Norma macierzy - Matrix norm

W matematyce , A normą matryca jest norma wektorowa z przestrzeni wektorowej którego elementy (wektory) są macierzami (o podanych wymiarach).

Czynności wstępne

Biorąc pod uwagę pole z zarówno rzeczywistych lub liczb zespolonych , niech będzie K - przestrzeń liniowa macierzy z wierszy i kolumn oraz wpisy w tej dziedzinie . Norma macierzowa jest normą dotyczącą${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K ^ {m \ razy n}}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K ^ {m \ razy n}}$

W tym artykule zawsze będziemy pisać takie normy z podwójnymi pionowymi kreskami (tak jak: ). Zatem norma macierzowa jest funkcją, która musi spełniać następujące właściwości: ${\ Displaystyle \ | A \ |}$ ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |: K ^ {m \ razy n} \ do \ mathbb {R}}$

Dla wszystkich skalarów i macierzy ,${\ Displaystyle \ alfa \ w K}$${\ Displaystyle A, B \ w K ^ {m \ razy n}}$

• ${\ Displaystyle \ | A \ | \ Geq 0}$( o wartości dodatniej )
• ${\ Displaystyle \ | A \ | = 0 \ jeśli A = 0_ {m, n}}$( określone )
• ${\displaystyle \|\alfa A\|=|\alfa |\|A\|}$( absolutnie jednorodny )
• ${\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|}$( subaddycja lub spełnienie nierówności trójkąta )

Jedyną cechą odróżniającą macierze od uporządkowanych wektorów jest mnożenie . Normy macierzowe są szczególnie przydatne, jeśli są również submultiplikatywne :

• ${\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|}$

Każdą normę na K ^{n × n} można przeskalować tak, aby była submultiplikatywna; w niektórych książkach norma matrycy terminologii jest zarezerwowana dla norm submultiplikatywnych.

Normy macierzowe indukowane przez normy wektorowe

Załóżmy, że podano normę wektorową on . Dowolna macierz A indukuje operator liniowy od do w stosunku do bazy standardowej i definiuje się odpowiednią indukowaną normę lub normę operatora na przestrzeni wszystkich macierzy w następujący sposób: ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\ Displaystyle K ^ {m}}$${\displaystyle m\razy n}$${\ Displaystyle K ^ {n}}$${\ Displaystyle K ^ {m}}$${\ Displaystyle K ^ {m \ razy n}}$${\displaystyle m\razy n}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} \ | A \ | & = \ sup \ {\ | Ax \ |: x \ w K ^ {n} {\ tekst {z}} \ | x \ | = 1 \} \\&=\sup \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n}{\text{ z }}x\neq 0\right \}.\end{wyrównany}}}$

W szczególności, jeśli p -normę dla wektorów ( 1 ≤ p ≤ ∞ ) stosuje się dla obu przestrzeni i , to odpowiednia indukowana norma operatora to: ${\ Displaystyle K ^ {n}}$${\ Displaystyle K ^ {m}}$

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {p} = \ sup _ {x \ neq 0} {\ Frac {\ | Ax \ | _ {p}} \ | x \ | _ {p}}}.}$

Te indukowane normy różnią się od „wejściowych” norm p i norm p Schattena dla macierzy traktowanych poniżej, które są również zwykle oznaczane przez${\ Displaystyle \ | A \ | _ {p}.}$

Uwaga: Powyższy opis dotyczy indukowanej normy operatora, gdy ta sama norma wektora została użyta w „przestrzeni odlotu” i „przestrzeni przybycia” operatora . Nie jest to konieczne ograniczenie. Bardziej ogólnie, mając na uwadze normę na i normę na , można zdefiniować normę macierzową na indukowaną przez te normy:${\ Displaystyle K ^ {n}}$${\ Displaystyle K ^ {m}}$${\ Displaystyle A \ w K ^ {m \ razy n}}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ alfa}}$${\ Displaystyle K ^ {n}}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ beta}}$${\ Displaystyle K ^ {m}}$${\ Displaystyle K ^ {m \ razy n}}$

