Aksjomat parowania - Axiom of pairing

W aksjomatycznej teorii i gałęzi logiki , matematyki i informatyki , które go użytkowania, aksjomat pary jest jednym z aksjomatów o aksjomaty zermelo-fraenkela . Został wprowadzony przez Zermelo (1908) jako szczególny przypadek jego aksjomatu zbiorów elementarnych .

Formalne oświadczenie

W formalnym języku aksjomatów Zermelo-Fraenkla aksjomat brzmi:

${\ Displaystyle \ forall A \, \ forall B \, \ istnieje C \, \ forall D \, [D \ w C \ iff (D = A \ lub D = B)]}$

W słowach:

Biorąc pod uwagę dowolny obiekt i dowolny obiekt, B , jest zestaw C, tak, że, biorąc pod uwagę dowolny obiekt, D , D jest członkiem C tylko wtedy, gdy D jest równa się A lub D jest równa B .

Lub prościej:

Mając dane dwa obiekty, istnieje zbiór, którego elementy są dokładnie dwoma danymi obiektami.

Konsekwencje

Jak zauważono, aksjomat mówi, że mając dwa obiekty A i B , możemy znaleźć zbiór C, którego elementy są dokładnie A i B .

Możemy użyć aksjomatu ekstensjonalności, aby pokazać, że ten zbiór C jest unikalny. Nazywamy zestaw C na parę z A i B , i oznacza go { A , B }. Zatem istotą aksjomatu jest:

Dowolne dwa obiekty mają parę.

Zbiór { A , A } jest skrótem { A } , nazywanym singletonem zawierającym A . Zauważ, że singleton jest szczególnym przypadkiem pary. Umiejętność skonstruowania singletona jest konieczna np. do wykazania nieistnienia nieskończenie schodzących łańcuchów z aksjomatu regularności . ${\displaystyle x=\{x\}}$

Aksjomat parowania pozwala również na zdefiniowanie par uporządkowanych . Dla dowolnych obiektów i , uporządkowana para jest zdefiniowana przez: ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\ Displaystyle (a, b) = \ {\ {a \}, \ {a, b \} \}. \,}$

Zauważ, że ta definicja spełnia warunek

${\displaystyle (a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d}$

Uporządkowane n -krotki można zdefiniować rekurencyjnie w następujący sposób:

${\ Displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = ((a_ {1}, \ ldots, a_ {n-1}), a_ {n}). \!}$

Alternatywy

Niezależność

Aksjomat parowania jest ogólnie uważany za niekontrowersyjny i lub jego odpowiednik pojawia się w niemal każdej aksjomatyzacji teorii mnogości. Niemniej jednak, w standardowym sformułowaniu teorii mnogości Zermelo-Fraenkla , aksjomat parowania wynika ze schematu aksjomatu zastępowania zastosowanego do dowolnego danego zbioru z dwoma lub więcej elementami, a zatem jest czasami pomijany. Istnienie takiego zbioru o dwóch elementach, takich jak {{}, {{}}}, można wyprowadzić albo z aksjomatu zbioru pustego i zbioru potęgowego, albo z aksjomatu nieskończoności .

W przypadku braku niektórych silniejszych aksjomatów ZFC, aksjomat parowania można nadal, bez strat, wprowadzać w słabszych formach.

Słabszy

W obecności standardowych form aksjomatu separacji możemy zastąpić aksjomat parowania jego słabszą wersją:

${\ Displaystyle \ dla wszystkich A \ dla wszystkich B \ istnieje C \ dla wszystkich D ((D = A \ lub D = B) \ Strzałka w prawo D \ w C)}$.

Ten słaby aksjomat parowania implikuje, że dowolne obiekty i są członkami pewnego zbioru . Korzystając ze schematu aksjomatu separacji możemy skonstruować zbiór, którego członkami są dokładnie i . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

Innym aksjomatem, który implikuje aksjomat parowania w obecności aksjomatu pustego zbioru, jest

${\ Displaystyle \ forall A \, \ forall B \, \ istnieje C \, \ forall D \, [D \ w C \ iff (D \ w A \ lub D = B)]}$.

