Stożek (topologia) - Cone (topology)

Stożek koła. Pierwotna przestrzeń ma kolor niebieski, a zwinięty punkt końcowy jest zielony.

W topologii , zwłaszcza algebraicznej topologii The stożek o topologii powierzchni jest przestrzeń zdefiniowana jako: ${\displaystyle CX}$ ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle CX = (X \ razy [0,1]) \ filiżanka _ {p} v \ = \ \ varinjlim {\ bigl (} (X \ razy [0, 1]) \ hookleftarrow (X \ razy \ { 0\})\xrightarrow {p} v{\bigr )},}$

gdzie jest punktem (zwanym wierzchołkiem stożka) i jest rzutem na ten punkt. ${\displaystyle v}$${\displaystyle p}$

Oznacza to, że stożek jest wynikiem mocowania do cylindra przez jej powierzchni do punktu wzdłuż występu . ${\displaystyle CX}$ ${\displaystyle X\razy [0,1]}$${\ Displaystyle X \ razy \ {0 \}}$${\displaystyle v}$${\ Displaystyle p: {\ duży (} X \ razy \ {0 \} {\ duży )} \ do v}$

Jeśli jest niepustą zwartą podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej , stożek jest homeomorficzny z połączeniem segmentów z dowolnego ustalonego punktu tak, że te segmenty przecinają się tylko same. Oznacza to, że stożek topologiczny zgadza się ze stożkiem geometrycznym dla przestrzeni zwartych, gdy ten ostatni jest zdefiniowany. Jednak konstrukcja stożka topologicznego jest bardziej ogólna. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle v \ nie \ w X}$${\displaystyle v}$

Przykłady

Tutaj często używamy stożka geometrycznego (określonego we wstępie) zamiast stożka topologicznego. Rozważane przestrzenie są zwarte, więc otrzymujemy ten sam wynik aż do homeomorfizmu.

• Stożek na punkcie P na prostej rzeczywistej jest przerwa .${\displaystyle \{p\}\razy [0,1]}$
• Stożek nad dwoma punktami {0, 1} ma kształt litery „V” z punktami końcowymi w {0} i {1}.
• Stożek na zamkniętym przedziale I linii rzeczywistej jest wypełnionym trójkątem (z jedną z krawędzi to I ), inaczej zwanym 2-simpleksem (patrz ostatni przykład).
• Stożek nad wielokątem P jest ostrosłupem o podstawie P .
• Stożek nad dyskiem to bryła stożka klasycznej geometrii (stąd nazwa pojęcia).
• Stożek nad okręgiem podanym przez

${\ Displaystyle \ {(x, y, z) \ w \ mathbb {R} ^ {3} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} = 1 {\ mbox {i}} z = 0 \} }$

jest zakrzywioną powierzchnią pełnego stożka:

${\ Displaystyle \ {(x, y, z) \ w \ mathbb {R} ^ {3} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} = (z-1) ^ {2} {\ mbox { oraz }}0\leq z\leq 1\}.}$

To z kolei jest homeomorficzne dla zamkniętego dysku .

• Na ogół, stożek ponad n -sphere jest homeomorficzny zamkniętym ( n + 1) - kuli .
• Stożek nad n - simpleksem jest ( n + 1) -simpleksem.

Nieruchomości

Wszystkie stożki są połączone ścieżką, ponieważ każdy punkt może być połączony z punktem wierzchołkowym. Co więcej, każdy stożek jest kurczliwy do wierzchołka przez homotopię

${\ Displaystyle h_ {t} (x, s) = (x, (1-t) s)}$.

Stożek jest używany w topologii algebraicznej właśnie dlatego, że osadza przestrzeń jako podprzestrzeń przestrzeni kurczliwej.

Gdy X jest zwarty i Hausdorffa (zasadniczo, gdy X może być osadzony w przestrzeni euklidesowej), stożek może być wizualizowany jako zbiór linii łączących każdy punkt X z pojedynczym punktem. Jednak obraz ten nie powiedzie się, gdy X nie jest zwarta lub nie Hausdorffa, jak zwykle Topologia iloraz on będzie drobniejsza niż zestaw linii łączących X do punktu. ${\displaystyle CX}$${\displaystyle CX}$

Funktor stożkowy

Mapa indukuje funktor na kategorii przestrzeni topologicznych Top . Jeśli jest ciągłą mapą , to jest zdefiniowane przez ${\ Displaystyle X \ mapsto CX}$ ${\ Displaystyle C \ dwukropek \ mathbf {górny} \ do \ mathbf {górny}}$ ${\ Displaystyle f \ dwukropek X \ do Y}$${\ Displaystyle Cf \ dwukropek CX \ do CY}$

${\ Displaystyle (Cf) ([x, t]) = [f (x), t]}$,

gdzie nawiasy kwadratowe oznaczają klasy równoważności .

Zmniejszony stożek

Jeżeli jest przestrzenią zaostrzoną , istnieje konstrukcja powiązana, stożek zredukowany , dany wzorem ${\displaystyle (X,x_{0})}$

${\ Displaystyle (X \ razy [0,1]) / (X \ razy \ lewo \ {0 \ po prawej \} \ filiżanka \ po lewej \ {x_ {0} \ po prawej \} \ razy [0, 1])}$

gdzie przyjmujemy punkt bazowy zredukowanego stożka jako klasę równoważności . Przy takiej definicji inkluzja naturalna staje się mapą bazową. Taka konstrukcja daje również funktor, z kategorii zaostrzonych przestrzeni do siebie. ${\displaystyle (x_{0},0)}$${\displaystyle x\mapsto (x,1)}$

Zobacz też

• Stożek (ujednoznacznienie)
• Zawieszenie (topologia)
• Odsuszanie
• Stożek mapowania (topologia)
• Połącz (topologia)

Bibliografia

• Allen Hatcher , Topologia algebraiczna. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. XII + 544 s. ISBN  0-521-79160-X i ISBN  0-521-79540-0
• „Stożek” . PlanetMath .