Twierdzenie Hahna-Banacha

Twierdzenie Hahna-Banacha jest głównym narzędziem analizy funkcjonalnej . Pozwala na rozszerzenie ograniczonych funkcjonałów liniowych zdefiniowanych na podprzestrzeni pewnej przestrzeni wektorowej na całą przestrzeń, a także pokazuje, że istnieje „wystarczająca” liczba ciągłych funkcjonałów liniowych zdefiniowanych na każdej unormowanej przestrzeni wektorowej, aby badanie przestrzeni dualnej było „interesujące”. ”. Inna wersja twierdzenia Hahna-Banacha jest znana jako twierdzenie o separacji Hahna-Banacha lub twierdzenie o separacji hiperpłaszczyznowej i ma wiele zastosowań w geometrii wypukłej .

Historia

Twierdzenie zostało nazwane na cześć matematyków Hansa Hahna i Stefana Banacha , którzy udowodnili je niezależnie pod koniec lat dwudziestych. Szczególny przypadek twierdzenia dla przestrzeni funkcji ciągłych na przedziale udowodnił wcześniej (w 1912) Eduard Helly , a bardziej ogólne twierdzenie o rozszerzeniu, twierdzenie M. Riesza o rozszerzeniu , z którego można wyprowadzić twierdzenie Hahna-Banacha , udowodnił w 1923 roku Marcel Riesz . $C{\lewy[a,b\prawy]}$

Pierwsze twierdzenie Hahna-Banacha zostało udowodnione przez Eduarda Helly w 1921 roku, który wykazał, że pewne funkcjonały liniowe zdefiniowane na podprzestrzeni pewnego typu przestrzeni unormowanej ( ) mają rozszerzenie tej samej normy. Helly zrobiła to za pomocą techniki najpierw udowodnienia, że istnieje jednowymiarowe rozszerzenie (gdzie funkcjonał liniowy ma swoją domenę rozszerzoną o jeden wymiar), a następnie używając indukcji . W 1927 Hahn zdefiniował ogólne przestrzenie Banacha i użył techniki Helly'ego, aby udowodnić zachowującą normę wersję twierdzenia Hahna-Banacha dla przestrzeni Banacha (gdzie ograniczony funkcjonał liniowy na podprzestrzeni ma ograniczone liniowe rozszerzenie tej samej normy na całą przestrzeń). W 1929 Banach, który nie był świadomy wyniku Hahna, uogólnił go, zastępując wersję zachowującą normę wersją zdominowanego rozszerzenia, która używa funkcji podliniowych . Podczas gdy dowód Helly'ego wykorzystywał indukcję matematyczną, Hahn i Banach stosowali indukcję nieskończoną . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ mathbb {N}}}$

Twierdzenie Hahna-Banacha powstało z prób rozwiązania nieskończonych układów równań liniowych. Jest to potrzebne do rozwiązania problemów, takich jak problem momentu, w którym biorąc pod uwagę wszystkie potencjalne momenty funkcji, należy określić, czy funkcja posiadająca te momenty istnieje, a jeśli tak, znaleźć ją w kategoriach tych momentów. Innym takim problemem jest problem szeregów kosinusowych Fouriera , w którym mając wszystkie potencjalne współczynniki cosinusowe Fouriera, należy określić, czy istnieje funkcja mająca te współczynniki, i ponownie ją znaleźć, jeśli tak jest.

Riesz i Helly rozwiązali problem dla pewnych klas przestrzeni (takich jak L ^p ([0, 1]) i C([ a , b ])) gdzie odkryli, że istnienie rozwiązania jest równoważne istnieniu i ciągłości pewne funkcjonały liniowe. W efekcie musieli rozwiązać następujący problem:

( Problem wektor ) względu zbiór z ograniczonych funkcjonałom liniowym na unormowanej przestrzeni

X

oraz zbioru skalarnych , określa, czy istnieje

x

\in

X

w taki sposób,

F

i

(

x

) =

c

I

dla wszystkich

I

\in

I

.

{\ Displaystyle \ lewo (f_ {i} \ prawo) _ {i \ w I}}

{\ Displaystyle \ lewo (c_ {i} \ prawo) _ {i \ w I}}

Aby rozwiązać ten problem, jeśli $X$ jest zwrotny , wystarczy rozwiązać następujący podwójny problem:

( Problem funkcjonalne ) względu zbiór wektorów w przestrzeni unormowanej

X

oraz zbioru skalarnych , sprawdzić, czy nie jest ograniczony liniowy funkcjonalnej

f

w

X

takich, że

F

(

x

I

) =

c

I

dla wszystkich

I

\in

I

.