Różni się od standardowego użyciem zamiast . Używając {} dla A i x dla B, otrzymujemy { x } dla C. Następnie używamy { x } dla A i y dla B , otrzymując { x,y } dla C. Można kontynuować w ten sposób, aby zbudować dowolny skończony ustawić. I to może być użyte do wygenerowania wszystkich dziedzicznie skończonych zbiorów bez użycia aksjomatu unii . ${\ Displaystyle D \ w A}$${\ Displaystyle D = A}$

Silniejszy

Wraz z aksjomatem zbioru pustego i aksjomatem sumy aksjomat parowania można uogólnić do następującego schematu:

${\ Displaystyle \ forall A_ {1} \ \ ldots \ \ forall A_ {n} \ \ istnieje C \ \ forall D \ [D \ w C \ iff (D = A_ {1} \ Lor \ cdots \lor D=A_{n})]}$

to jest:

Mając dowolną skończoną liczbę obiektów od A ₁ do A _n , istnieje zbiór C , którego elementy są dokładnie od A ₁ do A _n .

Ten zbiór C jest ponownie unikalny przez aksjomat ekstensjonalnosci i jest oznaczony { A ₁ ,..., A _n }.

Oczywiście nie możemy rygorystycznie odnosić się do skończonej liczby obiektów bez posiadania już w naszych rękach (skończonego) zbioru, do którego należą te obiekty. Nie jest to więc pojedyncza instrukcja, ale schemat , z osobną instrukcją dla każdej liczby naturalnej n .

• Przypadek n = 1 jest aksjomatem parowania z A = A ₁ i B = A ₁ .
• Przypadek n = 2 jest aksjomatem parowania z A = A ₁ i B = A ₂ .
• Przypadki n > 2 można udowodnić wielokrotnie stosując aksjomat parowania i aksjomat sumy .

Na przykład, aby udowodnić przypadek n = 3, użyj aksjomatu parowania trzy razy, aby wytworzyć parę { A ₁ , A ₂ } , singleton { A ₃ } , a następnie parę {{ A ₁ , A ₂ } ,{ A ₃ }}. Aksjomat Związku następnie wytwarza pożądany efekt, { A ₁ , A ₂ , A ₃ }. Możemy rozszerzyć ten schemat tak, aby zawierał n =0, jeśli zinterpretujemy ten przypadek jako aksjomat pustego zbioru .

Można więc użyć tego jako schematu aksjomatu w miejsce aksjomatów zbioru pustego i parowania. Zwykle jednak używa się aksjomatów pustego zbioru i parowania oddzielnie, a następnie udowadnia to jako schemat twierdzenia . Zauważ, że przyjęcie tego jako schematu aksjomatu nie zastąpi aksjomatu union , który jest nadal potrzebny w innych sytuacjach.

Bibliografia

• Paul Halmos , Naiwna teoria mnogości . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Przedruk Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (wydanie Springer-Verlag).
• Jech, Thomas, 2003. Teoria mnogości: wydanie trzecie tysiąclecie, poprawione i rozszerzone . Skoczek. ISBN  3-540-44085-2 .
• Kunen, Kenneth, 1980. Teoria mnogości: wprowadzenie do dowodów niezależności . Elsevier. ISBN  0-444-86839-9 .
• Zermelo, Ernst (1908), "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I" , Mathematische Annalen , 65 (2): 261-281, doi : 10.1007/bf01449999. Tłumaczenie angielskie: Heijenoort, Jean van (1967), „Badania w podstawach teorii mnogości”, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Source Books in the History of the Sciences, Harvard Univ. Prasa, s. 199-215, ISBN 978-0-674-32449-7.