Relacje Kramers-Kronig - Kramers–Kronig relations

Te stosunki Kramers-Kronig są dwukierunkowe matematyczne stosunki łączące rzeczywiste i urojone części każdej złożonej funkcji , która jest analityczna w górnej półpłaszczyźnie . Relacje te są często używane do obliczenia części rzeczywistej z części urojonej (lub odwrotnie) funkcji odpowiedzi w układach fizycznych , ponieważ dla stabilnych układów przyczynowość implikuje warunek analityczności i odwrotnie, analityczność implikuje przyczynowość odpowiedniego stabilnego układu fizycznego . Związek został nazwany na cześć Ralpha Kroniga i Hansa Kramersa . W matematyce relacje te są znane pod nazwami twierdzenie Sokhotskiego-Plemelja i przekształcenie Hilberta .

Sformułowanie

Ilustracja do jednej z relacji Kramers-Kronig. Szukaj rzeczywistej części podatności ze znaną urojoną.

Niech będzie złożoną funkcją zmiennej zespolonej , gdzie i są rzeczywiste . Załóżmy, że funkcja ta jest analityczny w zamkniętej górnej półpłaszczyźnie z i zanika szybciej niż w . Możliwe są również nieco słabsze warunki. Relacje Kramers-Kronig są podane przez ${\ Displaystyle \ chi (\ omega ) = \ chi _ {1} (\ omega ) + ja \ chi _ {2} (\ omega )}$${\ Displaystyle \ omega}$${\displaystyle \chi_{1}(\omega)}$${\ Displaystyle \ chi _ {2} (\ omega )}$${\ Displaystyle \ omega}$${\displaystyle 1/|\omega |}$${\displaystyle |\omega |\rightarrow \infty}$

${\ Displaystyle \ chi _ {1} (\ omega ) = {1 \ ponad \ pi {\ mathcal {P}} \! \! \! \ int \ limity _ {- \ infty} ^ {\ infty} \chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '}$

oraz

${\ Displaystyle \ chi _ {2} (\ omega ) = - {1 \ ponad \ pi { \ mathcal {P}} \! \! \! \ int \ limity _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',}$

gdzie oznacza wartość główną Cauchy'ego . Tak więc części rzeczywiste i urojone takiej funkcji nie są niezależne, a pełną funkcję można zrekonstruować na podstawie tylko jednej z jej części. ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Pochodzenie

Dowód zaczyna się od zastosowania twierdzenia Cauchy'ego o resztach dla całkowania złożonego. Biorąc pod uwagę jakąkolwiek funkcję analityczną w zamkniętej górnej połowie płaszczyzny, funkcja, w której jest realna, będzie również analityczna w górnej połowie płaszczyzny. Twierdzenie o pozostałościach w konsekwencji stwierdza, że ${\ Displaystyle \ chi}$${\displaystyle \omega'\rightarrow \chi (\omega')/(\omega'-\omega)}$${\ Displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle \ oint {\ chi (\ omega ') \ nad \ omega '-\ omega } \ d \ omega ' = 0}$

Kontur integralny do wyprowadzania relacji Kramers-Kronig.

dla dowolnego zamkniętego konturu w tym regionie. Wybieramy kontur, aby wykreślić rzeczywistą oś, garb nad biegunem w , oraz duży półokrąg w górnej połowie płaszczyzny. Następnie rozkładamy całkę na jej udziały wzdłuż każdego z tych trzech segmentów konturu i przekazujemy je do granic. Długość segmentu półkolistego rośnie proporcjonalnie do , ale całka nad nim znika w granicy, ponieważ znika szybciej niż . Pozostały nam odcinki wzdłuż osi rzeczywistej i półokręgu wokół bieguna. Przekazujemy rozmiar półokręgu do zera i otrzymujemy ${\ Displaystyle \ omega '= \ omega }$${\displaystyle |\omega '|}$${\ Displaystyle \ chi (\ omega ')}$${\displaystyle 1/|\omega '|}$