{\ Displaystyle \ lewo (x_ {i} \ prawo) _ {i \ w I}}

{\ Displaystyle \ lewo (c_ {i} \ prawo) _ {i \ w I}}

Riesz następnie zdefiniował $L p ([0, 1])$ ( $1 < p < \infty$ ) w 1910 i przestrzenie $l p$ w 1913. Podczas badania tych przestrzeni udowodnił szczególny przypadek twierdzenia Hahna-Banacha. Helly udowodnił również szczególny przypadek twierdzenia Hahna-Banacha w 1912. W 1910 Riesz rozwiązał problem funkcjonalny dla niektórych określonych przestrzeni, aw 1912 Helly rozwiązał go dla bardziej ogólnej klasy przestrzeni. Dopiero w 1932 Banach, w jednym z pierwszych ważnych zastosowań twierdzenia Hahna-Banacha, rozwiązał ogólny problem funkcjonalny. Poniższe twierdzenie określa ogólny problem funkcjonalny i charakteryzuje jego rozwiązanie.

Twierdzenie (Problem funkcjonalny) — Niech $X$ będzie rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią unormowaną, $I$ zbiorem niepustym, $(c i) i \in I$ rodziną skalarów, oraz $(x i) i \in I$ rodziną wektorów w $X$ .

Istnieje ciągły funkcjonał liniowy $f$ na $X$ taki, że $f (x i) = c i$ dla wszystkich $i \in I$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $K > 0$ taki, że dla dowolnego wyboru skalarów $(s i) i \in I$ gdzie wszystkie ale skończenie wiele $s i$ to 0, koniecznie mamy

{\ Displaystyle \ lewo | \ suma _ {i \ w I} s_ {i} c_ {i} \ po prawej | \ leq K \ po lewej \ | \ suma _ {i \ w I} s_ {i} x_ {i} \prawo\|.}

Z powyższego twierdzenia można wyprowadzić twierdzenie Hahna-Banacha. Jeśli $X$ jest zwrotny, to twierdzenie to rozwiązuje problem wektora.

Twierdzenie (Hahn-Banach) — Ustaw $K$ jako $R$ lub $C$ i niech $X$ będzie przestrzenią $K-$ wektorową. Jeśli $f : M \to K$ jest $K$ -liniowym funkcjonałem na $K$ -liniowej podprzestrzeni $M$ i $p : X \to R$ jest nieujemną funkcją podliniową taką, że

| f (m) | \leq p (m)

dla wszystkich

m \in M

.

wtedy istnieje $K-$ liniowa $F : X \to K$ taka, że

F (m) = f (m)

dla wszystkich

m \in M

,

| F (x) | \leq p (x)

dla wszystkich

x \in X

.

Rozszerzenie $F$ na ogół nie jest jednoznacznie określone przez $f ,$ a dowód nie podaje żadnej wyraźnej metody, jak znaleźć $F$ .

Jest możliwe niewielkie złagodzenie stanu subadditivity o $p$ i wymaga tylko dla wszystkich $x, y \in X$ i wszelkich skalarów $a$ oraz $b$ spełniających $| | + | b | \leq 1$ ,

p (ax + by) \leq | | p (x) + | b | p (y)

.

Możliwe jest ponadto złagodzenie dodatniej jednorodności i warunków subaddytywności na $p$ , wymagając jedynie, aby $p$ było wypukłe.

Projekt Mizar całkowicie sformalizował i automatycznie sprawdził dowód twierdzenia Hahna-Banacha w pliku HAHNBAN.

Dowód

W przypadku złożonym założenia $C-$ liniowości wymagają, aby $M = N + Ni$ dla pewnej rzeczywistej przestrzeni wektorowej $N$ . Co więcej, dla każdego wektora $x \in N$ , $f (ix) = if (x)$ . Tak więc rzeczywista część funkcjonału liniowego determinuje już zachowanie funkcjonału liniowego jako całości i wystarczy udowodnienie rzeczywistego przypadku.

Najpierw odnotowujemy początkowy wynik Helly'ego : jeśli $M$ ma współwymiar 1, to Hahn-Banach jest łatwy.

Lemat (jednowymiarowy twierdzenie dominuje rozszerzenie) - Niech $X$ być rzeczywistą przestrzeń wektorową, $P : X \to R$ sublinear funkcja $f : M \to R$ liniowy funkcjonalne na odpowiednim wektor podprzestrzeni $M \subseteq X$ , tak że $F \leq P$ na $M$ (tj. $f (m) \leq p (m)$ dla wszystkich $m \in M$ ) i $x \in X$ wektor nie w M . Istnieje rozszerzenie liniowego $K : M \oplus R x \to R$ od $F$ do $M \oplus R x = rozpiętość {M, x}$ , tak że $F \leq P$ na $M \oplus R X$ .

