Kompletność liczb rzeczywistych - Completeness of the real numbers

Intuicyjnie kompletność oznacza, że na osi liczb rzeczywistych nie ma żadnych „luk” (w terminologii Dedekinda) ani „brakujących punktów” . Kontrastuje to z liczbami wymiernymi , których odpowiednia oś liczbowa ma „przerwę” przy każdej wartości niewymiernej . W systemie liczb dziesiętnych kompletność jest równoważna stwierdzeniu, że każdy nieskończony ciąg cyfr dziesiętnych jest w rzeczywistości reprezentacją dziesiętną jakiejś liczby rzeczywistej.

W zależności od konstrukcji użytych liczb rzeczywistych zupełność może przybrać formę aksjomatu ( aksjomat zupełności ) lub może być twierdzeniem udowodnionym na podstawie konstrukcji. Istnieje wiele równoważnych form zupełności, z których najbardziej widoczne to zupełność Dedekinda i zupełność Cauchy'ego ( zupełność jako przestrzeń metryczna ).

Formy kompletności

Te liczby rzeczywiste mogą być zdefiniowane syntetycznie jako uporządkowanej dziedzinie spełniającej pewne wersji aksjomatu kompletności . Różne wersje tego aksjomatu są równoważne w sensie, że każde ciało uporządkowane że spełnia jeden formularz kompletności spełnia wszystkie z nich, oprócz Cauchy'ego kompletność i zagnieżdżonych odstępach twierdzenia, które są ściśle słabsze że są spoza pola Archimedesa , które są zamawiane i Cauchy zakończone. Kiedy liczby rzeczywiste są zamiast tego konstruowane przy użyciu modelu, zupełność staje się twierdzeniem lub zbiorem twierdzeń.

Najmniejsza górna granica właściwości

Właściwość najmniejszej górnej granicy oznacza, że każdy niepusty podzbiór liczb rzeczywistych mający górną granicę musi mieć najmniejszą górną granicę (lub najwyższą) w zbiorze liczb rzeczywistych.

Linia liczb wymiernych Q nie ma własności najmniejszej górnej granicy. Przykładem jest podzbiór liczb wymiernych

{\ Displaystyle S = \ {x \ w \ mathbb {Q} \ mid x ^ {2} <2 \}}.

Ten zestaw ma górną granicę. Jednak ten zbiór nie ma najmniejszego ograniczenia górnego w $Q$ : najmniejsze ograniczenie górne jako podzbiór liczb rzeczywistych byłoby $\sqrt2$ , ale nie istnieje w $Q$ . Dla każdego górnego ograniczenia $x \in Q$ , istnieje inne górne ograniczenie $y \in Q$ z $y < x$ .

Weźmy na przykład $x = 1.5$ , wtedy $x$ jest z pewnością górną granicą $S$ , ponieważ $x$ jest dodatnie i $x 2 = 2.25 \geq 2$ ; oznacza to, że żaden element $S nie$ jest większy niż $x$ . Możemy jednak wybrać mniejszą górną granicę, powiedzmy $y = 1.45$ ; jest to również górna granica $S$ z tych samych powodów, ale jest mniejsza niż $x$ , więc $x$ nie jest górną granicą $S$ . Możemy postępować podobnie, aby znaleźć górną granicę $S,$ która jest mniejsza niż $y$ , powiedzmy $z = 1,42$ itd., tak że nigdy nie znajdziemy najmniejszej górnej granicy $S$ w $Q$ .

Właściwość najmniejszej górnej granicy można uogólnić na ustawienie zestawów częściowo uporządkowanych . Zobacz kompletność (teoria porządku) .

Dedekind kompletność

Zobacz kompletność Dedekind, aby uzyskać bardziej ogólne pojęcia noszące tę nazwę.

Kompletność Dedekind to właściwość polegająca na tym, że każde cięcie Dedekind liczb rzeczywistych jest generowane przez liczbę rzeczywistą. W syntetycznym podejściu do liczb rzeczywistych jest to wersja zupełności, która jest najczęściej uwzględniana jako aksjomat.

Linia liczb wymiernych Q nie jest kompletna przez Dedekind. Przykładem jest cięcie Dedekind

{\ Displaystyle L = \ {x \ w \ mathbb {Q} \ mid x ^ {2} \ równa 2 \ vee x < 0 \}}.

{\ Displaystyle R = \ {x \ w \ mathbb {Q} \ mid x ^ {2} \ geq 2 \ klin x> 0 \}.}

L nie ma maksimum, a R nie ma minimum, więc to cięcie nie jest generowane przez liczbę wymierną.

Istnieje konstrukcja liczb rzeczywistych oparta na idei wykorzystania cięć Dedekinda liczb wymiernych do nazywania liczb rzeczywistych; np. cięcie (L,R) opisane powyżej nazwałoby . Gdyby powtórzyć konstrukcję liczb rzeczywistych z cięciami Dedekinda (tj. „zamknąć” zbiór liczb rzeczywistych przez dodanie wszystkich możliwych cięć Dedekinda), nie uzyskalibyśmy żadnych dodatkowych liczb, ponieważ liczby rzeczywiste są już Dedekind kompletne. ${\sqrt {2}}$

Cauchy kompletność

Zupełność Cauchy'ego to stwierdzenie, że każdy ciąg liczb rzeczywistych Cauchy'ego jest zbieżny .

