Aksjomaty Birkhoffa - Birkhoff's axioms

W 1932 GD Birkhoff stworzyliśmy zestaw czterech postulatów o geometrii euklidesowej na płaszczyźnie, czasami określane jako aksjomatów Birkhoffa . Wszystkie te postulaty opierają się na podstawowej geometrii, którą można potwierdzić eksperymentalnie za pomocą skali i kątomierza . Ponieważ postulaty opierają się na liczbach rzeczywistych , podejście jest podobne do opartego na modelu wprowadzenia do geometrii euklidesowej.

System aksjomatów Birkhoffa został wykorzystany w podręczniku do szkoły średniej autorstwa Birkhoffa i Beatleya. Aksjomaty te zostały również zmodyfikowane przez School Mathematics Study Group, aby zapewnić nowy standard nauczania geometrii w liceum, znany jako aksjomaty SMSG . Kilka innych podręczników z podstaw geometrii posługuje się wariantami aksjomatów Birkhoffa.

Postulaty

Odległość między dwoma punktami A i  B jest oznaczona przez d ( A, B ) , a kąt utworzony przez trzy punkty A , B , C jest oznaczony jako ∠ ABC .

Postulat I: Postulat miary liniowej . Zbiór punktów { A , B , ...} w dowolnym wierszu można umieścić w zgodności 1: 1 z liczbami rzeczywistymi { a ,  b , ...} tak, że | b  -  a | = D ( A, B ), dla wszystkich punktów A i  B .

Postulat II: Postulat punktowo-liniowy . Musi występować jeden i tylko jeden przewód ℓ że zawiera dwa dowolne podane różnymi punktami P i  Q .

Postulat III: Postulat miary kąta . Zbiór promieni { ℓ, m, n , ...} przechodzących przez dowolny punkt O można umieścić w zgodności 1: 1 z liczbami rzeczywistymi a  (mod 2 π ), tak że jeśli A i B są punktami (różnym od O i) £ -l , a m odpowiednio różnica m  -  ℓ  (mod 2π) numerów powiązanych z linii £ -l , a m jest ∠ AOB . Ponadto, jeśli punkt B na m zmienia się w sposób ciągły w linii r niezawierającej wierzchołka O , liczba a m również zmienia się w sposób ciągły.

Postulat IV: Postulat podobieństwa . Biorąc pod uwagę dwa trójkąty ABC i A'B'C '  oraz pewną stałą k  > 0 taką, że d ( A', B ' ) =  kd ( A, B ), d ( A', C '  ) =  kd ( A, C ) i ∠ B'A'C '   = ± ∠ BAC , a następnie d ( B', C '  ) =  kd ( B, C ), ∠ C'B'A'   = ± ∠ CBA i ∠ A'C'B '   = ± ∠ ACB .

Zobacz też

Bibliografia

  1. ^ Birkhoff, George David (1932), „Zestaw postulatów geometrii płaszczyzny (na podstawie skali i kątomierzy)”, Annals of Mathematics , 33 (2): 329–345, doi : 10.2307 / 1968336 , hdl : 10338.dmlcz / 147209 , JSTOR   1968336
  2. ^ Birkhoff, George David ; Beatley, Ralph (2000) [pierwsze wydanie, 1940], Basic Geometry (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN   978-0-8218-2101-5
  3. ^ Kelly, Paul Joseph; Matthews, Gordon (1981), The non-euclidean, hyperbolic plane: its structure and consency , Springer-Verlag, ISBN   0-387-90552-9