Dowód —

Aby to udowodnić lematu pozwolić $m, n \in M$ . Poprzez właściwości liniowości naszych funkcji,

- p (- x - n) - f (n) \leq p (m + x) - f (m)

.

W szczególności niech

{\ Displaystyle a = \ sup _ {n \ w M} [-p (-xn) - f (n)],}

oraz

{\ Displaystyle b = \ inf _ {m \ w M} [p (m + x) - f (m)]}

Następnie stwierdzamy „decydującą nierówność”, że dla dowolnego

a \leq b

. Niech

c \in [a, b]

i zdefiniujmy

F (m + rx) = f (m) + rc

; następnie

F (m + rx) \leq p (m) + rc \leq p (m + rx)

Odwrotna nierówność jest podobna.

Teraz zastosuj lemat Zorna : możliwe rozszerzenia $f$ są częściowo uporządkowane przez wzajemne rozszerzenia, więc istnieje maksymalne rozszerzenie $F$ . Dzięki wynikowi codimension-1, jeśli $F$ nie jest zdefiniowane na wszystkich $X$ , to można go dalej rozszerzyć. Tak więc $F$ musi być wszędzie zdefiniowane, jak twierdzi.

W przestrzeniach lokalnie wypukłych

W powyższej postaci funkcjonał, który ma być rozszerzony, musi być już ograniczony funkcją podliniową. W niektórych aplikacjach może to przypominać błaganie o pytanie . Jednak w przestrzeniach lokalnie wypukłych każdy funkcjonał ciągły jest już ograniczony przez normę , która jest podliniowa. W ten sposób trzeba

Ciągłe rozszerzenia na przestrzeniach lokalnie wypukłych — Niech $X$ będzie lokalnie wypukłą wektorową przestrzenią topologiczną nad K (albo R lub C ), $M$ podprzestrzenią wektorową $X$ i $f$ ciągłym funkcjonałem liniowym na $M$ . Wtedy $f$ ma ciągłe liniowe rozszerzenie do wszystkich $X$ . Jeśli topologia $X$ wynika z normy , to norma $f$ jest zachowana przez to rozszerzenie.

W kategoriach teorii kategorii ciało $K$ jest obiektem iniektywnym w kategorii przestrzeni wektorowych lokalnie wypukłych.

Związek z aksjomatem wyboru

Powyższy dowód wykorzystuje lemat Zorna, który jest odpowiednikiem aksjomatu wyboru . Obecnie wiadomo (patrz niżej), że lemat o ultrafiltrze (lub równoważnie twierdzenie Boole'a o ideałach pierwotnych ), który jest nieco słabszy niż wybrany aksjomat, jest w rzeczywistości wystarczająco silny.

Twierdzenie Hahna-Banacha jest równoważne z poniższym:

(∗): Na każdej algebrze Boole'a

B

istnieje „ładunek prawdopodobieństwa”, czyli: niestałe, skończenie addytywne odwzorowanie z

B

do

[0, 1]

.

(Twierdzenie Boole'a o ideałach pierwszych jest równoważne stwierdzeniu, że zawsze istnieją niestałe ładunki prawdopodobieństwa, które przyjmują tylko wartości 0 i 1.)

W teorii mnogości Zermelo-Fraenkla można wykazać, że twierdzenie Hahna-Banacha wystarcza do wyprowadzenia istnienia zbioru mierzalnego nie-Lebesgue'a. Ponadto twierdzenie Hahna–Banacha implikuje paradoks Banacha–Tarskiego .

Dla rozdzielnych przestrzeni Banacha DK Brown i SG Simpson dowiedli, że twierdzenie Hahna–Banacha wynika z WKL ₀ , słabego podsystemu arytmetyki drugiego rzędu, który przyjmuje postać lematu Kőniga jako aksjomatu ograniczonego do drzew binarnych. W rzeczywistości udowadniają, że przy słabym zestawie założeń oba są równoważne, co jest przykładem matematyki odwrotnej .

„Geometryczny Hahna-Banacha” (twierdzenia separacji Hahna-Banacha)

Kluczowym elementem twierdzenia Hahna-Banacha jest zasadniczo wynik rozdzielenia dwóch zbiorów wypukłych: ${- p (- x - n) - f (n): n \in M$ } i ${p (m + x) - f (m): m \in m$ }. Ten rodzaj argumentacji pojawia się szeroko w geometrii wypukłej , teorii optymalizacji i ekonomii . W tym celu lematy wywodzące się z oryginalnego twierdzenia Hahna-Banacha są znane jako twierdzenia o separacji Hahna-Banacha .

