Seria centralna - Central series

W matematyce , zwłaszcza w dziedzinie teorii grup i teorii Lie , wykorzystując centralny seria to rodzaj zwykłych serii z podgrup lub subalgebras Lie , wyrażając pogląd, że komutator jest prawie trywialne. W przypadku grup jest to wyraźne wyrażenie, że grupa jest grupą zerową , a dla pierścieni macierzy jest to wyraźne wyrażenie, że w pewnym sensie pierścień matrycy składa się wyłącznie z górnych trójkątnych macierzy o stałej przekątnej.

W tym artykule posłużono się językiem teorii grup; analogiczne terminy są używane dla algebr Liego.

Niższy centralny seria i górna centralnych serii (zwany także malejące centralny serię i rosnąco centralną serii , odpowiednio), są, pomimo „centralny” w ich nazwach, centralny seria wtedy i tylko wtedy, gdy grupa jest nilpotent .

Definicja

Seria centralna to sekwencja podgrup

${\ displaystyle \ {1 \} = A_ {0} \ triangleleft A_ {1} \ triangleleft \ dots \ triangleleft A_ {n} = G}$

takie, że kolejne ilorazy są centralne ; to znaczy , w którym oznacza podgrupę komutatora generowane przez wszystkich elementów postaci , przy g z G i h in H . Ponieważ podgrupa jest normalna w G dla każdego i . W ten sposób możemy sformułować powyższy warunek `` centralny '' jako: jest normalny w G i jest centralny w każdym i . W konsekwencji jest abelowa dla każdego i . ${\ displaystyle [G, A_ {i + 1}] \ równoważnik A_ {i}}$${\ displaystyle [G, H]}$${\ Displaystyle g ^ {- 1} h ^ {- 1} gh}$${\ displaystyle [G, A_ {i + 1}] \ równoważnik A_ {i} \ równoważnik A_ {i + 1}}$${\ displaystyle A_ {i + 1}}$${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle A_ {i + 1} / A_ {i}}$${\ displaystyle G / A_ {i}}$${\ displaystyle A_ {i + 1} / A_ {i}}$

Szereg centralny jest analogiczny w teorii Liego do flagi, która jest ściśle zachowana przez działanie sprzężone (bardziej prozaicznie, podstawa, w której każdy element jest reprezentowany przez ściśle górną trójkątną macierz); porównaj twierdzenie Engela .

Grupa nie musi mieć serii centralnej. W rzeczywistości grupa ma centralny szereg wtedy i tylko wtedy, gdy jest grupą zerową . Jeśli grupa ma serię centralną, to istnieją dwie serie centralne, których terminy są ekstremalne w pewnych znaczeniach. Ponieważ A ₀ = {1}, środek Z ( G ) spełnia A ₁ ≤ Z ( G ). Dlatego maksymalny wybór dla A ₁ to A ₁ = Z ( G ). Kontynuując w ten sposób wybór największego możliwego A _{i + 1} danego A _i daje tak zwany górny szereg centralny . Podwójnie, ponieważ A _n  =  G , podgrupa komutatora [ G , G ] spełnia [ G , G ] = [ G , A _n ] ≤ A _{n - 1} . Dlatego minimalny wybór dla A _{n - 1} to [ G , G ]. Kontynuacja wybierania A _{i przy} minimalnie danym A _{i + 1} tak, że [ G , A _{i + 1} ] ≤ A _i daje tak zwany dolny szereg centralny . Szeregi te można skonstruować dla dowolnej grupy, a jeśli grupa ma szereg centralny (jest grupą zerową), procedury te przyniosą szereg centralny.

