Aksjomat schematu specyfikacji - Axiom schema of specification

W wielu popularnych wersjach aksjomatycznej teorii mnogości , schemat aksjomatu specyfikacji , znany również jako schemat aksjomatu separacji , schemat aksjomatu podzbiorów lub schemat aksjomatu ograniczonego rozumienia, jest schematem aksjomatu . Zasadniczo mówi, że każda definiowalna podklasa zbioru jest zbiorem.

Niektórzy matematycy nazywają to aksjomatycznym schematem rozumienia , chociaż inni używają tego terminu do nieograniczonego rozumienia , omówionego poniżej.

Ponieważ ograniczanie rozumienia pozwalało uniknąć paradoksu Russella , kilku matematyków, w tym Zermelo , Fraenkel i Gödel, uważało je za najważniejszy aksjomat teorii mnogości.

Komunikat

Dla każdej formuły φ w języku teorii mnogości ze zmiennymi wolnymi między x , w ₁ , ..., w _n , A , dołączono jeden egzemplarz schematu . Więc B nie występuje w . W formalnym języku teorii mnogości schemat aksjomatu to:

${\ Displaystyle \ forall w_ {1}, \ ldots, w_ {n} \, \ forall A \, \ istnieje B \, \ forall x \, (x \ w B \ Leftrightarrow [x \ w A \ ziemia \ varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])}$

lub słownie:

Mając dowolny zbiór A , istnieje zbiór B (podzbiór A ) taki, że przy danym zbiorze x , x jest członkiem B wtedy i tylko wtedy, gdy x jest członkiem A i φ obowiązuje dla x .

Zauważ, że dla każdego takiego predykatu istnieje jeden aksjomat ; zatem jest to schemat aksjomatu .

Aby zrozumieć ten schemat aksjomatu, uwaga, że zbiór B musi być podzbiorem od A . Tak więc, co schemat aksjomatu jest naprawdę powiedzieć, że biorąc pod uwagę zestaw i orzecznik P , możemy znaleźć podzbiór B na A , której członkowie są właśnie członkowie A że spełniają P . Zgodnie z aksjomatem ekstensjonalności zbiór ten jest wyjątkowy. Zwykle oznaczamy ten zbiór używając notacji konstruktora zbiorów jako { C ∈ A  : P ( C )}. Zatem istotą aksjomatu jest:

Każda podklasa zbioru, która jest zdefiniowana przez predykat, sama jest zbiorem.

Aksjomat schematu specyfikacji jest charakterystyczny dla systemów aksjomatycznej teorii mnogości związanych ze zwykłą teorią mnogości ZFC , ale zwykle nie występuje w radykalnie odmiennych systemach alternatywnej teorii mnogości . Na przykład, nowe fundamenty i pozytywny zestaw teoria wykorzystują do tego różne ograniczenia dotyczące aksjomatu pojmowania od naiwnej teorii mnogości . Alternatywna teoria mnogości z Vopenka sprawia, że punkt specyficznej umożliwiając odpowiednie podklasy zestawów, zwane semisets . Nawet w systemach związanych z ZFC schemat ten jest czasami ograniczony do formuł z ograniczonymi kwantyfikatorami, jak w teorii mnogości Kripkego-Platka z urelementami .

Związek ze schematem aksjomatu zastępowania

Schemat aksjomatu separacji może być prawie wyprowadzony ze schematu aksjomatu zastępowania .

Najpierw przypomnij sobie ten schemat aksjomatu:

${\ Displaystyle \ dla wszystkich A \, \ istnieje B \, \ dla wszystkich C \ (C \ w B \ jeśli \ istnieje D \, [D \ w A \ ziemi C = F (D)])}$

dla dowolnego predykatu funkcjonalnego F w jednej zmiennej , która nie używa symboli A , B , C ani D . Mając odpowiedni predykat P dla aksjomatu specyfikacji, zdefiniuj odwzorowanie F przez F ( D ) = D , jeśli P ( D ) jest prawdziwe i F ( D ) = E , jeśli P ( D ) jest fałszywe, gdzie E jest dowolnym elementem takie, że P ( PL ) jest prawdziwe. Wtedy zbiór B gwarantowany przez aksjomat zastępowania jest właśnie zbiorem B wymaganym dla aksjomatu specyfikacji. Jedynym problemem jest to, że takie E nie istnieje. Ale w tym przypadku zbiór B wymagany dla aksjomatu separacji jest zbiorem pustym , więc aksjomat separacji wynika z aksjomatu zastępowania razem z aksjomatem zbioru pustego .

Z tego powodu schemat aksjomatu specyfikacji jest często pomijany we współczesnych listach aksjomatów Zermelo-Fraenkla. Jednak nadal jest to ważne dla rozważań historycznych i dla porównania z alternatywnymi aksjomatyzacjami teorii mnogości, jak widać na przykład w następnych rozdziałach.

Nieograniczone zrozumienie

Schemat aksjomatu nieograniczonego zrozumieniem czyta:

${\ Displaystyle \ forall w_ {1}, \ ldots, w_ {n} \, \ istnieje B \, \ forall x \, (x \ w B \ Leftrightarrow \ varphi (x, w_ {1}, \ ldots, w_ {n}))}$

to jest:

Istnieje zbiór B, którego członkami są dokładnie te obiekty, które spełniają predykat φ.