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {\ alfa \ beta} = \ max _ {x \ neq 0} {\ Frac {\ | Ax \ | _ {\ beta}} {\ | x \ | _ {\ alfa }}}.}$

Norma macierzowa jest czasami nazywana normą podrzędną. Normy podrzędne są zgodne z normami, które je indukują, dając${\ Displaystyle \ | A \ | _ {\ alfa \ beta}}$

${\ Displaystyle \ | Ax \ | _ {\ beta} \ leq \ | | A \ | _ {\ alfa, \ beta} \ | x \ | _ {\ alfa}.}$

Każda indukowana norma operatora jest submultiplikatywną normą macierzy: wynika to z ${\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|;}$

${\displaystyle \|ABx\|\leq \|A\|\|Bx\|\leq \|A\|\|B\|\|x\|}$

oraz

${\ Displaystyle \ max _ {\ | x \ | = 1} \ | ABx \ | = \ | AB \ |.}$

Co więcej, każda indukowana norma zaspokaja nierówność

${\ Displaystyle \ | A ^ {r} \ | ^ {1/r} \ geq \ rho (A) \ quad}$ ( 1 )

dla dodatnich liczb całkowitych r , gdzie ρ ( ) jest promień spektralny z A . Dla symetrycznego lub hermitowskiego A mamy równość w ( 1 ) dla 2-normy, ponieważ w tym przypadku 2-norma jest dokładnie promieniem widmowym A . W przypadku arbitralnej macierzy możemy nie mieć równości dla żadnej normy; kontrprzykładem byłoby:

${\ Displaystyle A = {\ zacząć {bmatrix} 0 i 1 \ \ 0 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

który ma znikający promień widmowy. W każdym razie dla macierzy kwadratowych mamy wzór na promień widmowy :

${\ Displaystyle \ lim _ {r \ do \ infty} \ | A ^ {r} \ | ^ {1/r} = \ rho (A).}$

Kompatybilne i spójne normy

Normę macierzową on nazywamy zgodną z normą wektorową on i normą wektorową on , jeżeli: ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\ Displaystyle K ^ {m \ razy n}}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {a}}$${\ Displaystyle K ^ {n}}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {b}}$${\ Displaystyle K ^ {m}}$

${\ Displaystyle \ | Ax \ | _ {b} \ leq \ | A \ | \ | x \ | _ {a}}$

dla wszystkich . W szczególnym przypadku m = n i a = b , może być również nazwany zgodny z . Wszystkie indukowane normy są z definicji spójne. Ponadto każda submultiplikatywna norma macierzy on (uznawana za ) indukuje kompatybilną normę wektorową on przez zdefiniowanie . ${\ Displaystyle A \ w K ^ {m \ razy n}, x \ w K ^ {n}}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {a}}$${\ Displaystyle K ^ {n \ razy n}}$${\ Displaystyle (K ^ {n}) ^ {n}}$${\ Displaystyle K ^ {n}}$${\ Displaystyle \ | v \ |: = \ | \ lewo (v, v, ... v \ prawo) \ |}$

Przypadki specjalne

W szczególnych przypadkach indukowanej macierzy normy można obliczyć lub oszacować przez ${\displaystyle p=1,2,\infty,}$

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {1} = \ max _ {1 \ równoważnik j \ równoważnik n} \ suma _ {i = 1} ^ {m} | a_ {ij} |,}$

co jest po prostu maksymalną bezwzględną sumą kolumn macierzy;

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {\ infty} = \ max _ {1 \ równoważnik i \ równoważnik m} \ suma _ {j = 1} ^ {n} | a_ {ij} |}$

co jest po prostu maksymalną bezwzględną sumą wierszy macierzy.