Linia liczb wymiernych Q nie jest zupełna Cauchy'ego. Przykładem jest następująca sekwencja liczb wymiernych:

3,\quad 3.1,\quad 3.14,\quad 3.142,\quad 3.1416,\quad \ldots

Tutaj n- ty wyraz w sekwencji jest n- tym dziesiętnym przybliżeniem dla pi . Chociaż jest to ciąg liczb wymiernych Cauchy'ego, nie jest zbieżny z żadną liczbą wymierną. (W tej linii liczb rzeczywistych ta sekwencja zbiega się do pi.)

Kompletność Cauchy'ego jest związana z konstruowaniem liczb rzeczywistych za pomocą ciągów Cauchy'ego. Zasadniczo ta metoda definiuje liczbę rzeczywistą jako granicę ciągu Cauchy'ego liczb wymiernych.

W analizie matematycznej kompletność Cauchy'ego można uogólnić na pojęcie kompletności dla dowolnej przestrzeni metrycznej . Zobacz pełną przestrzeń metryczną .

W przypadku pola uporządkowanego kompletność Cauchy'ego jest słabsza niż inne formy kompletności na tej stronie. Ale kompletność Cauchy'ego i własność Archimedesa razem wzięte są równoważne innym.

Twierdzenie o zagnieżdżonych przedziałach

Twierdzenie o zagnieżdżonym przedziale jest inną formą zupełności. Niech $I n = [a n, b n]$ będzie ciągiem przedziałów domkniętych i załóżmy , że przedziały te są zagnieżdżone w tym sensie , że

I_{1}\;\supset \;I_{2}\;\supset \;I_{3}\;\supset \;\cdots

Ponadto załóżmy, że $b n -a n \to 0$ jako $n \to +\infty$ . Zagnieżdżone interwał stany twierdzenie, że przecięcie wszystkich przedziałach $I n$ zawiera dokładnie jeden punkt.

Linia liczb wymiernych nie spełnia zagnieżdżonego twierdzenia o przedziale. Na przykład ciąg (którego terminy pochodzą z cyfr pi w sugerowany sposób)

[3,4]\;\supset \;[3.1,3.2]\;\supset \;[3.14,3.15]\;\supset \;[3.141,3.142]\;\supset \;\cdots

jest zagnieżdżonym ciągiem przedziałów domkniętych w liczbach wymiernych, których przecięcie jest puste. (W liczbach rzeczywistych przecięcie tych przedziałów zawiera liczbę pi .)

Twierdzenie o zagnieżdżonych przedziałach ma ten sam status logiczny co zupełność Cauchy'ego w tym spektrum wyrażeń zupełności. Innymi słowy, twierdzenie o przedziałach zagnieżdżonych samo w sobie jest słabsze niż inne formy zupełności, chociaż razem z własnością Archimedesa jest równoważne pozostałym.

Twierdzenie o zbieżności monotonicznej

Twierdzenie monotonia konwergencja (opisany jako fundamentalnego aksjomatu analizy przez Körnera stwierdza, że każdy niemalejącą, ograniczony sekwencja liczb rzeczywistych zbieżny. To może być postrzegana jako szczególny przypadek nieruchomości kres górny, ale może być również używany dość bezpośrednio do udowodnić zupełność Cauchy'ego liczb rzeczywistych.

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa mówi, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych ma zbieżny podciąg . Ponownie twierdzenie to jest równoważne z innymi formami zupełności podanymi powyżej.

Twierdzenie o wartości pośredniej

Te pośrednie twierdzenie wartość stwierdza się, że każdy ciągły funkcja osiąga zarówno ujemnych i dodatnich wartości ma pierwiastek. Jest to konsekwencja własności najmniejszej górnej granicy, ale może być również wykorzystana do udowodnienia własności najmniejszej górnej granicy, jeśli jest traktowana jako aksjomat. (Definicja ciągłości nie zależy od jakiejkolwiek formy kompletności, więc nie jest to cykliczne).

Zobacz też

Lista rzeczywistych tematów analizy

Bibliografia

Dalsza lektura

Aliprantis, Charalambos D .; Burkinshaw, Owen (1998). Zasady analizy rzeczywistej (wyd. 3). Akademicki. Numer ISBN 0-12-050257-7.
Browder, Andrzej (1996). Analiza matematyczna: wprowadzenie . Teksty licencjackie z matematyki . Nowy Jork: Springer Verlag. Numer ISBN 0-387-94614-4.
Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2000). Wprowadzenie do analizy rzeczywistej (3rd ed.). Nowy Jork: John Wiley i synowie. Numer ISBN 0-471-32148-6.
Abbott, Stephen (2001). Zrozumienie analizy . Teksty licencjackie z matematyki. Nowy Jork: Springer Verlag. Numer ISBN 0-387-95060-5.
Rudin, Walter (1976). Zasady analizy matematycznej . Walter Rudin Student Series w zaawansowanej matematyce (3rd ed.). McGraw-Hill. Numer ISBN 9780070542358.
Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Wstępna analiza rzeczywista . Brooksa Cole'a. Numer ISBN 9780395959336.
Bressoud, David (2007). Radykalne podejście do analizy rzeczywistej . MAA . Numer ISBN 0-88385-747-2.

Languages

In other projects