Dolna seria środkowa

Dolną środkową serii (lub malejąco centralną serii ) grupy G jest seria malejąco podgrup

G = G ₁ ⊵ G ₂ ⊵ ⋯ ⊵ G _n ⊵ ⋯,

w której, dla każdego n ,

${\ Displaystyle G_ {n + 1} = [G_ {n}, G]}$ ,

podgrupy z G generowane przez wszystkich komutatorów z i . Tak więc, The podgrupa pochodzące z G , podczas gdy , itp dolną środkową serii jest często oznaczany . ${\ displaystyle [x, y]}$${\ displaystyle x \ in G_ {n}}$${\ displaystyle y \ in G}$${\ Displaystyle G_ {2} = [G, G] = G ^ {(1)}}$${\ displaystyle G_ {3} = [[G, G], G]}$${\ Displaystyle \ gamma _ {n} (G) = G_ {n}}$

Nie należy tego mylić z szeregiem pochodnym , którego warunki są

${\ Displaystyle G ^ {(n)}: = [G ^ {(n-1)}, G ^ {(n-1)}]}$ ,

nie . Obie serie są powiązane przez . Na przykład symetryczną grupę S ₃ można rozwiązać z klasy 2: szereg wyprowadzony to S ₃ ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ { e }. Ale nie jest zerowa: jej dolny szereg centralny S ₃ ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ ⋯ nie kończy się. Grupa zerowa jest grupą możliwą do rozwiązania , a jej wyprowadzona długość jest logarytmiczna w jej klasie zerowej ( Schenkman 1975 , s. 201, 216). ${\ Displaystyle G_ {n} = [G_ {n-1}, G]}$${\ Displaystyle G ^ {(n)} \ równoważnik G_ {n}}$

W przypadku grup nieskończonych można kontynuować dolną serię centralną do nieskończonych liczb porządkowych poprzez rekurencję pozaskończoną : dla granicy porządkowej λ należy zdefiniować

${\ Displaystyle G _ {\ lambda} = \ bigcap \ {G _ {\ alpha}: \ alpha <\ lambda \}}$ .

Jeśli dla jakiegoś porządkowego λ , to mówi się, że G jest grupą hipocentralną . Dla każdego porządkowego λ istnieje taka grupa G , że , ale dla wszystkich , ( Malcev 1949 ). ${\ displaystyle G _ {\ lambda} = 1}$${\ displaystyle G _ {\ lambda} = 1}$${\ displaystyle G _ {\ alpha} \ neq 1}$${\ Displaystyle \ alpha <\ lambda}$

Jeśli jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową, to najmniejsza normalna podgrupa G jest taka, że ​​iloraz jest rezydualnie zerowy , to znaczy taki, że każdy element nieidentyfikacyjny ma homomorficzny obraz nieidentyfikacyjny w grupie zerowej ( Schenkman 1975 , s. 175, 183). W dziedzinie kombinatorycznej teorii grup ważnym i wczesnym wynikiem jest stwierdzenie, że wolne grupy są rezydualnie zerowe. W rzeczywistości ilorazy dolnej serii centralnej są swobodnymi grupami abelowymi o naturalnej podstawie określonej przez podstawowe komutatory ( Hall 1959 , rozdz. 11). ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle G _ {\ omega}}$

Jeżeli z jakiegoś skończonej n , to jest najmniejszą normalny podgrupa G z nilpotent iloraz i jest nazywany nilpotent resztkowych z G . Ma to miejsce zawsze w przypadku skończonej grupy i określa termin w dolnym szeregu okuć dla G . ${\ displaystyle G _ {\ omega} = G_ {n}}$${\ displaystyle G _ {\ omega}}$${\ displaystyle G _ {\ omega}}$${\ Displaystyle F_ {1} (G)}$

Jeśli dla wszystkich skończonych n , to nie jest zerowy, ale rezydualnie zerowy . ${\ Displaystyle G _ {\ omega} \ neq G_ {n}}$${\ Displaystyle G / G _ {\ omega}}$

Nie ma ogólnego terminu na przecięcie wszystkich terminów nieskończonego niższego szeregu centralnego, analogicznego do hipercentrum (poniżej).