W szczególnym przypadku ( norma euklidesowa lub norma dla wektorów) indukowaną normą macierzy jest norma spektralna . Normą widmową macierzy jest największa wartość osobliwa z (tj. pierwiastek kwadratowy z największej wartości własnej macierzy , gdzie oznacza transpozycję sprzężoną z ): ${\displaystyle p=2}$${\displaystyle \ell_{2}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A ^ {*} A}$${\ Displaystyle A ^ {*}}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {2} = {\ sqrt {\ lambda _ {\ max} \ lewo (A ^ {*} A \ po prawej)}} = \ sigma _ {\ max} (A). }$

gdzie reprezentuje największą wartość osobliwą macierzy . Także, ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ max} (A)}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ | A ^ {*} A \ | _ {2} = \ | AA ^ {*} \ | _ {2} = \ | A \ | _ {2} ^ {2}}$

od i podobnie przez rozkład według wartości osobliwych (SVD). Jest jeszcze jedna ważna nierówność: ${\ Displaystyle \ | A ^ {*} A \ | _ {2} = \ Sigma _ {\ maks.} (A ^ {*} A) = \ sigma _ {\ maks.} (A) ^ {2} = \ |A\|_{2}^{2}}$${\ Displaystyle \ | AA ^ {*} \ | _ {2} = \ | A \ | _ {2} ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {2} = \ Sigma _ {\ maks} (A) \ leq \ | A \ | _ {\ Rm {F}} = \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=\left(\sum _{k= 1}^{\min(m,n)}\sigma _{k}^{2}\right)^{\frac {1}{2}},}$

gdzie jest norma Frobeniusa . Równość obowiązuje wtedy i tylko wtedy, gdy macierz jest macierzą pierwszego rzędu lub macierzą zerową. Nierówność tę można wyprowadzić z faktu, że ślad macierzy jest równy sumie jej wartości własnych. ${\ Displaystyle \ | A \ | _ {\ RM {F}}}$${\ Displaystyle A}$

Kiedy mamy równoważną definicję dla as . Można wykazać, że jest równoważny powyższym definicjom, wykorzystując nierówność Cauchy'ego-Schwarza . ${\displaystyle p=2}$${\ Displaystyle \ | A \ | _ {2}}$${\ Displaystyle \ sup \ {x ^ {T} Ay: x, y \ w K ^ {n} {\ tekst {z}} \ | x \ | {2} = \ | y \ | _ {2} =1\}}$

Na przykład dla

${\ Displaystyle A = {\ zacząć {bmatrix} 3 i 5 i 7 \ \ 2 i 6 i 4 \ \ 0 i 2 i 8 \ \ \ koniec {bmatrix}}}$

mamy to

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {1} = \ max (| {-3} | +2 + 0; 5 + 6 + 2; 7 + 4 + 8) = \ max (5,13,19) = 19,}$

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {\ infty} = \ max (| {-3} | + 5 + 7; 2 + 6 + 4; 0 + 2 + 8) = \ max (15,12,10) =15.}$

„Entry-wise” macierzowe normy

Normy te traktują macierz jako wektor wielkości i wykorzystują jedną ze znanych norm wektorowych. Na przykład, używając normy p dla wektorów, p ≥ 1 , otrzymujemy: ${\displaystyle m\razy n}$${\displaystyle m\cdot n}$

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {p, p} = \ | \ operatorname {vec} (A) \ | _ {p} = \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {m} \ suma _ {j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\prawo)^{1/p}}$

Jest to inna norma od indukowanej p -normy (patrz wyżej) i p -normy Schattena (patrz poniżej), ale notacja jest taka sama.

Szczególnym przypadkiem p = 2 jest norma Frobeniusa, a p = ∞ daje normę maksymalną.

L _2,1 i L _p,q normy

Niech będą kolumny macierzy . Normą jest sumą euklidesowych norm kolumn macierzy: ${\ Displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle L_ {2,1}}$

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {2,1} = \ suma _ {j = 1} ^ {n} \ | a_ {j} \ | _ {2} = \ suma _ {j = 1} ^ { n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Normą jako funkcja błędu jest bardziej solidny, ponieważ błąd dla każdego punktu danych (kolumna) nie są obrobione. Jest używany do solidnej analizy danych i kodowania rzadkiego . ${\ Displaystyle L_ {2,1}}$

Dla p , q ≥ 1 , normę można uogólnić na normę w następujący sposób: ${\ Displaystyle L_ {2,1}}$${\displaystyle L_{p,q}}$

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {p, q} = \ lewo (\ suma _ {j = 1} ^ {n} \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {m} | a_ {ij}) |^{p}\prawo)^{\frac {q}{p}}\prawo)^{\frac {1}{q}}.}$

