Aksjomat zjednoczenia - Axiom of union
W aksjomatycznej teorii The aksjomat sumy jest jednym z aksjomatów o aksjomaty zermelo-fraenkela . Ten aksjomat został wprowadzony przez Ernsta Zermelo .
Aksjomat stwierdza, że dla każdego zbioru x istnieje zbiór y, którego elementy są dokładnie elementami elementów x .
Oświadczenie formalne
W formalnym języku aksjomatów Zermelo – Fraenkla, aksjomat brzmi:
lub słownie:
- Biorąc pod uwagę każdy zestaw , jest zestaw B tak, że dla każdego elementu C , C jest członkiem B , wtedy i tylko wtedy, gdy znajduje się zestaw D w taki sposób, c jest członkiem D i D jest członkiem A .
lub prościej:
- Dla każdego zbioru istnieje zestaw, który składa się tylko z elementów elementów tego zbioru .
Związek z parowaniem
Aksjomat zjednoczenia pozwala rozpakować zestaw zestawów i stworzyć w ten sposób bardziej płaski zestaw. Wraz z aksjomatem parowania oznacza to, że dla dowolnych dwóch zbiorów istnieje zbiór (zwany ich sumą ), który zawiera dokładnie elementy tych dwóch zbiorów.
Związek z wymianą
Aksjomat zamiany pozwala na utworzenie wielu związków, takich jak suma dwóch zbiorów.
Jednak, w całej swojej ogólności, aksjomat unii jest niezależny od pozostałych aksjomatów ZFC: Zastąpienie nie dowodzi istnienia sumy zbioru zbiorów, jeśli wynik zawiera nieograniczoną liczbę liczebności.
Wraz z aksjomatem zastępowania , aksjomat unii implikuje, że można utworzyć sumę rodziny zbiorów indeksowanych przez zbiór.
Związek z separacją
W kontekście teorii mnogości, które zawierają aksjomat separacji, aksjomat unii jest czasami podawany w słabszej formie, która tworzy jedynie nadzbiór sumy zbioru. Na przykład Kunen stwierdza, że aksjomat jako
co jest równoważne
W porównaniu z aksjomatem podanym na początku tej sekcji, ta odmiana zapewnia tylko jeden kierunek implikacji, a nie oba kierunki.
Relacja do przecięcia
Nie ma odpowiedniego aksjomatu przecięcia . Jeśli jest to niepusty zbiór zawierający , możliwe jest utworzenie przecięcia przy użyciu schematu aksjomatów specyfikacji jako
- ,
więc nie jest potrzebny osobny aksjomat przecięcia. (Jeśli A jest zbiorem pustym , to próba utworzenia przecięcia A jako
- { c : dla wszystkich D w A , c jest w D }
nie jest dozwolone przez aksjomaty. Co więcej, gdyby taki zbiór istniał, to zawierałby każdy zbiór ze „wszechświata”, ale pojęcie zbioru uniwersalnego jest sprzeczne z teorią mnogości Zermelo – Fraenkla).
Bibliografia
Dalsza lektura
- Paul Halmos , Naiwna teoria mnogości . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Przedruk przez Springer-Verlag, Nowy Jork, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (wydanie Springer-Verlag).
- Jech, Thomas , 2003. Teoria mnogości: trzecie wydanie milenijne, poprawione i rozszerzone . Skoczek. ISBN 3-540-44085-2 .