Twierdzenie — Niech $X$ będzie rzeczywistą lokalnie wypukłą topologiczną przestrzenią wektorową, a $A$ i $B$ będą niepustymi podzbiorami wypukłymi. Jeśli $Int A \neq \emptyset$ i $B \cap Int A = \emptyset$ wtedy istnieje ciągły liniowy funkcjonał $f$ na $X$ taki , że $sup f (A) \leq inf f (B)$ i $f (a) < inf f (B)$ dla wszystkich $a \in Int A$ (takie $f$ jest z konieczności niezerowe).

Często zakłada się, że zbiory wypukłe mają dodatkową strukturę; tzn. że są otwarte lub zwarte . W takim przypadku wniosek można znacznie wzmocnić:

Twierdzenie — Niech $X$ będzie rzeczywistą topologiczną przestrzenią wektorową i wybierz $A, B$ wypukłe niepuste rozłączne podzbiory $X$ .

Jeśli $A$ jest otwarte, to $A$ i $B$ są oddzielone (zamkniętą) hiperpłaszczyzną . Oznacza to wyraźnie, że istnieje ciągłe liniowe odwzorowanie $f : X \to K$ i $s \in R$ takie, że $f (a) < s \leq f (b)$ dla wszystkich $a \in A, b \in B$ . Jeśli zarówno $A,$ jak i $B$ są otwarte, prawa strona również może być traktowana surowo.
Jeśli $X$ jest lokalnie wypukły, $A$ jest zwarty, a $B$ zamknięty, to $A$ i $B$ są ściśle rozdzielone : istnieje ciągłe liniowe odwzorowanie $f : X \to K$ i $s, t \in R$ takie, że $f (a) < t < s < f (b)$ dla każdego $\in$ $A$ $,$ $b$ $\in$ $b$ .

Jeżeli $X$ jest skomplikowane, a tym samym zastrzeżeń przechowywania, ale dla części rzeczywistej o $f$ .

Jeden ważny wniosek jest znany jako twierdzenie geometryczne Hahna-Banacha lub twierdzenie Mazura .

Twierdzenie (Mazur) — Niech $M$ będzie podprzestrzenią wektorową topologicznej przestrzeni wektorowej $X$ . Załóżmy, że $K$ jest niepustym wypukłym otwartym podzbiorem $X$ z $K \cap M = \emptyset$ . Wtedy istnieje zamknięta hiperpłaszczyzna (podprzestrzeń wektorowa o kodimensie-1) $N \subseteq X ,$ która zawiera $M$ , ale pozostaje rozłączna od $K$ .

Aby zobaczyć, że twierdzenie Mazura wynika z twierdzeń o separacji Hahna-Banacha, zauważ, że $M$ jest wypukłe i zastosuj pierwszy punkt. Twierdzenie Mazura wyjaśnia, że podprzestrzenie wektorowe (nawet te, które nie są domknięte) można scharakteryzować za pomocą funkcjonałów liniowych.

Wniosek (Rozdzielenie podprzestrzeni i otwartego zbioru wypukłego) — Niech $X$ będzie lokalnie wypukłą przestrzenią wektorową, $M$ podprzestrzenią wektorową, a $U$ niepustym otwartym podzbiorem wypukłym rozłącznym od $M$ . Wtedy istnieje ciągły funkcjonał liniowy $f$ na $X$ taki, że $f (m) = 0$ dla wszystkich $m \in M$ i $Re f > 0$ na $U$

Wspieranie hiperplanów

Ponieważ punkty są trywialnie wypukłe , geometryczny Hahn-Banach implikuje, że funkcjonały mogą wykryć granicę zbioru. W szczególności niech $X$ będzie rzeczywistą topologiczną przestrzenią wektorową i $A \subseteq X$ będzie wypukła z $Int A \neq \emptyset$ . Jeśli to nie jest funkcjonalny, że znika na $na$ $0$ , ale wspiera się na wnętrzu $A$ . ${\ Displaystyle a_ {0} \ w A \ setminus \ operatorname {Int} A}$

Nazwijmy unormowaną przestrzeń $X$ gładką, jeśli w każdym punkcie $x$ w jej kuli jednostkowej istnieje unikalna zamknięta hiperpłaszczyzna do kuli jednostkowej w punkcie $x$ . Köthe wykazał w 1983 roku, że znormalizowana przestrzeń jest gładka w punkcie $x$ wtedy i tylko wtedy, gdy norma jest w tym punkcie różniczkowalna .

Zrównoważone lub dyskowe sąsiedztwo

Niech $U$ będzie wypukłym zrównoważonym sąsiedztwem 0 w lokalnie wypukłej topologicznej przestrzeni wektorowej $X$ i załóżmy, że $x \in X$ nie jest elementem $U$ . Wtedy istnieje ciągły funkcjonał liniowy $f$ na $X$ taki, że

sup | f (U) | \leq | f (x) |

.