Górna seria środkowa

Górną centralną serii (lub rosnąco centralny serii ) grupy G jest sekwencja podgrupy

${\ displaystyle 1 = Z_ {0} \ triangleleft Z_ {1} \ triangleleft \ cdots \ triangleleft Z_ {i} \ triangleleft \ cdots,}$

gdzie każda kolejna grupa jest określona przez:

${\ displaystyle Z_ {i + 1} = \ {x \ in G \ mid \ forall y \ in G: [x, y] \ in Z_ {i} \}}$

i nazywa się i środek p o G (odpowiednio drugiego centrum , trzeciego środka , etc.). W tym przypadku, jest to środek z G i na każdej kolejnej grupie, grupa czynnikiem jest w centrum i jest zwany górny szereg iloraz centralny . ${\ displaystyle Z_ {1}}$ ${\ displaystyle Z_ {i + 1} / Z_ {i}}$${\ displaystyle G / Z_ {i}}$

W przypadku grup nieskończonych można kontynuować górny szereg centralny do nieskończonych liczb porządkowych poprzez rekurencję pozaskończoną : dla granicy porządkowej λ zdefiniuj

${\ Displaystyle Z _ {\ lambda} (G) = \ bigcup _ {\ alpha <\ lambda} Z _ {\ alpha} (G).}$

Granica tego procesu (połączenie wyższych ośrodków) nazywana jest hipercentrum grupy.

Jeśli nieskończony górny szereg centralny ustabilizuje się w całej grupie, wówczas grupa ta nazywana jest hipercentralną . Grupy Hypercentral korzystać wiele właściwości Grupa Nilpotentna, takich jak stan normalizer (The normalizator odpowiedniej podgrupy odpowiednio zawiera podgrupy), elementy rzędu względnie pierwsze dojazdy i okresowych grup hypercentral są bezpośrednim suma ich Sylow s -subgroups ( Schenkman 1975 , Rozdz. VI.3). Dla każdego porządkowego λ istnieje grupa G, w której Z _λ ( G ) = G , ale Z _α ( G ) ≠ G dla α < λ , ( Gluškov 1952 ) i ( McLain 1956 ).

Połączenie między dolną i górną serią środkową

Istnieją różne powiązania między dolną serią centralną (LCS) i górną serią środkową (UCS) ( Ellis 2001 ), szczególnie w przypadku grup zerowych .

Najprościej mówiąc, grupa jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy LCS kończy się na pierwszym kroku (podgrupa komutatora jest trywialna) wtedy i tylko wtedy, gdy LUW ustabilizuje się na pierwszym kroku (środek jest całą grupą). Mówiąc bardziej ogólnie, dla grupy o zerowej potencji, długość LCS i długość UCS są zgodne (i nazywa się to klasą zerową grupy). Jednak LCS i UCS grupy zerowej niekoniecznie muszą mieć te same warunki. Na przykład, podczas gdy UCS i LCS zgadzają się na cykliczną grupę C ₂ i grupę kwaternionów Q ₈ (które są odpowiednio C ₂ ⊵ { e } i Q ₈ ⊵ {1, -1} ⊵ {1}), UCS i LCS ich iloczynu bezpośredniego C ₂ × Q ₈ nie: jego dolny szereg centralny to C ₂ × Q ₈ ⊵ { e } × {-1, 1} ⊵ { e } × {1}, podczas gdy górny szereg centralny to C ₂ × Q ₈ ⊵ C ₂ × {-1, 1} ⊵ { e } × {1}.

Jednak LCS stabilizuje się na kroku zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy jest doskonały , podczas gdy LUW stabilizuje się na kroku zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy jest bez środka , co jest odrębnymi pojęciami i pokazuje, że długości LCS i LUW (interpretowane co oznacza długość przed stabilizacją) nie muszą się ogólnie zgadzać.