${\ Displaystyle 0 = \ oint {\ chi (\ omega ') \ nad \ omega '- \ omega } \ d \ omega ' = {\ mathcal {P}} \! \! \! \ int \ limity _ { -\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega ).}$

Drugi wyraz w ostatnim wyrażeniu uzyskuje się za pomocą teorii reszt, a dokładniej twierdzenia Sokhotskiego-Plemelja . Przestawiając, dochodzimy do zwartej formy relacji Kramers-Kronig,

${\ Displaystyle \ chi (\ omega ) = {1 \ nad ja \ pi {\ mathcal {P}} \! \! \! \ int \ limity _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ chi ( \omega ') \nad \omega '-\omega }\,d\omega '.}$

Jedynka w mianowniku będzie realizowała połączenie między rzeczywistymi i urojonymi składnikami. Na koniec podziel i równanie na części rzeczywiste i urojone, aby uzyskać formy cytowane powyżej. ${\displaystyle i}$${\ Displaystyle \ chi (\ omega )}$

Interpretacja fizyczna i forma alternatywna

Możemy zastosować formalizm Kramersa-Kroniga do funkcji odpowiedzi . W niektórych liniowych układów fizycznych, lub w dziedzinach inżynieryjnych, takich jak przetwarzanie sygnału , funkcja odpowiedzi opisuje, jak jakiś czas zależny nieruchomość fizycznego odpowiedzią układu na impuls siły w czasie Na przykład, może być kąt z wahadłem i przyłożona siła z silnikiem napędzający ruch wahadła. Odpowiedź musi wynosić zero, ponieważ system nie może odpowiedzieć na siłę przed jej przyłożeniem. Można wykazać (na przykład powołując twierdzenie Titchmarsh jest ), że warunek ten oznacza, że przyczynowość transformaty Fouriera z jest analityczna w górnej połowie samolotu. Dodatkowo, jeśli poddamy system działaniu siły oscylacyjnej o częstotliwości znacznie wyższej niż najwyższa częstotliwość rezonansowa, prawie nie będzie czasu na reakcję systemu, zanim wymuszenie zmieni kierunek, a więc odpowiedź częstotliwościowa zbiegnie się do zera, gdy staje się bardzo duży. Z tych fizycznych rozważań widzimy, że zazwyczaj spełnia warunki potrzebne do zastosowania relacji Kramers-Kronig. ${\displaystyle \chi (t-t')\!}$${\displaystyle P(t)\!}$ ${\displaystyle F(t')\!}$${\displaystyle t'.}$${\displaystyle P(t)\!}$${\ Displaystyle F (t)}$${\ Displaystyle \ chi (t-t')}$${\displaystyle t<t'\!}$ ${\displaystyle \chi (\omega)\!}$${\ Displaystyle \ chi (t) \!}$${\displaystyle \chi (\omega)\!}$${\ Displaystyle \ omega}$${\displaystyle \chi (\omega)\!}$

Wyimaginowana część funkcji odpowiedzi opisuje, w jaki sposób system rozprasza energię , ponieważ jest w fazie z siłą napędową . Relacje Kramersa-Kroniga implikują, że obserwacja rozpraszającej odpowiedzi układu jest wystarczająca do określenia jego odpowiedzi przesuniętej w fazę (reaktywnej) i odwrotnie.

Całki biegną od do , co oznacza, że ​​znamy odpowiedź przy ujemnych częstotliwościach. Na szczęście w większości systemów fizycznych dodatnia odpowiedź częstotliwościowa determinuje ujemną odpowiedź częstotliwościową, ponieważ jest to transformata Fouriera odpowiedzi o wartościach rzeczywistych . Odtąd przyjmiemy to założenie. ${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle \infty}$${\ Displaystyle \ chi (\ omega )}$${\ Displaystyle \ chi (t)}$