Aplikacje

Twierdzenie Hahna-Banacha jest pierwszą oznaką ważnej filozofii analizy funkcjonalnej : aby zrozumieć przestrzeń, należy zrozumieć jej funkcjonały ciągłe .

Na przykład, podprzestrzeni liniowe charakteryzują funkcjonałom: Jeżeli $X$ jest unormowanej miejsca wektora liniowej podprzestrzeni $M$ (niekoniecznie zamknięty), a jeśli $z$ jest elementem $X$ nie w zamknięcia z $M$ , to istnieje ciągłe liniowe mapy $f : X \to K$ gdzie $f (x) = 0$ dla wszystkich $x$ w $M$ , $f (z) = 1$ i $|| f || = odległość(z, M) -1$ . (Aby to zobaczyć, zauważ, że $dist(\cdot, M)$ jest funkcją podliniową.) Co więcej, jeśli $z$ jest elementem $X$ , to istnieje ciągłe liniowe odwzorowanie $f : X \to K$ takie, że $f (z) = || z ||$ oraz $|| f || \leq 1$ . Oznacza to, że naturalne wstrzyknięcie $J$ z unormowanej przestrzeni $X$ do jej podwójnej podwójnej $V''$ jest izometryczne.

Ten ostatni wynik sugeruje również, że twierdzenie Hahna-Banacha może być często używane do zlokalizowania „ładniejszej” topologii do pracy. Na przykład wiele wyników analizy funkcjonalnej zakłada, że przestrzeń jest Hausdorff lub lokalnie wypukła . Załóżmy jednak, że $X$ jest topologiczną przestrzenią wektorową, niekoniecznie Hausdorffa lub lokalnie wypukłą , ale z niepustym, właściwym, wypukłym zbiorem otwartym $M$ . Wtedy geometryczny Hahn-Banach implikuje, że istnieje hiperpłaszczyzna oddzielająca $M$ od dowolnego innego punktu. W szczególności musi istnieć niezerowy funkcjonał na $X$ — to znaczy ciągła przestrzeń dualna $X *$ nie jest trywialna. Biorąc pod uwagę $X$ ze słabą topologią indukowaną przez $X *$ , $X$ staje się lokalnie wypukły; w drugim pocisku geometrycznego Hahna-Banacha słaba topologia tej nowej przestrzeni oddziela punkty . Tak więc $X$ z tą słabą topologią staje się Hausdorffem . Czasami pozwala to na zastosowanie niektórych wyników z lokalnie wypukłych topologicznych przestrzeni wektorowych do przestrzeni nie-Hausdorffa i nielokalnie wypukłych.

Równania różniczkowe cząstkowe

Twierdzenie Hahna-Banacha jest często przydatne, gdy chce się zastosować metodę oszacowań a priori . Załóżmy, że chcemy rozwiązać liniowe równanie różniczkowe $Pu = f$ dla $u$ , gdzie $f jest$ podane w pewnej przestrzeni Banacha $X$ . Jeśli mamy kontrolę nad wielkością $u$ w kategoriach i możemy myśleć o $u$ jako ograniczonym funkcjonale liniowym na pewnej odpowiedniej przestrzeni funkcji testowych $g$ , to możemy postrzegać $f$ jako funkcjonał liniowy przez dodanie: . Na początku funkcjonał ten jest zdefiniowany tylko na obrazie $P$ , ale korzystając z twierdzenia Hahna-Banacha, możemy spróbować rozszerzyć go na całą przeciwdziedzinę $X$ . Wynikowy funkcjonał jest często definiowany jako słabe rozwiązanie równania . ${\ Displaystyle \ | F \ | _ {X}}$ ${\ Displaystyle (f, g) = (u, P ^ {*} g)}$

Charakteryzacja refleksyjnych przestrzeni Banacha

Twierdzenie — Rzeczywista przestrzeń Banacha jest zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy każda para niepustych rozłącznych zamkniętych podzbiorów wypukłych, z których jeden jest ograniczony, może być ściśle oddzielona hiperpłaszczyzną.

Przykład z teorii Fredholma

Aby zilustrować rzeczywiste zastosowanie twierdzenia Hahna-Banacha, pokażemy teraz wynik, który prawie w całości wynika z twierdzenia Hahna-Banacha.

Twierdzenie — Załóżmy, że $X$ jest lokalnie wypukłym TVS Hausdorffa nad ciałem $K,$ a $Y$ jest podprzestrzenią wektorową $X,$ która jest TVS-izomorficzna do $K I$ dla pewnego zbioru $I$ . Wtedy $Y$ jest zamkniętą i uzupełnioną podprzestrzenią wektorową $X$ .

