Podobiekt - Subobject
W teorii kategorii , gałęzi matematyki , podobiekt to, z grubsza mówiąc, obiekt, który znajduje się wewnątrz innego obiektu z tej samej kategorii . Pojęcie to jest uogólnieniem pojęć, takich jak podzbiory z teorii mnogości , podgrupy z teorii grup i podprzestrzenie z topologii . Ponieważ szczegółowa struktura obiektów jest nieistotna w teorii kategorii, definicja podobiektu opiera się na morfizmie, który opisuje, jak jeden obiekt znajduje się wewnątrz drugiego, a nie na wykorzystaniu elementów.
Podwójnej koncepcji do podobiektu jest obiektem iloraz . To uogólnienie pojęcia takie jak iloraz zestawów , grupy iloraz , iloraz przestrzeni , iloraz wykresów itp
Definicje
W szczegółach niech będzie przedmiotem jakiejś kategorii. Biorąc pod uwagę dwa monomorfizmy
z codomain piszemy, jeśli czynniki przechodzą - to znaczy, jeśli istnieje takie, że . Relacja binarna zdefiniowana przez
jest relacją równoważności na monomorfizm z codomain i odpowiadające im klasy równoważności tych monomorfizm są podobiekty z . (Równoważnie można określić przez stosunek równoważności , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje izomorfizm z ).
Relacja ≤ wywołuje częściowy porządek na zbiorze podobiektów .
Zbiór podobiektów obiektu może w rzeczywistości być odpowiednią klasą ; oznacza to, że podana dyskusja jest nieco luźna. Jeśli zbiór podobiektów każdego obiektu jest zbiorem , kategoria jest nazywana dobrze zasilaną lub, rzadko, lokalnie małą (koliduje to z innym użyciem terminu lokalnie mały , a mianowicie, że istnieje zestaw morfizmów między dowolnymi dwoma obiektami ).
Aby uzyskać podwójną koncepcję obiektu ilorazowego , zamień „monomorfizm” na „ epimorfizm ” powyżej i odwróć strzałki. Obiekt ilorazowy A jest zatem klasą równoważności epimorfizmów z dziedziną A.
Przykłady
- W Zestaw , w kategorii zbiorów , o podobiekt od A odpowiada do podzbioru B do A , a raczej zbiór wszystkich map z zestawów równy co do siły do B z obrazu dokładnie pensjonatów . Podobiekt porządek częściowy zestaw w zestaw jest właśnie jej podzbiorem kraty .
- W Grp , w kategorii grup , z podobiektów od A odpowiadają w podgrupach z A .
- Mając częściowo uporządkowaną klasę P = ( P , ≤), możemy utworzyć kategorię z elementami P jako obiektami i pojedynczą strzałką od p do q iff p ≤ q . Jeśli P ma największy element, to podobiekt częściowy tego największego elementu będzie sam P. Dzieje się tak po części dlatego, że wszystkie strzały w takiej kategorii będą monomorfizmami.
- Podobiekt z zaciskiem przedmiotu nazywa się subterminal przedmiot .
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician , Graduate Texts in Mathematics , 5 (2nd ed.), New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98403-8 , Zbl 0906.18001 CS1 maint: zniechęcony parametr ( link )
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, wyd. (2004). Podstawy kategorialne. Tematy specjalne w kolejności, topologia, algebra i teoria snopów . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7 . Zbl 1034.18001 .