W konsekwencji . Środek ten jest nawet funkcja częstotliwości i jest dziwne . ${\ Displaystyle \ chi (- \ omega) = \ chi ^ {*} (\ omega)}$${\displaystyle \chi_{1}(\omega)}$${\ Displaystyle \ chi _ {2} (\ omega )}$

Korzystając z tych właściwości, możemy zwinąć zakresy integracji do . Rozważmy pierwszą relację, która daje rzeczywistą część . Przekształcamy całkę na całkę o określonej parzystości, mnożąc licznik i mianownik całki przez i oddzielając: ${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle \chi_{1}(\omega)}$${\displaystyle \omega '+\omega}$

${\ Displaystyle \ chi _ {1} (\ omega ) = {1 \ ponad \ pi {\ mathcal {P}} \! \! \! \ int \ limity _ {- \ infty} ^ {\ infty} \omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '+{\omega \over \pi }{\mathcal { P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{ 2}}\,d\omega '.}$

Ponieważ jest dziwne, druga całka znika i zostajemy z ${\ Displaystyle \ chi _ {2} (\ omega )}$

${\ Displaystyle \ chi _ {1} (\ omega ) = {2 \ ponad \ pi { \ mathcal {P}} \! \! \! \ int \ limity _ {0} ^ {\ infty} {\ omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.}$

To samo wyprowadzenie dla części urojonej daje

${\ Displaystyle \ chi _ {2} (\ omega ) = - {2 \ ponad \ pi { \ mathcal {P}} \! \! \! \ int \ limity _ {0} ^ {\ infty} {\ omega \chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '=-{2\omega \over \pi }{\mathcal { P}}\!\!\!\int \limits _{0}^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2} }\,d\omega '.}$

Są to relacje Kramersa-Kroniga w formie przydatnej dla fizycznie realistycznych funkcji odpowiedzi.

Powiązany dowód z domeny czasu

Hu, Hall i Heck podają powiązany i prawdopodobnie bardziej intuicyjny dowód, który pozwala uniknąć integracji konturów. Opiera się na faktach, że:

• Przyczynową odpowiedź impulsową można wyrazić jako sumę funkcji parzystej i nieparzystej, gdzie funkcja nieparzysta to funkcja parzysta pomnożona przez funkcję signum .
• Parzyste i nieparzyste części przebiegu w domenie czasu odpowiadają odpowiednio rzeczywistym i urojonym częściom jego całki Fouriera.
• Mnożenie przez funkcję signum w dziedzinie czasu odpowiada transformacji Hilberta (tj. splotowi przez jądro Hilberta ) w dziedzinie częstotliwości.${\displaystyle 1/\pi \omega}$

Połączenie formuł dostarczonych przez te fakty daje relacje Kramers-Kronig. Dowód ten obejmuje nieco inny grunt niż poprzedni, ponieważ wiąże rzeczywiste i urojone części w domenie częstotliwości dowolnej funkcji, która jest przyczynowa w domenie czasu, oferując podejście nieco inne niż warunek analityczności w górnej połowie płaszczyzny domena częstotliwości.

Dostępny jest również artykuł z nieformalną, obrazkową wersją tego dowodu.

Relacja amplituda (wzmocnienie)–faza

Konwencjonalna forma Kramers-Kronig powyżej odnosi się do rzeczywistej i urojonej części złożonej funkcji odpowiedzi. Powiązanym celem jest znalezienie związku między wielkością i fazą złożonej funkcji odpowiedzi.

Ogólnie, niestety, fazy nie można jednoznacznie przewidzieć na podstawie wielkości. Prostym przykładem tego jest czyste opóźnienie czasowe T, które ma amplitudę 1 przy dowolnej częstotliwości niezależnie od T, ale ma fazę zależną od T (w szczególności faza = 2π × T × częstotliwość).

