Prosta funkcja - Simple function
W matematycznej dziedzinie rzeczywistej analizy , wykorzystując prostą funkcją jest prawdziwy -valued funkcja nad podzbiór prostej , podobnej do funkcji skokowej . Proste funkcje są wystarczająco „nice”, że korzystanie z nich sprawia, że rozumowanie matematyczne, teoria, oraz dowód łatwiejsze. Na przykład, proste funkcje osiągnąć tylko skończoną liczbę wartości. Niektórzy autorzy wymagają również proste funkcje, aby być mierzalne ; Stosowane w praktyce są one niezmiennie.
Podstawowy przykład prostą funkcją jest funkcja podłogi na uchylone przedziale [1, 9), w której jedynie wartości {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Bardziej zaawansowany przykład jest Dirichlet funkcja na prostej rzeczywistej, która przyjmuje wartość 1 jeśli x jest racjonalne i 0 w przeciwnym razie. (W ten sposób „prosty” z „prostą funkcją” ma sens techniczny nieco w sprzeczności ze wspólnym języku.) Należy również zauważyć, że wszystkie funkcje step są proste.
Proste funkcje są używane jako pierwszy etap w rozwoju teorii integracji takich jak Lebesgue integralną , ponieważ jest łatwy do określenia za integrację prostą funkcją, a także łatwo jest zbliżyć bardziej ogólnych funkcji sekwencje prostych funkcji.
Zawartość
Definicja
Formalnie prostą funkcją jest skończoną liniową kombinacją od funkcji wskaźnika o mierzalnych . Dokładniej, niech ( X , Σ) będzie wymierny przestrzeń . Niech 1 , ..., n ∈ Σ być sekwencja rozłącznych zbiorów mierzalnych i niech 1 , ..., n będzie ciągiem rzeczywistych lub liczb zespolonych . Prosta funkcja jest funkcją formy
gdzie jest funkcja wskaźnik zbioru A .
Właściwości prostych funkcji
Suma, różnica i iloczyn dwóch prostych funkcji są ponownie proste funkcje i mnożenie przez stałą utrzymuje prostą funkcję prosty; Stąd wynika, że zbiór wszystkich prostych funkcji na danej przestrzeni mierzalnej tworzy algebrę nad .
Integracja z prostych funkcji
Jeśli środek μ określa się na przestrzeni ( x , o) The integralna z F względem ľ jest
jeśli wszystkie summands są skończone.
Stosunek do integracji Lebesgue'a
Dowolna nieujemną mierzalne działanie jest punktowo granica monotonicznie rosnącej kolejności nieujemne prostych funkcji. Rzeczywiście, niech będzie nieujemną mierzalne Funkcja określona na powierzchni środka , jak poprzednio. Dla każdego podzielić ten zakres w odstępach czasu , które mają długość . Dla każdego , ustaw
- dla i .
(Zauważ, że na stałe , zbiory są rozłączne i pokrycie nieujemną prawdziwą linię).
Teraz określić wymierne zestawy
- dla .
Następnie zwiększa ciąg prostych funkcji
zbieżny punktowo do jak . Zauważ, że gdy jest ograniczona, zbieżność jest jednostajna. Zbliżanie za pomocą prostych funkcji (które są łatwe do zabudowy) pozwala nam określić integralną sama; zobacz artykuł na temat integracji Lebesgue'a więcej szczegółów.