Trychotomia (matematyka) - Trichotomy (mathematics)

W matematyce prawo trychotomii mówi, że każda liczba rzeczywista jest dodatnia, ujemna lub zero.

Bardziej ogólnie, binarny stosunek R w zbiorze X jest trichotomous jeżeli dla wszystkich X i Y w X dokładnie jeden xRy , yRx i x  =  y ładowni. Zapisując R jako <, jest to określone w logice formalnej jako:

${\ Displaystyle \ forall x \ w X \, \ forall y \ w X \, ([x <y \, \ ziemia \, \ lnot (y <x) \, \ ziemia \, \ lnot (x = y) ] \, \ lor \, [\ lnot (x <y) \, \ land \, y <x \, \ land \, \ lnot (x = y)] \, \ lor \, [\ lnot (x < y) \, \ land \, \ lnot (y <x) \, \ land \, x = y]) \ ,.}$

Nieruchomości

• Relacja jest trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest asymetryczna i połączona .
• Jeśli relacja trychotomiczna jest również przechodnia, to jest to ścisły porządek całkowity ; jest to szczególny przypadek ściśle słabego porządku .

Przykłady

• Na zbiorze X = { a , b , c } relacja R = {( a , b ), ( a , c ), ( b , c )} jest przechodnia i trychotomiczna, a zatem jest ścisłym porządkiem całkowitym .
• W tym samym zbiorze relacja cykliczna R = {( a , b ), ( b , c ), ( c , a )} jest trychotomiczna, ale nie przechodnia; jest nawet przeciwprzechodni .

Trychotomia na liczbach

Prawo trichotomię na pewnym zbiorze X liczb wyraża zwykle milcząco, że niektóre podane relacja zamawianie na X jest trichotomous jeden. Przykładem jest prawo „W przypadku dowolnych liczb rzeczywistych x i y obowiązuje dokładnie jedna z wartości x < y , y < x lub x  =  y ”; niektórzy autorzy nawet ustalają, że y jest równe zero, opierając się na addytywnej liniowo uporządkowanej strukturze grup liczby rzeczywistej . Ta ostatnia to grupa wyposażona w trychotomiczny porządek.

W logice klasycznej ten aksjomat trychotomii obowiązuje dla zwykłego porównywania liczb rzeczywistych, a zatem także dla porównań między liczbami całkowitymi i między liczbami wymiernymi . Prawo w ogóle nie obowiązuje w logice intuicjonistycznej .

W teorii mnogości Zermelo – Fraenkla i teorii mnogości Bernaysa prawo trychotomii zachodzi między liczebnikami głównymi zbiorów dobrze uporządkowanych, nawet bez aksjomatu wyboru . Jeśli aksjomat wyboru obowiązuje, to trychotomia zachodzi między dowolnymi liczbami kardynalnymi (ponieważ wszystkie są w tym przypadku dobrze uporządkowane).

Zobacz też

• Begriffsschrift zawiera wczesne sformułowanie prawa trychotomii
• Dychotomia
• Prawo niesprzeczności
• Prawo wyłączonego środka
• Porównanie trójstronne

Bibliografia