Dowód —

Ponieważ $K I$ jest kompletnym TVS, więc jest Y , a ponieważ każdy kompletny podzbiór Hausdorffa TVS jest domknięty, Y jest domkniętym podzbiorem $X$ . Niech $f = (f i) i \in I : Y \to K I$ będzie izomorfizmem TVS, tak że każde $f i : Y \to K$ jest ciągłym surjektywnym funkcjonałem liniowym. Przez twierdzenia Hahn-banachowskiej możemy każdy rozciąga $f I$ do ciągłego liniowego funkcjonalnej $F ı : X \to K$ o $X$ . Niech $F := (F i) i \in I : X \to K I$ więc $F$ jest ciągłą surjekcją liniową taką, że jej ograniczeniem do $Y$ jest $F | Y = (K I | Y) i \in I = (K I) i \in I = F$ . Wynika z tego, że jeśli zdefiniujemy $P := f -1 \circ F : X \to Y$ to ograniczenie do $Y$ tego ciągłego liniowego odwzorowania $P | Y : Y \to Y$ jest mapą tożsamości $1 Y$ na $Y$ , dla $P | Y = f -1 \circ F | Y = f -1 \circ f = 1 Y$ . A więc w szczególności $P$ jest ciągłym rzutem liniowym na $Y$ (tj. $P \circ P = P$ ). Zatem $Y$ jest uzupełnione w $X$ i $X = Y \oplus ker P$ w kategorii TVS. ∎

Powyższy wynik można wykorzystać do wykazania, że każda zamknięta podprzestrzeń wektorowa $R N$ jest skończona i albo skończenie wymiarowa, albo TVS-izomorficzna z $R N$ .

Uogólnienia

Szablon ogólny

Obecnie istnieje wiele innych wersji twierdzenia Hahna-Banacha. Ogólny szablon dla różnych wersji twierdzenia Hahna-Banacha przedstawionych w tym artykule jest następujący:

X

jest przestrzenią wektorową,

p

jest funkcją podliniową na

X

(ewentualnie seminormą ),

M

jest podprzestrzenią wektorową

X

(ewentualnie domkniętą), a

f

jest funkcjonałem liniowym na

M

spełniającym

| f | \leq p

na

M

(i ewentualnie kilka innych warunków). Następnie wnioskuje się, że istnieje liniowe rozszerzenie

F

od

f

do

X

takie, że

| F | \leq p

na

X

(ewentualnie z dodatkowymi właściwościami).

Dla półnorm

Hahn–Banach dla półnorm — Jeśli $M$ jest podprzestrzenią wektorową $X$ , $p$ jest półnormą względem $M$ , a $q$ jest półnormą względem $X$ taką, że $p \leq q | M$ , to istnieje półnorma $P$ na $X$ taka, że $P | M = p$ i $P \leq q$ .

Dowód przebiega następująco:

Lemat — Niech $M$ będzie podprzestrzenią wektorową rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni wektorowej $X$ , $D$ będzie dyskiem absorbującym w $X$ , i niech $f$ będzie funkcjonałem liniowym na $M$ takim, że $|$ $f$ $|$ $\leq 1$ o $M$ $\cap$ $D$ . Wtedy istnieje funkcjonał liniowy $F$ na $X$ rozszerzający $f$ taki, że $|$ $F$ $|$ $\leq 1$ na $D$ .

niech $S$ będzie wypukłą powłoką ${m \in M : p (x) \leq 1 } \cup {x \in X : q (x) \leq 1 }$ . Zauważ, że $S$ jest dyskiem absorbującym w $X$ i nazwijmy jego funkcjonał Minkowskiego $q$ . Wtedy $p$ $=$ $P$ na $M$ i $P$ $\leq$ $q$ na $X$ .

Separacja geometryczna

Twierdzenie Hahna–Banacha kanapki — Niech $S$ będzie dowolnym podzbiorem rzeczywistej przestrzeni wektorowej $X$ , niech $p$ będzie funkcją podliniową na $X$ , i niech $f : S \to R$ będzie dowolnym odwzorowaniem. Jeśli istnieją liczby dodatnie $a$ i $b$ takie, że dla wszystkich $x, y \in S$ ,

{\ Displaystyle 0 \ geq \ inf _ {s \ w S} [p (s-ax-by) - f (s) - af (x) - bf (y)]}

wtedy istnieje liniowy funkcjonał $F$ na $X$ taki, że $F \leq p$ na $X$ i $f \leq F$ na $S$ .