Norma Frobeniusa

Gdy p = q = 2 dla normy, nazywa się to normą Frobeniusa lub normą Hilberta-Schmidta , chociaż ten ostatni termin jest częściej używany w kontekście operatorów na (być może nieskończenie wymiarowej) przestrzeni Hilberta . Normę tę można definiować na różne sposoby: ${\displaystyle L_{p,q}}$

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {\ tekst {F}} = {\ sqrt {\ suma _ {i = 1} ^ {m} \ suma _ {j = 1} ^ {n} | a_ {ij} |^{2}}}={\sqrt {\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\min\{ m,n\}}\sigma _{i}^{2}(A)}},}$

gdzie są pojedyncze wartości z . Przypomnijmy, że funkcja trace zwraca sumę wpisów diagonalnych macierzy kwadratowej. ${\ Displaystyle \ sigma _ {i} (A)}$${\ Displaystyle A}$

Norma Frobeniusa jest rozszerzeniem normy euklidesowej do i pochodzi z iloczynu skalarnego Frobeniusa na przestrzeni wszystkich macierzy. ${\ Displaystyle K ^ {n \ razy n}}$

Norma Frobeniusa jest submultiplikatywna i jest bardzo użyteczna w numerycznej algebrze liniowej . Submultiplikatywność normy Frobeniusa można udowodnić za pomocą nierówności Cauchy'ego-Schwarza .

Norma Frobeniusa jest często łatwiejsza do obliczenia niż normy indukowane i ma przydatną właściwość bycia niezmienną przy obrotach (i ogólnie operacjach unitarnych ). Oznacza to, że dla dowolnej macierzy unitarnej . Własność ta wynika z cyklicznego charakteru śladu ( ): ${\ Displaystyle \ | A \ | _ {\ tekst {F}} = \ | AU \ | _ {\ tekst {F}} = \ | UA \ | _ {\ tekst {F}}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ operatorname {ślad} (XYZ) = \ operatorname {ślad} (ZXY)}$

${\ Displaystyle \ | AU \ | _ {\ tekst {F}} ^ {2} = \ nazwa operatora {ślad} \ po lewej ((AU) ^ {*} AU \ po prawej) = \ nazwa operatora {ślad} \ po lewej (U ^{*}A^{*}AU\right)=\operatorname {trace} \left(UU^{*}A^{*}A\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*} A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2},}$

i analogicznie:

${\ Displaystyle \ | UA \ | _ {\ tekst {F}} ^ {2} = \ nazwa operatora {ślad} \ po lewej ((UA) ^ {*} UA \ po prawej) = \ nazwa operatora {ślad} \ po lewej (A ^{*}U^{*}UA\right)=\operatorname {trace} \left(A^{*}A\right)=\|A\|_{\text{F}}^{2}, }$

gdzie użyliśmy unitarnego charakteru (czyli ). ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle U ^ {*} U = UU ^ {*} = \ mathbf {I}}$

Spełnia również

${\ Displaystyle \ | A ^ {*} A \ | _ {\ tekst {F}} = \ | AA ^ {*} \ | _ {\ tekst {F}} \ leq \ | | A \ | _ {\ tekst {F}}^{2}}$

oraz

${\ Displaystyle \ | A + B \ | _ {\ tekst {F}} ^ {2} = \ | A \ | _ {\ tekst {F}} ^ {2} + \ | B \ | _ {\ tekst {F}}^{2}+2\langle A,B\rangle _{\text{F}},}$

gdzie jest produkt wewnętrzny Frobeniusa . ${\ Displaystyle \ langle A, B \ rangle _ {\ tekst {F}}}$

Maksymalna norma

Maksymalna norma jest normą elementwise z p = q = ∞:

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {\ max} = \ max _ {ij} | a_ {ij} |.}$

Ta norma nie jest submultiplikatywna .