Istnieje jednak unikalna relacja amplituda-faza w szczególnym przypadku systemu o minimalnej fazie , czasami nazywana relacją wzmocnienia-fazy Bode'a . Określenia Stosunki Bayard, Bode i Bayard, Bode twierdzenie , po pracach Marcel Bayard (1936) i Hendrik Wade Bode (1945) są wykorzystywane zarówno dla stosunków Kramersa-Kronig ogólnie lub w stosunku amplituda fazy, w szczególności, w szczególności z zakresu telekomunikacji i teorii sterowania .

Zastosowania w fizyce

Złożony współczynnik załamania

Relacje Kramersa-Kroniga służą do odnoszenia rzeczywistych i urojonych części dla złożonego współczynnika załamania ośrodka, gdzie jest współczynnik ekstynkcji . W efekcie dotyczy to również złożonej przenikalności względnej i podatności elektrycznej . ${\ Displaystyle {\ tylda {n}} = n + ja \ kappa}$${\ Displaystyle \ kappa}$

Aktywność optyczna

Relacje Kramersa-Kroniga ustanawiają związek między dyspersją optyczną i dichroizmem kołowym .

Magneto-optyka

Relacje Kramersa-Kroniga umożliwiają dokładne rozwiązanie nietrywialnych problemów rozpraszania, które znajdują zastosowanie w magnetooptyce.

Spektroskopia elektronowa

W spektroskopii strat energii elektronów analiza Kramersa-Kroniga pozwala obliczyć zależność energii zarówno rzeczywistych, jak i urojonych części przenikalności optycznej próbki , wraz z innymi właściwościami optycznymi, takimi jak współczynnik absorpcji i współczynnik odbicia .

Krótko mówiąc, mierząc liczbę elektronów o wysokiej energii (np. 200 keV), które tracą określoną ilość energii podczas przechodzenia przez bardzo cienką próbkę (przybliżenie pojedynczego rozpraszania), można obliczyć urojoną część przenikalności przy tej energii. Korzystając z tych danych z analizą Kramersa-Kroniga, można również obliczyć rzeczywistą część przenikalności (jako funkcję energii).

Ten pomiar jest dokonywany za pomocą elektronów, a nie światła i może być wykonany z bardzo wysoką rozdzielczością przestrzenną. W ten sposób można na przykład poszukać pasm absorpcji ultrafioletu (UV) w laboratoryjnej próbce pyłu międzygwiazdowego o średnicy mniejszej niż 100 nm, czyli za małych dla spektroskopii UV. Chociaż spektroskopia elektronowa ma gorszą rozdzielczość energetyczną niż spektroskopia świetlna , dane dotyczące właściwości w zakresie widma widzialnego, ultrafioletowego i miękkiego promieniowania rentgenowskiego mogą być rejestrowane w tym samym eksperymencie.

W kątowej spektroskopii fotoemisyjnej zależności Kramersa-Kroniga można wykorzystać do połączenia rzeczywistych i urojonych części energii własnej elektronów . Jest to charakterystyczne dla interakcji wielu ciał, których doświadcza elektron w materiale. Godnymi uwagi przykładami są nadprzewodniki wysokotemperaturowe , gdzie w rozproszeniu pasma obserwuje się załamania odpowiadające rzeczywistej części energii własnej, a także obserwuje się zmiany szerokości MDC odpowiadające części urojonej energii własnej.

Rozpraszanie hadronowe

Relacje Kramersa-Kroniga są również używane pod nazwą „całkowite relacje dyspersji” w odniesieniu do rozpraszania hadronowego . W tym przypadku funkcją jest amplituda rozpraszania. Poprzez zastosowanie twierdzenia optycznego urojona część amplitudy rozpraszania jest następnie powiązana z całkowitym przekrojem , który jest wielkością mierzalną fizycznie.

Geofizyka

W przypadku propagacji fal sejsmicznych zależność Kramera–Kroniga pomaga znaleźć odpowiednią formę współczynnika jakości w ośrodku tłumiącym.

Zobacz też

• Dyspersja (optyka)
• Liniowa funkcja odpowiedzi
• Numeryczna kontynuacja analityczna

Bibliografia

Cytaty

Źródła