W przypadku doskonałej grupy UCS zawsze stabilizuje się na pierwszym etapie, co jest faktem zwanym lematem Grüna . Jednak grupa bez środka może mieć bardzo długi niższy szereg centralny: wolna grupa na dwóch lub więcej generatorach jest bezśrodkowa, ale jej dolny szereg centralny stabilizuje się dopiero w pierwszej nieskończonej liczbie porządkowej.

Wyrafinowana seria centralna

W badaniu z udziałem p -grupy , często jest to ważne, aby stosować dłużej centralnych serii. Ważną klasą takich centralnych szeregów są wykładnik- p serie centralne; to znaczy szereg centralny, którego ilorazami są elementarne grupy abelowe , lub co jest tym samym, ma wykładnik p . Istnieje jeden taki szereg najszybciej schodzący, niższy wykładnik - p szereg centralny λ określony przez:

${\ Displaystyle \ lambda _ {1} (G) = G}$ , i

${\ Displaystyle \ lambda _ {n + 1} (G) = [G, \ lambda _ {n} (G)] (\ lambda _ {n} (G)) ^ {p}}$ .

Drugi składnik, jest równa , w podgrupie Frattini . Szereg środkowy o niższym wykładniku- p jest czasami nazywany po prostu szeregiem p- centralnym. ${\ Displaystyle \ lambda _ {2} (G)}$${\ Displaystyle [G, G] G ^ {p} = \ Phi (G)}$

Istnieje jeden taki szereg najszybciej rosnący, górny wykładnik - p szereg centralny S określony przez:

S ₀ ( G ) = 1

S _{n +1} ( G ) / S _n ( G ) = Ω (Z ( G / S _n ( G )))

gdzie Ω ( Z ( H )) oznacza podgrupę utworzoną przez (i równą) zbiorem elementów centralnych H rzędu dzielącego p . Pierwszy składnik, S ₁ ( G ) jest podgrupa generowane przez minimalne normalnych podgrup, a więc jest równa cokołem o G . Z tego powodu górny wykładnik- p ciąg centralny jest czasami nazywany szeregiem cokołowym lub nawet szeregiem Loewy'ego, chociaż ten ostatni jest zwykle używany do wskazania szeregu malejącego.

Czasami przydatne są inne uściślenia serii centralnej, takie jak szereg Jenningsa κ zdefiniowany przez:

κ ₁ ( G ) = G i

κ _{n + 1} ( G ) = [ G , κ _n ( G )] (κ _i ( G )) ^p , gdzie i jest najmniejszą liczbą całkowitą większą lub równą n / p .

Seria Jennings jest nazwany Stephen Arthur Jennings , który korzystał z serii opisać serię Loewy modułowego pierścienia grupy o p -group.

Zobacz też

• Szereg nilpotentny , analogiczna koncepcja dla grup rozwiązywalnych
• Relacje rodzic-potomek dla skończonych grup p zdefiniowanych przez różne rodzaje szeregów centralnych
• Jednolita grupa

Bibliografia

• Ellis, Graham (październik 2001), „On the Relation between Upper Central Quotients and Lower Central Series of a Group”, Transactions of the American Mathematical Society , 353 (10): 4219–4234, doi : 10.1090 / S0002-9947-01 -02812-4 , JSTOR   2693793
• Gluškov VM (1952), "O centralnym szeregu nieskończonych grup", Mat. Sbornik , New Series, 31 : 491–496, MR   0052427
• Hall, Marshall (1959), Teoria grup , Macmillan, MR   0103215
• Malcev, AI (1949), „Generalized nilpotent algebras and their related groups”, Mat. Sbornik , New Series, 25 (67): 347–366, MR   0032644
• McLain, DH (1956), „Uwagi na temat górnej środkowej serii grupy”, Proc. Natl. Glasgow Math. Doc. , 3 : 38–44, doi : 10.1017 / S2040618500033414 , MR   0084498
• Schenkman, Eugene (1975), Teoria grup , Robert E. Krieger Publishing, ISBN   978-0-88275-070-5 , MR   0460422 , zwłaszcza rozdział VI.