Równanie Sackura – Tetrode - Sackur–Tetrode equation

Równanie sackura-tetrodego jest wyrażenie na entropii z monoatomowego gazu idealnego .

Jego nazwa pochodzi od Hugo Martina Tetrode'a (1895–1931) i Otto Sackura (1880–1914), którzy opracowali go niezależnie jako rozwiązanie statystyki gazu Boltzmanna i równań entropii, mniej więcej w tym samym czasie w 1912 r.

Formuła

Równanie Sackura-Tetrode'a wyraża entropię jednoatomowego gazu doskonałego w kategoriach jego stanu termodynamicznego - w szczególności jego objętości , energii wewnętrznej i liczby cząstek : ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle {\ Frac {S} {k _ {\ rm {B}} N}} = \ ln \ lewo [{\ Frac {V} {N}} \ lewo ({\ Frac {4 \ pi m} { 3h ^ {2}}} {\ frac {U} {N}} \ right) ^ {3/2} \ right] + {\ frac {5} {2}}}$

gdzie jest stała Boltzmanna , jest masą cząstki gazu i jest stałą Plancka . ${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle h}$

Równanie można również wyrazić w kategoriach długości fali termicznej : ${\ displaystyle \ Lambda}$

${\ Displaystyle {\ Frac {S} {k _ {\ rm {B}} N}} = \ ln \ lewo ({\ Frac {V} {N \ Lambda ^ {3}}} \ prawej) + {\ Frac {5} {2}}}$

Entropii vs krzywe temperatury klasycznego i wymiar gazów doskonałych ( gazu Fermiego , gazu Bose ) w trzech wymiarach. Chociaż wszyscy są w ścisłej zgodności w wysokiej temperaturze, nie zgadzają się w niskich temperaturach, w których klasyczna entropia (równanie Sackura – Tetrode) zaczyna zbliżać się do wartości ujemnych.

Aby uzyskać wyprowadzenie równania Sackura – Tetrode, zobacz paradoks Gibbsa . Aby zapoznać się z ograniczeniami nałożonymi na entropię gazu doskonałego przez samą termodynamikę, zobacz artykuł dotyczący gazu doskonałego .

Powyższe wyrażenia zakładają, że gaz jest w reżimie klasycznym i jest opisywany przez statystykę Maxwella – Boltzmanna (z „poprawnym liczeniem Boltzmanna”). Z definicji długości fali termicznej oznacza to, że równanie Sackura – Tetrode jest ważne tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle {\ Frac {V} {N \ Lambda ^ {3}}} \ gg 1}$

W rzeczywistości entropia przewidywana przez równanie Sackura – Tetrode zbliża się do ujemnej nieskończoności, gdy temperatura zbliża się do zera.

Stała Sackura – Tetrode

Sackur-Tetrode stałe , napisany S ₀ / R jest równa S / K _B N oceniano w temperaturze T  = 1  kelwin na normalnym ciśnieniem (100 kPa i 101,325 kPa do oznaczenia), na jednym molem od An gaz doskonały złożony z cząstek o masie równej atomowej stałej masy ( m _u  =  1,660 539 066 60 (50) x 10 ^-27  kilogramy ). Jego zalecana wartość CODATA 2018 to:

S ₀ / R = −1,151 707 537 06 (45) dla p ^o = 100 kPa

S ₀ / R = −1,164 870 523 58 (45) dla p ^o = 101,325 kPa.

Interpretacja informacyjno-teoretyczna

Oprócz termodynamicznej perspektywy entropii , narzędzia teorii informacji mogą być użyte do zapewnienia informacyjnej perspektywy entropii . W szczególności możliwe jest wyprowadzenie równania Sackura – Tetrode'a w terminach informacyjno-teoretycznych. Całkowita entropia jest reprezentowana jako suma czterech indywidualnych entropii, tj. Czterech różnych źródeł brakujących informacji. Są to niepewność położenia, niepewność dotycząca pędu, zasada nieoznaczoności mechaniki kwantowej i nierozróżnialność cząstek. Podsumowując cztery części, równanie Sackura-Tetrode'a podaje się jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {S} {k _ {\ rm {B}} N}} & = [\ ln V] + \ lewo [{\ Frac {3} {2}} \ ln \ left (2 \ pi emk _ {\ rm {B}} T \ right) \ right] + [- 3 \ ln h] + \ left [- {\ frac {\ ln N!} {N}} \ right] \\ & \ approx \ ln \ left [{\ frac {V} {N}} \ left ({\ frac {2 \ pi mk _ {\ rm {B}} T} {h ^ {2}}} \ right ) ^ {\ frac {3} {2}} \ right] + {\ frac {5} {2}} \ end {aligned}}}$

Wyprowadzenie wykorzystuje Wzór Stirlinga , . Ściśle mówiąc, użycie zwymiarowanych argumentów do logarytmów jest niepoprawne, jednak ich użycie jest „skrótem” stworzonym dla uproszczenia. Gdyby każdy argument logarytmiczny został podzielony przez nieokreśloną wartość wzorcową wyrażoną jako nieokreślona masa wzorca, długość i czas, te standardowe wartości anulowałyby się w wyniku końcowym, dając ten sam wniosek. Poszczególne warunki entropii nie będą absolutne, ale będą raczej zależeć od wybranych standardów i będą różnić się w zależności od różnych standardów stałą addytywną. ${\ Displaystyle \ ln N! \ około N \ ln NN}$

Bibliografia

Dalsza lektura

• Emch, GG; Liu, C. (2002), Logic of Thermostatistics Physics , Springer-Verlag , Rozdział 3: Kinetic teoria gazów .
• Koutsoyiannis, D. (2013), „Fizyka niepewności, paradoks Gibbsa i nieodróżnialne cząstki”, Studies in History and Philosophy of Science Part B , 44 (4): 480–489, Bibcode : 2013SHPMP..44..480K , doi : 10.1016 / j.shpsb.2013.08.007 . (Wyprowadza to równanie Sackura – Tetrode w inny sposób, również na podstawie informacji).
• Paños, FJ; Pérez, E. (2015), „Sackur – Tetrode equation in the lab”, European Journal of Physics , 36 (5): 055033, Bibcode : 2015EJPh ... 36e5033J , doi : 10.1088 / 0143-0807 / 36/5 / 055033 .
• Williams, Richard (2009), „The Sackur – Tetrode Equation: How entropy met quantum mechanics” , APS News , 18 (8) .