Maksymalne wydłużenie liniowe

Twierdzenie (Andenaes, 1970) — Niech $M$ będzie podprzestrzenią wektorową rzeczywistej przestrzeni wektorowej $X$ , $p$ będzie funkcją podliniową na $X$ , $f$ będzie funkcjonałem liniowym na $M$ takim, że $f \leq p$ na M , i niech $S$ będzie dowolnym podzbiorem $X$ . Wtedy istnieje funkcjonał liniowy $F$ na $X,$ który rozciąga $f$ , spełnia $F \leq p na X$ i jest (punktowo) maksymalny w następującym sensie: jeśli $G$ jest funkcjonałem liniowym na $X$ rozciągającym $f$ i spełniającym $G \leq p$ na $X$ , wtedy $G \geq F$ implikuje, że $G = F$ na $S$ .

Wektor ceniony Hahn-Banach

Twierdzenie — Niech $X$ i $Y$ będą przestrzeniami wektorowymi nad tym samym polem, $M$ będzie podprzestrzenią wektorową $X$ , a $f : M \to Y$ będzie odwzorowaniem liniowym. Wtedy istnieje liniowe odwzorowanie $F : X \to Y ,$ które rozciąga $f$ .

Dla funkcji nieliniowych

Poniższe twierdzenie Mazura-Orlicza (1953) jest równoważne twierdzeniu Hahna-Banacha.

Twierdzenie Mazura-Orlicza — Niech $T$ będzie dowolnym zbiorem, $r : T \to R$ będzie dowolnym odwzorowaniem o wartościach rzeczywistych, $X$ będzie rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią wektorową, $v : T \to X$ będzie dowolnym odwzorowaniem, a $p$ będzie funkcją podliniową na $X$ . Wtedy następujące są równoważne:

istnieje funkcjonał liniowy o wartościach rzeczywistych $F$ na $X$ taki, że $F \leq p$ na $X$ i $r \leq F \circ v$ na $T$ ;
dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ , dowolnego ciągu $s 1, ..., s n$ nieujemnych liczb rzeczywistych oraz dowolnego ciągu $t 1, ..., t n$ elementów $T$ , ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} s_ {i} r (t_ {i}) \ leq p \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} s_ {i} v ( t_{i})\prawo).}$

Poniższe twierdzenie charakteryzuje, kiedy dowolna funkcja skalarna na $X$ (niekoniecznie liniowa) ma ciągłe liniowe rozszerzenie do wszystkich $X$ .

Twierdzenie (zasada rozszerzenie) - Niech $K$ funkcji skalarnych wartościach na podzbiorze $S$ o topologii przestrzeni wektorowej $X$ . Wtedy istnieje ciągły funkcjonał liniowy $F$ na $X$ rozciągający się $f$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciągła półnorma $p$ na $X$ taka, że

{\ Displaystyle \ lewo | \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} f (s_ {i}) \ prawo | \ leq p \ po lewej (\ suma _ {i = 1} ^ {n} a_{i}s_{i}\prawo)}

dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich $n$ i wszystkich ciągów skończonych $(a i) n ja =1$ skalarów i pierwiastków $(s i) n ja =1$ o $S$ .

Rozmawiać

Niech $X$ będzie topologiczną przestrzenią wektorową. Podprzestrzeń wektorowa $M$ od $X$ ma własność rozszerzenia, jeśli dowolny ciągły funkcjonał liniowy na $M$ może być rozszerzony do ciągłego funkcjonału liniowego na $X$ , i mówimy, że $X$ ma własność rozszerzenia Hahna–Banacha ( HBEP ), jeśli każda podprzestrzeń wektorowa $X$ ma właściwość rozszerzenia.

Twierdzenie Hahna-Banacha gwarantuje, że każda przestrzeń lokalnie wypukła Hausdorffa ma HBEP. Dla kompletnych metryzowalnych topologicznych przestrzeni wektorowych istnieje odwrotność, dzięki Kaltonowi: każdy kompletny metryzowalny TVS z rozszerzeniem Hahna-Banacha jest lokalnie wypukły. Z drugiej strony, przestrzeń wektorowa $X$ o wymiarze niepoliczalnym, obdarzona najdoskonalszą topologią wektorów , to jest to topologiczna przestrzeń wektorowa z rozszerzeniem Hahna-Banacha, która nie jest ani lokalnie wypukła, ani metryzowalna.