Zauważ, że w niektórych publikacjach (takich jak Złożoność komunikacji ) alternatywna definicja max-normy, zwana także -normą, odnosi się do normy faktoryzacji: ${\displaystyle \gamma_{2}}$

${\ Displaystyle \ gamma _ {2} (A) = \ min _ {U, V: A = UV ^ {T}} \ | U \ | _ {2, \ infty} \ | V \ | _ {2} \infty }=\min _{U,V:A=UV^{T}}\max _{i,j}\|U_{i,:}\|_{2}\|V_{j,:} \|_{2}}$

Normy Schattena

P -normy Schattena powstają przy zastosowaniu p -normy do wektora wartości osobliwych macierzy. Jeżeli wartości osobliwe macierzy są oznaczone przez σ _i , to norma p Schattena jest zdefiniowana przez ${\displaystyle m\razy n}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {p} = \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {\ min \ {m, n \}} \ sigma _ {i} ^ {p} (A) \ po prawej)^{\frac {1}{p}}.}$

Normy te ponownie dzielą notację z indukowanymi i wejściowymi normami p , ale są one różne.

Wszystkie normy Schatten są submultiplikatywne. Są również unitarnie niezmiennikami, co oznacza, że dla wszystkich macierzy i wszystkich macierzy unitarnych i . ${\ Displaystyle \ | A \ | = \ | UAV \ |}$${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle V}$

Najbardziej znane przypadki to p = 1, 2, ∞. Przypadek p = 2 daje wprowadzoną wcześniej normę Frobeniusa. Przypadek p = ∞ daje normę widmową, która jest normą operatora indukowaną przez wektor 2-norm (patrz wyżej). Wreszcie, p = 1 daje normę jądrową (znaną również jako norma śladowa lub norma Ky Fan 'n'), zdefiniowaną jako

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {*} = \ nazwa operatora {ślad} \ lewo ({\ sqrt {A ^ {*} A}} \ po prawej) = \ suma _ {i = 1} ^ {\ min \ {m,n\}}\sigma _{i}(A),}$

gdzie oznacza dodatnią półokreśloną macierz taką, że . Dokładniej, ponieważ jest dodatnią półokreśloną macierzą , jej pierwiastek kwadratowy jest dobrze zdefiniowany. Norma jądrowa jest wypukłą obwiednią funkcji rang , dlatego jest często wykorzystywana w optymalizacji matematycznej do wyszukiwania macierzy niskich rang. ${\ Displaystyle {\ sqrt {A ^ {*} A}}}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle BB = A ^ {*} A}$${\ Displaystyle A ^ {*} A}$${\ Displaystyle \ | A \ | _ {*}}$${\ Displaystyle {\ tekst {ranga}} (A)}$

Normy monotonne

Norma macierzowa nazywana jest monotoniczną, jeśli jest monotoniczna względem rzędu Loewnera . Zatem norma macierzowa rośnie, jeśli ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\ Displaystyle A \ preccurlyeq B \ Rightarrow \ | A \ | \ Leq \ | B \ |.}$

Norma Frobeniusa i norma spektralna są przykładami norm monotonicznych.

Normy cięcia

Innym źródłem inspiracji norm matrycy, jeżeli uzna się matrycę jako matrycy przylegania z ważonego , skierowanej wykresie . Tak zwana „norma cięcia” mierzy, jak blisko powiązany wykres jest dwuczęściowy :

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {\ Box} = \ max _ {S \ subseteq [n], T \ subseteq [m]} {\ lewo | \ suma _ {s \ w S, t \ w T} {A_{t,s}}\right|}}$

gdzie ∈ K ^{m x n} . Równoważne definicje (do stałego współczynnika) nakładają warunki 2| S |> n & 2| T |> m , S = T lub S ∩ T =∅ .

Norma odcięcia jest równoważna indukowanej normie operatora ‖·‖ _∞→1 , która sama jest równoważna innej normie, zwanej normą Grothendiecka .