Ten zbiór B jest znowu unikalny i zwykle oznaczany jako { x  : φ ( x , w ₁ , ..., w _n )}.

Ten schemat aksjomatów był milcząco używany we wczesnych dniach naiwnej teorii mnogości , zanim przyjęto ścisłą aksjomatyzację. Niestety prowadzi to bezpośrednio do paradoksu Russella, przyjmując, że φ ( x ) jest równe ¬( x  ∈  x ) (tj. własność, która ustawia x nie jest elementem samym w sobie). Dlatego żadna użyteczna aksjomatyzacja teorii mnogości nie może używać rozumienia nieograniczonego. Przejście od logiki klasycznej do intuicjonistycznej nie pomaga, gdyż dowód paradoksu Russella jest intuicjonistycznie słuszny.

Przyjęcie jedynie aksjomatycznego schematu specyfikacji było początkiem aksjomatycznej teorii mnogości. Większość innych aksjomatów Zermelo-Fraenkla (ale nie aksjomat ekstensjonalizmu , aksjomat regularności lub aksjomat wyboru ) stała się konieczna, aby nadrobić część tego, co zostało utracone przez zmianę schematu aksjomatu rozumienia na schemat aksjomatu rozumienia. specyfikacji – każdy z tych aksjomatów stwierdza, że ​​pewien zbiór istnieje i definiuje ten zbiór, podając predykat, który jego człony spełniają, czyli jest to szczególny przypadek aksjomalnego schematu rozumienia.

Można również zapobiec niespójności schematu, ograniczając formuły, do których można go zastosować, na przykład tylko formuły warstwowe w Nowych fundamentach (patrz poniżej) lub tylko formuły pozytywne (formuły zawierające tylko koniunkcję, alternatywę, kwantyfikację i formuły atomowe) w teorii mnogości dodatnich . Jednak formuły pozytywne zazwyczaj nie są w stanie wyrazić pewnych rzeczy, które potrafi większość teorii; na przykład w teorii zbiorów dodatnich nie ma dopełnienia ani dopełnienia względnego.

W teorii klas NBG

W teorii mnogości von Neumanna-Bernaysa-Gödla rozróżnia się zbiory i klasy . Klasa C jest zbiorem wtedy i tylko wtedy, gdy należy do jakiejś klasy E . W tej teorii istnieje schemat twierdzenia, który brzmi:

${\ Displaystyle \ istnieje D \ forall C \ ([C \ w D] \ iff [P (C) \ Ziemia \ istnieje E \, (C \ w E)]) \,,}$

to jest,

„Istnieje klasa D taka, że ​​każda klasa C jest członkiem D wtedy i tylko wtedy, gdy C jest zbiorem spełniającym P ”.

pod warunkiem, że kwantyfikatory w predykacie P są ograniczone do zbiorów.

Ten schemat twierdzenia jest sam w sobie ograniczoną formą rozumienia, która unika paradoksu Russella ze względu na wymóg, aby C było zbiorem. Wtedy specyfikację samych zbiorów można zapisać jako pojedynczy aksjomat

${\displaystyle \forall D\forall A\,(\istnieje E\,[A\in E]\implikuje \istnieje B\,[\istnieje E\,(B\in E)\land \forall C\,( C\w B\iff [C\w A\land C\w D])])\,,}$

to jest,

„Biorąc pod uwagę dowolną klasę D i dowolny zbiór A , istnieje zbiór B, którego członkami są dokładnie te klasy, które są członkami zarówno A, jak i D ”.

lub nawet prościej

„ Przecięcie klasy D i zbioru A jest samo w sobie zbiorem B. ”.

W tym aksjomie predykat P jest zastąpiony klasą D , którą można określić ilościowo. Innym prostszym aksjomatem, który daje ten sam efekt, jest:

${\ Displaystyle \ dla wszystkich A \ dla wszystkich B \, ([\ istnieje E \, (A \ w E) \ ziemi \ dla wszystkich C \ (C \ w B \ implikuje C \ w A)] \ sugeruje \ istnieje E \ ,[B\w E])\,,}$

to jest,

„Podklasa zbioru to zbiór”.

W ustawieniach wyższego rzędu

W języku maszynowym , w którym możemy określić ilościowo przez predykaty, aksjomat specyfikacji staje się prostym aksjomatem. Jest to bardzo podobna sztuczka, jaka została użyta w aksjomatach NBG z poprzedniej sekcji, gdzie orzeczenie zostało zastąpione klasą, która została następnie skwantyfikowana.

W logice drugiego rzędu i logice wyższego rzędu z semantyką wyższego rzędu aksjomat specyfikacji jest logiczną trafnością i nie musi być wyraźnie zawarty w teorii.

W nowych podstawach Quine'a

W podejściu New Foundations do teorii mnogości, zapoczątkowanym przez WVO Quine'a , aksjomat rozumienia danego predykatu przyjmuje formę nieograniczoną, ale predykaty, które mogą być użyte w schemacie, same w sobie są ograniczone. Predykat ( C nie jest w C ) jest zabroniony, ponieważ ten sam symbol C pojawia się po obu stronach symbolu przynależności (a więc w różnych "typach względnych"); w ten sposób unika się paradoksu Russella. Jednak przyjmując P ( C ) za ( C = C ), co jest dozwolone, możemy utworzyć zbiór wszystkich zbiorów. Aby uzyskać szczegółowe informacje, zobacz rozwarstwienie .

Bibliografia