Podprzestrzeń wektorowa $M$ TVS $X$ ma właściwość separacji, jeśli dla każdego elementu $X$ takiego, że $x \notin M$ , istnieje ciągły funkcjonał liniowy $f$ na $X$ taki, że $f (x) \neq 0$ i $f (m) = 0$ dla wszystkich $m \in M$ . Oczywiście ciągła przestrzeń dualna TVS $X$ oddziela punkty na $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${ 0 }$ ma właściwość separacji. W 1992 roku Kakol udowodnił, że każda nieskończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa $X$ , istnieją topologie TVS na $X$ , które nie mają HBEP pomimo posiadania wystarczającej liczby ciągłych funkcjonałów liniowych, aby ciągła przestrzeń dualna rozdzielała punkty na $X$ . Jednakże, jeśli $X$ jest TVS, to każda podprzestrzeń wektorowa $X$ ma własność rozszerzenia wtedy i tylko wtedy, gdy każda podprzestrzeń wektorowa $X$ ma własność separacji.

Zobacz też

Bibliografia

ISBN 0-12-622760-8 .
"Twierdzenie Hahna-Banacha" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Adasza, Norberta; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topologiczne przestrzenie wektorowe: teoria bez warunków wypukłości . Notatki z wykładu z matematyki. 639 . Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoria operacji liniowych ] (PDF) . Monografie Matematyczne (w języku francuskim). 1 . Warszawa: Subwencja Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901 . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 2014-01-11 . Źródło 2020-07-11 .
Berberyjski, Sterling K. (1974). Wykłady z analizy funkcjonalnej i teorii operatorów . Teksty magisterskie z matematyki. 15 . Nowy Jork: Springer. Numer ISBN 978-0-387-90081-0. 878109401 OCLC .
Bourbaki, Nicolas (1987) (1981). Sur sures espaces vectoriels topologiques [ Topologiczne przestrzenie wektorowe: rozdziały 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Elementy matematyczne . 2 . Przetłumaczone przez Eggleston, HG; Madan, S. Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. Numer ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
Conway, John (1990). Kurs analizy funkcjonalnej . Teksty magisterskie z matematyki . 96 (wyd. 2). Nowy Jork: Springer-Verlag . Numer ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
Edwards, Robert E. (1995). Analiza funkcjonalna: teoria i zastosowania . Nowy Jork: Dover Publikacje. Numer ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
Grothendieck Aleksander (1973). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Przetłumaczone przez Chaljuba, Orlando. Nowy Jork: Gordon and Breach Science Publishers. Numer ISBN 978-0-677-30020-7. 886098 OCLC .
Jarchów, Hans (1981). Przestrzenie lokalnie wypukłe . Stuttgart: BG Teubner. Numer ISBN 978-3-519-02224-4. 8210342 OCLC .
Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologiczne przestrzenie wektorowe I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159 . Przetłumaczone przez Garlinga, DJH New York: Springer Science & Business Media. Numer ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .
Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. drugie). Boca Raton, FL: CRC Press. Numer ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Reed, Michael i Simon, Barry, Metody współczesnej fizyki matematycznej, tom. 1, Analiza funkcjonalna, Sekcja III.3. Prasa akademicka, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6 .
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (1997). „Twierdzenie Hahna-Banacha: życie i czasy” . Topologia i jej zastosowania . 77 (2): 193-211. doi : 10.1016/s0166-8641(96)00142-3 .
Reed, Michael; Simon, Barry (1980). Analiza funkcjonalna (wyd. poprawione i powiększone). Boston, MA: Prasa akademicka . Numer ISBN 978-0-12-585050-6.
Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Cambridge Tracts w matematyce . 53 . Cambridge Anglia: Cambridge University Press . Numer ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
Rudin, Walter (1991). Analiza funkcjonalna . Międzynarodowa seria z matematyki czystej i stosowanej. 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Matth . Numer ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Schäfer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Odcisk Springer. Numer ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Schmitt, Lothar M (1992). „Ekwiwariantna wersja twierdzenia Hahna-Banacha” . Houston J. Matematyki . 18 : 429–447.
Schechter, Eric (1996). Podręcznik analizy i jego podstawy . San Diego, Kalifornia: Prasa akademicka. Numer ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
Swartz, Karol (1992). Wprowadzenie do analizy funkcjonalnej . Nowy Jork: M. Dekker. Numer ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
Tao, Terence , twierdzenie Hahna-Banacha , twierdzenie Mengera i twierdzenie Helly'ego
Trèves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publikacje. Numer ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Wilansky, Albert (2013). Nowoczesne metody w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
Wittstock, Gerd, Ein operatorwertiger Hahn-Banach Satz, J. analizy funkcjonalnej 40 (1981), 127-150
Zeidler, Eberhard, Stosowana analiza funkcjonalna: główne zasady i ich zastosowania , Springer, 1995.

Languages

In other projects

Twierdzenie Hahna-Banacha - Hahn–Banach theorem

Zawartość

Historia