Aby zdefiniować normę Grothendiecka, najpierw zauważ, że operator liniowy K ¹ → K ¹ jest po prostu skalarem, a zatem rozciąga się na operator liniowy na dowolnym K ^k → K ^k . Ponadto, mając dowolny wybór bazy dla K ⁿ i K ^m , każdy operator liniowy K ⁿ → K ^m rozszerza się na operator liniowy ( K ^k ) ⁿ → ( K ^k ) ^m , pozwalając każdemu elementowi macierzy na elementach K ^k przez mnożenie przez skalar. Norma Grothendiecka jest normą tego rozszerzonego operatora; w symbolach:

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {G, k} = \ sup _ {{\ tekst {każdy}} u_ {j}, v_ {j} \ w K ^ {k}; \ | u_ {j} \ |=\|v_{j}\|=1}{\suma _{j\in [n],l\in [m]}{(u_{j}\cdot v_{j})A_{l,j }}}}$

Norma Grothendiecka zależy od wyboru podstawy (zazwyczaj uważanej za podstawę standardową ) i k .

Równoważność norm

Dla dowolnych dwóch norm macierzowych i , mamy to: ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ alfa}}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ beta}}$

${\ Displaystyle r \ | A \ | _ {\ alfa} \ leq \ | | A \ | _ {\ beta} \ leq s \ | A \ | _ {\ alfa}}$

dla niektórych liczb dodatnich r i s , dla wszystkich macierzy . Innymi słowy, wszystkie normy dotyczące są równoważne ; wywołują tę samą topologię na . Dzieje się tak, ponieważ przestrzeń wektorowa ma wymiar skończony . ${\ Displaystyle A \ w K ^ {m \ razy n}}$${\ Displaystyle K ^ {m \ razy n}}$${\ Displaystyle K ^ {m \ razy n}}$${\ Displaystyle K ^ {m \ razy n}}$ ${\displaystyle m\razy n}$

Co więcej, dla każdej normy wektorowej na , istnieje unikalna dodatnia liczba rzeczywista, taka jak norma macierzy submultiplikatywnej dla każdego . ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n \ razy n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle l\|\cdot \|}$${\displaystyle l\geq k}$

O normie macierzy submultiplikatywnej mówi się, że jest minimalna , jeśli nie istnieje żadna inna norma macierzy submultiplikatywnej spełniająca wymagania . ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ alfa}}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ beta}}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ beta} < \ | \ cdot \ | _ {\ alfa}}$

Przykłady równoważności norm

Niech znowu odnosi się do norm indukowaną przez wektor p -norm (jak powyżej w punkcie indukowanej Norm). ${\ Displaystyle \ | A \ | _ {p}}$

Dla macierzy o randze , posiadać następujące nierówności: ${\ Displaystyle A \ w \ mathbb {R} ^ {m \ razy n}}$ ${\ Displaystyle r}$

• ${\ Displaystyle \ | A \ | _ {2} \ leq \ | A \ | _ {F} \ leq {\ sqrt {r}} \ | A \ | _ {2}}$
• ${\ Displaystyle \ | A \ | _ {F} \ leq \ | A \ | _ {*} \ leq {\ sqrt {r}} \ | A \ | _ {F}}$
• ${\ Displaystyle \ | A \ | _ {\ max} \ leq \ | A \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {mn}} \ | A \ | _ {\ max}}$
• ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {n}}} \ | A \ | _ {\ infty} \ leq \ | | A \ | _ {2} \ leq {\ sqrt {m}} \ | A \|_{\infty }}$
• ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {m}}} \ | A \ | _ {1} \ leq \ | A \ | {2} \ leq {\ sqrt {n}} \ | A \ |_{1}.}$

Inną użyteczną nierównością między normami macierzowymi jest:

${\ Displaystyle \ | A \ | _ {2} \ Leq {\ sqrt {\ | A \ | _ {1} \ | A \ | _ {\ infty}}},}$

co jest szczególnym przypadkiem nierówności Höldera .

Zobacz też

• Podwójna norma
• Norma logarytmiczna

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

• James W. Demmel , Applied Numerical Linear Algebra, rozdział 1.7, opublikowana przez SIAM, 1997.
• Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, opublikowana przez SIAM, 2000. [1]
• John Watrous , Teoria informacji kwantowej, 2.3 Normy operatorów , notatki z wykładów, University of Waterloo, 2011.
• Kendall Atkinson , Wprowadzenie do analizy numerycznej, opublikowane przez John Wiley & Sons, Inc 1989