponownie na rysunek 3.

Wyobraź sobie mrówkę na szczycie „trzeciej” paraboloidy hiperbolicznej , z = xy . Niech ta mrówka ruszy na północ. Gdy się porusza, przejdzie przez pozostałe dwa paraboloidy, jak duch przechodzący przez ścianę. Te inne paraboloidy wydają się jedynie przeszkodami ze względu na samoprzecinający się charakter zanurzenia. Niech mrówka zignoruje wszystkie podwójne i potrójne punkty i przejdzie przez nie. Tak więc mrówka przemieszcza się na północ i spada z krawędzi świata, że ​​tak powiem. Znajduje się teraz na płacie północnym, ukryty pod trzecią paraboloidą z ryc. 3. Mrówka stoi do góry nogami, na „zewnątrz” rzymskiej powierzchni.

Niech mrówka ruszy na południowy zachód. Będzie wspinał się po zboczu (do góry nogami), aż znajdzie się „wewnątrz” zachodniego płata. Teraz niech mrówka porusza się w kierunku południowo-wschodnim wzdłuż wewnętrznej strony płata zachodniego w kierunku osi z = 0 , zawsze powyżej płaszczyzny xy . Gdy tylko przejdzie przez oś z = 0, mrówka znajdzie się „na zewnątrz” płata wschodniego, stojąc prawą stroną do góry.

Następnie niech przesunie się na północ, przez "wzgórze", a potem na północny zachód, aby zaczął się zsuwać w kierunku osi x = 0 . Gdy tylko mrówka przekroczy tę oś, znajdzie się „wewnątrz” płata północnego, stojąc prawą stroną do góry. Teraz pozwól mrówce iść na północ. Będzie wspinał się po ścianie, a następnie wzdłuż „dachu” płata północnego. Mrówka jest z powrotem na trzecim paraboloidzie hiperbolicznej, ale tym razem pod nią i stoi do góry nogami. (Porównaj z butelką Kleina .)

Podwójne, potrójne i punkty zaciskające

Powierzchnia rzymska ma cztery „płatki”. Granice każdego płata to zestaw trzech linii podwójnych punktów. Pomiędzy każdą parą płatków znajduje się linia podwójnych punktów. Powierzchnia posiada łącznie trzy linie podwójnych punktów, które leżą (w podanej wcześniej parametryzacji) na osiach współrzędnych. Trzy linie podwójnych punktów przecinają się w potrójnym punkcie, który leży na początku. Potrójny punkt przecina linie podwójnych punktów na parę połówkowych, a każda połówkowa linia leży między parą płatów. Na podstawie poprzednich stwierdzeń można by się spodziewać, że może być do ośmiu płatów, po jednym w każdym oktancie przestrzeni, która została podzielona przez płaszczyzny współrzędnych. Ale płaty zajmują naprzemienne oktanty: cztery oktanty są puste, a cztery są zajęte przez płaty.

Gdyby powierzchnia rzymska miała być wpisana wewnątrz czworościanu z najmniejszą możliwą objętością, okazałoby się, że każda krawędź czworościanu jest styczna do powierzchni rzymskiej w punkcie, a każdy z tych sześciu punktów jest osobliwością Whitneya . Wszystkie te osobliwości lub punkty uszczypnięcia leżą na krawędziach trzech linii podwójnych punktów i są one zdefiniowane przez tę właściwość: nie ma płaszczyzny stycznej do żadnej powierzchni w osobliwości.

Zobacz też

• Powierzchnia chłopca – zanurzenie płaszczyzny rzutowej bez nasadek krzyżowych.
• Tetrahemihexahedron – wielościan bardzo podobny do powierzchni rzymskiej.

Bibliografia

Ogólne odniesienia

• A. Coffman, A. Schwartz i C. Stanton: Algebra i geometria Steinera i inne powierzchnie parametryzowalne kwadratowo . W Computer Aided Geometric Design (3) 13 (kwiecień 1996), s. 257-286
• Bert Jüttler, Ragni Piene: Modelowanie geometryczne i geometria algebraiczna . Springer 2008, ISBN  978-3-540-72184-0 , s. 30 ( zastrzeżona kopia online , s. 30, w Google Books )

Linki zewnętrzne

• A. Coffman, " Powierzchnie Steinera "
• Weisstein, Eric W. "Powierzchnia rzymska" . MatematykaŚwiat .
• Roman Surfaces w National Curve Bank (strona internetowa Kalifornijskiego Uniwersytetu Stanowego)
• Ashay Dharwadker, Heptahedron and Roman Surface, Electronic Geometry Models, 2004.